Математичний опис автоматичних систем
Будь-яка система радіоавтоматики (РА) складається з ряду елементів (ланок). Для кожного елемента характерний зв'язок між його входом і виходом. Він виражається диференціальним рівнянням. Система РА описується системою диференціальних рівнянь.
Складання диференціального рівняння елемента автоматичної системи
Конкретний вид диференціального рівняння залежить від фізичної природи і властивостей елемента.
Розглянемо як приклад інерційну RC- ланку (рис. 2):
Рисунок 2 – Схема інерційної ланки
Якщо визначити х та y як відповідно вхідну і вихідну напруги цієї ланки, то згідно з теорією електричних кіл можна записати таке рівняння:
З урахуванням того, що
отримаємо таке рівняння:
Позначимо RC=T, тоді можна записати:
Уведемо до розгляду символ диференціювання за часом
Цей штучний (але по суті вірний) прийом дозволяє переписати отримане диференційне рівняння у формі:
Винесемо вихідну напругу y за дужки і остаточно отримаємо:
.
Відзначимо, що вираз
називається операторним коефіцієнтом передачі інерційної (у даному випадку) ланки.
Статичні і динамічні властивості елементів
Після подачі на вхід елемента деякого впливу на його виході виникає перехідний процес, по закінченні якого настає стаціонарний стан.
Статична характеристика - це залежність, що зв'язує між собою стаціонарні вхідну і вихідну величини.
|
|
Прикладом статичної характеристики може служити залежність між напругою на виході частотного дискримінатора і відхиленням частоти сигналу від його номінального значення (рис.3).
Рисунок 3 – Статична характеристика дискримінатора
Динамічна характеристика - це залежність, що зв'язує між собою зміни вхідної і вихідної величин у перехідному режимі.
Перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа має дві взаємозалежні форми – пряму і зворотну.
Пряме перетворення описується так:
,
де x(t) – оригінал функції, тобто функційна залежність у часовому вимірі;
x(p) – зображення функції x(t) за Лапласом, тобто у вимірі комплексної змінної
.
Зворотне перетворення вводиться у розгляд так:
,
що дозволяє відшукати оригінал функції x(t) по її зображенню X(p).
Існують такі методи відшукання оригіналу x(t): табличний та метод інтегрування у комплексній площині.
Глибинний сенс перетворення Лапласа полягає у тому, що за його допомогою стає можливим здійснити перехід від вихідних диференційних рівнянь, що описують систему РА у просторі комплексної змінної р .
|
|
На рис. 4 наведено загальну структурну схему ланки системи РА, яка описується коефіцієнтом передачі R(p). На цьому рисунку G(p) та x(p) – відповідно сигнали у операторній формі на вході і виході ланки.
Рисунок 4 – Загальна структурна схема ланки системи РА з коефіцієнтом передачі R(p) у операторній формі.
Наприклад, якщо ланка є диференціатором, то R(p)=p.
Тоді Якщо ланка є інтегратором, то
Тоді
Перетворення Фур'є
Якщо в перетворенні Лапласа замінити оператор р на змінну jw отримаємо перетворення Фур'є, яке також поділяється на пряме та зворотне.
Для прямого перетворення Фур'є маємо вираз
,
де x(jω) – спектральна функція дії x(t).
Зворотне перетворення Фур'є має вид:
.
Передатна функція
Передатною функцією N(s) елемента (системи) РА називається відношення зображення вихідної величини елемента (системи) Y(s) до зображення ) вхідної величини X(s) при нульових початкових умовах
Формально передатну функцію отримуємо з диференціального рівняння елемента (системи) РА у символічній формі шляхом заміни в ньому символу р на комплексну змінну s і розділення утвореного в такий спосіб багаточлена правої частини рівняння на многочлен лівої частини.
|
|
Наприклад, якщо диференціальне рівняння інерційного RC- елемента має вигляд.
;
звідки
.
Тоді
Тепер при виконанні заміни оператора p на комплексну змінну S отримаємо:
У цьому виразі комплексні величини x(s) і Y(s) є зображенням за Лапласом часових величин x(t) і y(t).
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 135; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!