Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

В работе исследуется нелинейная система с нелинейным элементом (идеальным двухпозиционным реле или реле с гистерезисом) и линейной частью второго порядка (двумя интеграторами с коэффициентом усиления или инерционным звеном и интегратором).

На рис. 2.1 представлена структурная схема системы со следующими обозначениями: u – входной сигнал системы; e – сигнал на входе нелинейного элемента (НЭ); g – сигнал на выходе НЭ; x – выходной сигнал системы; y – его производная (скорость изменения); – коэффициент обратной связи по скорости ( ); k – статический передаточный коэффициент; c, b – параметры НЭ; – передаточная функция линейной части.

Рис. 2.1. Структурная схема системы

Целью работы является изучение процессов в данной системе на фазовой плоскости и во временной области при помощи пакета математического моделирования Matlab и его расширения – пакета моделирования динамических систем Simulink.

Выбор значений параметров нелинейных элементов
и линейной части

Параметры НЭ и линейной части (ЛЧ) следует задавать в соответствии с вариантом, приведённым в табл. 2.1. Номер варианта соответствует номеру бригады.

Таблица 2.1 Значения параметров нелинейного элемента и линейной части

Параметры	Номер варианта
Параметры	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
c	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8
b	0.1	0.2	0.25	0.25	0.3	0.35	0.4	0.5	0.5	0.6	0.8	1	1.2	1.3	1.5
k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5

Подготовительная часть работы

В процессе подготовки к данной лабораторной работе необходимо эскизно с построением линий переключения изобразить фазовые портреты для четырех вариантов конфигурации системы, изображенной на рис. 2.1:

1) идеальное двухпозиционное реле + линейная часть ;

2) идеальное двухпозиционное реле + линейная часть ;

3) двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная часть ;

4) двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная часть ;

Для каждой конфигурации проанализировать, при каких возникает скользящий режим.

Подготовить текст программы (m‑файл) и модель в Simulink (mdl‑файл). Как и в предыдущей работе, удобно связать их друг с другом: переменные, определенные в m‑файле, используются при задании параметров блоков модели, модель запускается на выполнение также командой из m‑файла, а при проведении моделирования в Simulink результаты записываются в рабочую область памяти (Workspace), откуда считываются при построении итоговых графиков командами из m‑файла. Пример m‑файла (FP_prog.m) приведен ниже.

%Исследование нелинейной системы методом фазовой плоскости (файл FP_prog.m)

%Подключаемый файл: FP_mod.mdl.

%Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯ часть.

%Очистка всех переменных в памЯти и закрытие всех предыдущих рисунков

clear all

close all

%Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ

%конфигурации нелинейной системы в файле FP_mod.mdl

%1 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле, ЛЧ – k/p^2

%2 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле, ЛЧ – k/[(Tp+1) p]

%3 – НЭ-двухпозиционное реле с гистерезисом, ЛЧ – k/p^2

%4 – НЭ – двухпозиционное реле с гистерезисом, ЛЧ – k/[(Tp+1) p]

config = 1;

%Определение значений строковых переменных nlin и lin

switch config

case 1,

nlin = 'ид. 2‑х поз. реле'; lin = 'k/p^2';

case 2,

nlin = 'ид. 2‑х поз. реле'; lin = 'k/[(Tp+1) p]';

case 3,

nlin = '2‑х поз. реле с гист.'; lin = 'k/p^2';

case 4,

nlin = '2‑х поз. реле с гист.'; lin = 'k/[(Tp+1) p]';

end

%времЯ моделированиЯ, c

t_end = 20;

%ограничение шага моделированиЯ

step_max = 0.005;

%параметры нелинейного элемента

b = 0.1;

c = 1;

%параметры линейной части

k = 1;

T = 0.4;

%коэффициент обратной свЯзи по скорости

alfa = 0.0;

%Начальные условиЯ:

%задаваЯ различные начальные условиЯ длЯ системы, получаем набор

%фазовых траекторий, т.е. фазовый портрет в системе координат Oxy;

%множество начальных условий по х: [x0_min, x0_max];

%множество начальных условий по y: [y0_min, y0_max];

%при переборе начальных условий движемсЯ снизу вверх с шагом dy

%и слева направо с шагом dx

%Назначение диапазонов изменениЯ начальных условий

x0_min = -1.5;

y0_min = -1.5;

x0_max = 1.5;

y0_max = 1.5;

%Шаг при переборе начальных условий

dx = 0.8;

dy = 0.9;

%Исходные значениЯ начальных условий

x0 = x0_min;

y0 = y0_min;

