Комплексна форма інтеграла Фур’є

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Перетворимо за допомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду

(2.11)

де позначено

Тоді

(2.12)

Для дістаємо вираз

(2.13)

Звідси

(2.14)

Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при , бо . Тому із формули (2.7) випливає

(2.15)

Отже, в точках неперервності функції

(2.16) де

(2.17)

Вираз для у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фур’є для функції .

Зауваження. Множник можна записати у будь - яку з формул (2.16) чи (2.17): у вираз для , як у формулі (2.17), або у формулі (2.16), як це у подальшому буде зроблено для формул перетворення Фур’ є відповідно до стандартів електротехніки.

Приклад. Побудувати розклад (2.17) для функції

Розв‘язок

Тут . Проінтегруємо по проміжку , відповідно (2.2) при отримаємо

Оскільки

, тоді

Розклад (2.18), де запишеться як:

Інтегральне перетворення Фур’є

При дотриманні певних умов у ряд Фур'є розкладається періодична функція, задана на всій дійсній осі, або функція, визначена на кінцевому інтервалі. Розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на необмеженому інтервалі, нездійсненно. Однак ідея подання функції нескінченним набором гармонік у декілька зміненій формі реалізована і в цьому випадку. Засобом досягнення мети служить інтеграл Фур'є [3], [4], [5].

Припустимо, що комплексна формула інтеграла Фур'є має місце для всіх значень за винятком скінченої кількості точок.

Тоді

(2.18)

Вираз у дужках - функція від . Позначимо цю функцію :

(2.19) тоді

(2.20)

Вирази (2.19) та (2.20) називаються двобічним прямим та оберненим перетворенням Фур'є. Якщо функція при , то дістанемо однобічні перетворення Фур'є.

(2.21)

(2.22)

Аналогічно, звернувшись до формул (2.9) і (2.10), можна ввести пряме і обернене косинус-перетворення Фур'є для парної функції .

(2.23)

(2.24)

та пряме і обернене синус-перетворення Фур'є для непарної функції :

(2.25)

(2.26)

Приклад. Знайти прямі косинус - перетворення Фур'є та синус-перетворення функції .

За формулами обернених перетворень (2.24) і (2.25) маємо

Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції

У відповідності з формулою (2.22), неперіодична функція зображується сукупністю нескінченно великої кількості гармонік з нескінченно малими амплітудами у всьому діапазоні частот до . Функцію , визначену для неперіодичної функції за формулою (2.19) чи (2.22), називають спектральною характеристикою (спектральною щільністю, спектральною функцією) функції . ЇЇ модуль і аргумент називають відповідно амплітудною та фазовою спектральними характеристиками (відповідно амплітудно-частотним та фазочастотним спектрами).

Деякі властивості спектральної характеристики. Нехай - спектральна характеристика (це символічно можна записати . Тоді спектральній характеристиці (у випадку двобічного перетворення Фур'є) притаманні такі властивості [3]:

Лінійність де ;

Диференціювання оригіналу , якщо абсолютно інтегрована функція. Інтегрування оригіналу за умови, що . Диференціювання спектральної функції у випадку, коли - абсолютно інтегрована функція

Зміна масштабу незалежної змінної .

Зсув незалежної змінної .

Зсув спектральної функції

Множення функції на косинус та синус

Функція - комплексно - спряжена для функції , і, оскільки модулі спряжених функцій і рівні, а аргументи - відрізняються знаком, то амплітудно-частотний спектр - завжди парна, а фазо-частотний спектр - завжди непарна функція частоти .

Інколи спектральну характеристику описують кривими, що являють собою дійсну та уявну частину спектральної функції.

(3.1)

(3.2)

Ці дві криві містять повну інформацію про амплітуду і фазу спектральної характеристики причому - непарна функція, - парна функція, а відтак, якщо функція - парна, то спектр зводиться тільки до дійсної частини , що збігається з . Аналогічно у разі непарної функції спектр зводиться до уявної частини .

Зауваження 1. Спектральну характеристику можна вважати обвідною коефіцієнтів ряду Фур'є, тобто границею лінійчатого спектра частот періодичної функції, коли період функції прагне до нескінченності.

