Представление гармонических функций комплексными величинами.
Представим систему вращающихся векторов не в декартовой системе координат, а на комплексной плоскости, содержащей действительную (обозначена символом 1) и мнимую (символ ϳ) оси. Символ ϳ представляет собой мнимую единицу:
(15)
Умножение любого вектора на ϳповорачивает его на угол 
.
Вектор на комплексной плоскости (рис. 18а) можно представить символом, содержащим действительную и мнимую части:
= U’ + U” (16)
- алгебраическая форма записи комплексных величин.
а б
Рисунок 5.3 – изображение векторов на комплексной плоскости: символьная форма (а), физический смысл (б)
Символический метод позволяет заменить геометрические действия над векторами алгебраическими.
Помимо алгебраической формыкомплексное число можно записать в тригонометрической:
= U(cosα + ϳ sinα), (17)
и показательной форме:
= Ueϳα. (18)
Физический смысл действительной и мнимой частей комплексного числа можно пояснить на примере вектора напряжения (тока, сопротивления…). Действительная часть – это активная составляющая, мнимая – реактивная (рис.18б).
Исходя из этого вектор напряжения можно записать:
|
|
|
U = Ua + ϳ Uр, (19)
где Ua – активная и Uр – реактивная составляющие напряжения.
Полное напряжение представляет собой модуль комплексного числа:
U= 
. (20)
Угол αможно определить:
α = arctg 
. (21)
Рассмотрим выполнение операций с комплексными числами на примере сложения э.д.с. двух катушек включенных последовательносогласно (рис. 19 а).Э.д.с. первой катушки е1 по амплитуде больше э.д.с. второй катушки е2 и отстает от нее по фазе на угол α=α1 – α2 (рис. 19 б).
а) б)
Рисунок 5.4 – сложение э.д.с. наведенных в двух катушках: электрическая схема (а), векторная диаграмма (б)
Комплекс суммарной э.д.с.:
. (21)
Из геометрических соотношений:
= 
. (22)
Фазовый угол суммарной э.д.с.:
Α = arctg 
. (23)
Годографы на комплексной плоскости
Изменение фазы или амплитуды выходного сигнала ВТП связанные с изменением параметров вихретокового контроля приводит к изменению положения вектора на комплексной плоскости. При этом траектория движения конца вектора может представлять собой кривую произвольной формы. Годограф – это траектория движения конца вектора (рис. 5.5). На рисунке изображено последовательное изменение положения вектора на комплексной плоскости от U до U’’’ и далее и описываемый его концом годограф.
|
|
|
Поскольку изменения различных параметров объекта контроля по разному влияют на различные параметры сигнала ВТП то анализ годографов позволяет отличить влияние мешающих параметров от влияния контролируемого параметра.
Рассмотрим анализ годографов на примере накладного ВТП размещенного над ферромагнитным объектом значительной толщины (ферромагнитным полупространством). При этом под годографом ВТП, согласно ГОСТ 24289 – 80, будем понимать геометрическое место концов вектора ЭДС или напряжения на комплексной плоскости, полученное в результате изменения частоты, удельной электрической проводимости, относительной магнитной проницаемости, размеров объекта контроля, других влияющих факторов или образованных из них обобщенных переменных величин.
|
|
|
Рисунок 5.5 – годограф вектора на комплексной плоскости
Годограф, характеризующий изменение вносимого напряжения для неферромагнитных материалов (µ=1), расположен в четвертом квадранте комплексной плоскости. Под вносимым напряжением будем понимать приращение напряжения на выводах измерительной обмотки ВТП, обусловленное внесением в его электромагнитное поле объекта контроля (ГОСТ 24289 – 80). Изменение обобщенного параметраβ, связанного с увеличением удельной электрической проводимости объекта контроля, показано стрелкой.
При изменении относительной магнитной проницаемости годографы стремятся в первый квадрант комплексной плоскости. На рисунке 5.6 показаны годографы для значений магнитной проницаемости µ=2, µ=5,µ→∞. Направление увеличения µпоказано стрелкой.
Раздельный контроль электропроводности и магнитной проницаемости материалов невозможен, если ориентироваться только на изменение амплитудного значения напряжения измерительной обмотки ВТП.
Так если принять за исходный вектор напряжения a, то при увеличении удельной электрической проводимости (значение β изменяется с 1,25 до 2,5) существенно увеличивается амплитуда (длина вектора), а фаза изменяется незначительно (вектор остается в четвертом квадранте комплексной плоскости).
|
|
|
При увеличении магнитной проницаемости (значение µ изменяется с 1 до 2) также наблюдается существенное увеличение амплитуды (новое положение обозначено вектором с). Следовательно по приращению амплитуды нельзя судить чем вызвано изменение сигнала ВТП.
Однако изменение магнитной проницаемости приводит к резкому изменению фазы сигнала ВТП (вектор с расположен уже в первом квадранте комплексной плоскости). Таким образом, анализируя амплитуду и фазу сигнала (годографы ВТП) можно проводить раздельный контроль двух параметров объекта или отстроится от влияния мешающего параметра.
Современные дефектоскопы, на экраны которых выводится комплексная плоскость, обладают большими возможностями по отстройке от мешающих факторов по сравнению с дефектоскопами, снабженными стрелочными индикаторами, позволяющими оценивать только амплитудные значения сигналов ВТП.
Справедливости ради следует отметить, что при больших значениях магнитной проницаемости µ> 30 (для ферромагнитных материалов) годографы Uвн(σ) и Uвн(µ) сливаются и раздельный контроль этих параметров становится невозможным.
Вихретоковые дефектоскопы
Дата добавления: 2019-08-30; просмотров: 471; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!