Координатный способ задания движения точки.
При этом способе задается 3 функции (при движении в пространстве), определяющие три координаты точки в каждый момент времени. Системы координат могут быть разными, например: прямоугольная декартова, цилиндрическая или сферическая система координат. В первом случае задается: х=х( t ); y =у( t ); z = z ( t ) - это и есть уравнения движения точки (рис.2). в цилиндрической системе координат (рис.3) задаются: ρ= ρ( t ); φ= φ ( t ); z = z ( t ). В сферической (рис.4): φ = φ( t ); θ= θ( t ); r = r ( t ) . если движение задано в какой - то из этих систем координат, то всегда можно перейти к заданию движения в любой из двух других.
Естественный способ задания движения точки.
Он заключается в задании (рис.5):
1) траектории точки: у = f (х),
2) начала отсчета (точка О),
3) положительного направления отсчета,
4) закона движения s = s(t), где s - дуговая
координата.
Естественные оси координат.
Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6):
касательная, главная нормаль, бинормаль.
Единичный вектор касательной - (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги.
Соприкасающаяся плоскость - предельное положение плоскости, проходящей через т. М1, лежащую на кривой и касательную в
т. М, при стремлении т. М1 к т. М. Единичный вектор главной нормали - перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали - перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость ( , ) называется спрямляющей.
|
|
Скорость при векторном способе задания движения.
Пусть за время Δt точка переместилась из М в М (рис.7) , вектор Δ - вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δt называется вектор ср = Δ /Δt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю :
= lim Δ /Δt
Δt
Из рис. 7 видно, что: ( t ) + Δ = ( t +Δ t ) тогда: Δ = ( t +Δ t ) - ( t ), и
= lim Δ /Δt = lim( (t+Δt) - (t)) / Δt = d / dt.
Δt Δt
то есть, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Из рисунка видно, что вектор скорости в данный момент времени занимает положение касательной. Скорость измеряется в м/с.
6 . Ускорение при векторном способе задания движения.
|
|
Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: ср=Δ /Δt.
Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.
= lim Δ / Δ t = lim( (t+ Δ t) - (t))/ Δ t.
Δ t Δ t
Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиуса вектора по времени:
= d / dt = d / dt .
Ускорение ср, а значит и ускорение в данный момент времени - направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с2.
7 . Скорость при координатном способе задания движения.
Известно, что: = d / dt,но = x · + y · + z · , тогда (т.к. , , - const):
= dx / dt · + dy / dt · + dz / dt · , (1)
С другой стороны: = v · + v · + v · . (2)
сравнивая (1) и (2) получим: v х = dx / dt ; v у = dy / dt ; v = dz / dt, т.е. проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции можно найти модуль скорости:
= , а так же направляющие косинусы:
соs( ; ) = vx / | | ; соs( ; ) = vy / | |; соs( ; ) = vz / | |.
8. Ускорение при координатном способе задания движения.
|
|
Известно, что: = d / dt, но = vx · + v y · + vz · , тогда:
= dv x /d t · +dvy /d t · +dvz /dz · , (1)
с другой стороны : = ах · + ау · + а z · . (2)
сравнивая (1) и (2) получим:
а x = dv x / dt = d x / dt ; а y = dvy / dt = d y / dt ; а = dvz / dt = d z / dt . то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени.
Модуль ускорения : | | = , направляющие косинусы:
соs ( ; ) = а x / | | ; соs( ; ) = а y / | |; соs ( ; ) = а z / | |.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 301; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!