Розрахункова частина

У розрахунковій частині даної роботи досліджується неперіодична функція

Потрібно знайти:

розклад в інтеграл Фур'є

амплітудний і фазовий спектр.

Розв'язання

а) Функція задовольняє таким умовам теореми Фур’є [4], [5]:

Рис.4.1 Графік досліджуємої неперіодичної функції f (t)

(прямокутний імпульс тривалості t) задана на всій осі . на будь-якому кінцевому відрізку цієї осі задовольняє умовам Дирихле [], а отже розкладається в ряд Фур'є.

Абсолютно інтегрувальна по всій осі, тобто те функція допускає подання у формі інтеграла Фур'є

(4.1), де

(4.2)

Застосувавши (4.2), знайдемо спектральну щільність

. (4.3)

Згідно (4.1), підставляючи (4.3), отримуємо інтеграл Фур’є в комплексній формі:

(4.4)

З формули (4.4) після відділення дійсної й мнимої частини можна перейти до інтеграла Фур'є в дійсній формі. З обліком парних і непарних функцій одержимо

, тобто

(4.5)

б) Минаючи стандартну процедуру, визначимо модуль і аргумент величини привівши її до показової форми запису

(4.6)

Поки співмножник експоненти (разом із синусом) міняє знак, він не може відігравати роль модуля . Неважко перевірити, що в проміжках

при

Тому для , значить ;

звідки

. (4.7)

В виразі (4.7) ціле число довільне, його варто вибрати так, щоб виділялося головне значення. Оскільки в означених вище інтервалах зміни w справедливо , то досить взяти .

Маємо:

1. амплітудний спектр у вигляді функції

Побудуємо таблицю амплітудного спектра

k	-4	-2	0	2	4
			0
	0	0		0	0

Графік амплітудного спектра наведений на рис.4.2

Рис.4.2 Графік амплітудного спектру досліджуємої неперіодичної функції

2. фазовий спектр у вигляді функції

, . Діаграми для

побудовані з урахуванням парності й непарності .

Побудуємо таблицю для фазового спектра

k	-2	-1	1	2

Графік фазового спектра наведений на рис.4.3

Рис.4.3 Графік фазового спектру досліджуємої неперіодичної функції

Розглянуту функцію в радіотехніці застосовують для опису прямокутного імпульсу тривалості . Прилад, що реєструє цей сигнал, сприймає тільки кінцевий інтервал частот. Важливо, щоб в останній попадала основна частина спектра, який відповідає найбільшим значенням амплітуд . Довжину такого інтервалу характеризують за допомогою поняття ширини спектра. У даному прикладі шириною спектра називають величину . Тривалість імпульсу й ширина його спектра обернено залежні. Ця властивість - загальна для імпульсів різної форми.

Висновки

В курсовій роботі розглянута теорія та практика спектрального аналізу функцій при спектральному представленні неперіодичних функцій з застосуванням математичного апарату інтегральних перетворень Фур’є.

Від періодичного коливання до неперіодичного можна просто перейти, якщо не змінюючи форми імпульсу безмежно збільшувати період його проходження, що, у свою чергу, приведе до нескінченно близького розташування друг до друга спектральних складових, а значення їхніх амплітуд стають нескінченно малими. Однак початкові фази цих складових такі, що сума нескінченно великої кількості гармонійних коливань нескінченно малих амплітуд відрізняється від нуля й дорівнює функції тільки там, де існує імпульс. Тому поняття спектра амплітуд для неперіодичного коливання не має змісту, і його заміняють, використовуючи пряме й зворотне перетворення Фур'є. Відомо, що функція, що задовольняє заданим умовам, може бути представлена інтегралом Фур'є (зворотне перетворення Фур'є)

Використовуючи пряме перетворення Фур'є, приходимо до інтеграла

Функція називається комплексною спектральною щільністю амплітуд, а її модуль - спектральною щільністю амплітуд. Аргумент називають фазовим спектром неперіодичного коливання.

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 131; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!