%Задание цветовой гаммы длЯ рисованиЯ фазовых траекторий

%'r' – red, красный;

%'g' – green, зеленый;

%'c' – cyan, голубой;

%'m' – magenta, пурпурный;

%'k' – black, черный;

%'y' – yellow, желтый;

%'b' – blue, синий

color = ['r';'g';'c';'m';'k'];%многоцветнаЯ картинка

%color = 'r'; %одноцветнаЯ картинка

%Подготовка рисунка с фазовым портретом

figure(1)

xlabel('x')

ylabel('y')

title(['Фазовый портрет. НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…

lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T), '; alfa=', num2str(alfa)])

hold on

grid on

%вызов модели

open_system ('FP_mod.mdl');

%начальнаЯ установка номера цвета

i=0;

%перебор начальных условий; при каждом варианте начальных условий запускаетсЯ

%моделирование, а после его окончаниЯ строитсЯ фазоваЯ траекториЯ

while x0 <= x0_max

i = i+1; %номер текущего цвета

if i == length(color)+1

i=1;

end

x0_ = x0; %запоминание значений НУ

y0_ = y0; %длЯ текущей фазовой траектории

sim ('FP_mod'); %запуск моделированиЯ

gr1 = plot (x, y); %x и y – массивы из workspace

set (gr1, {'Color'}, {color(i)});

y0 = y0 + dy;

if y0 > y0_max

y0 = y0_min;

x0 = x0 + dx;

end

%рисование линии / линий переключениЯ

y1 = [-2.5; 2.5];

if (config == 1) | (config == 2)

x1 = – alfa.*y1; %уравнение линии переключениЯ, НЭ – ид. 2‑х поз. реле

gr2 = plot (x1, y1);

set (gr2, {'Color'}, {'b'});

else

x11 = – alfa.* y1 + b; %уравнениЯ линий

x12 = – alfa.* y1 – b; %переключениЯ, НЭ – 2‑х поз. реле с гист.

gr2 = plot (x11, y1);

set (gr2, {'Color'}, {'b'});

gr2 = plot (x12, y1);

set (gr2, {'Color'}, {'b'});

end

%построение процессов во времени, соответствующих

%последней фазовой траектории

figure(2)

xlabel ('t, cек')

ylabel ('x, y')

title(['x(t) и y(t). НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…

lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T), '; alfa=', num2str(alfa),…

'; x0=', num2str (x0_), '; y0=', num2str (y0_)])

hold on

grid on

gr3 = plot (time, x);

set (gr3, {'Color'}, {'r'});

gr4 = plot (time, y);

set (gr4, {'Color'}, {'b'});

legend ('x(t)', 'y(t)', 4);

Все команды Matlab, использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.

В m‑файле необходимо задать значения констант – параметров нелинейностей и линейной части, значение коэффициента обратной связи по скорости, задать шаг и время моделирования, диапазоны изменения начальных условий для сигналов х и у, шаг при их переборе и их исходные значения, а также значение переменной config, управляющей конфигурацией модели.

В процессе выполнения m‑файла происходит подготовка графического окна для вывода фазового портрета, вызов и циклический запуск модели нелинейной системы при различных начальных условиях по x и y. По результатам моделирования строятся фазовый портрет системы и временные процессы х(t) и y(t), соответствующие последней из воспроизведенных на фазовом портрете фазовых траекторий. Для получения рисунка с изображением только одной фазовой траектории необходимо задать одинаковые значения для границ изменения начальных условий по х и у.

При составлении модели в Simulink используются элементы библиотек Simulink (Math, Nonlinear, Sinks и Sources) и Simulink Extras (Additional Linear), доступные через Simulink Library Browser. Схема моделирования из файла-примера FP_mod.mdl представлена на рис. 2.2.

Интегрирующие и инерционные звенья с возможностью установки начальных условий по выходу находятся в дополнительной библиотеке Simulink - Simulink Extras\Additional Linear.

Управление переключателем конфигурации системы осуществляется через переменную config, значение которой задается в m‑файле.

Как и в предыдущей работе, в настройках параметров моделирования следует указывать специально предназначенные для этой цели переменные, значения которых заданы в файле-сценарии. Параметры моделирования должны быть указаны в окне «Simulation parameters», доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 2.3).

Рис. 2.2. Схема моделирования

Рис. 2.3. Параметры моделирования

Установку параметров различных функциональных блоков модели поясняют рис. 2.4 – 2.6. В настройках блоков используются переменные, заданные в m‑файле. Такой подход помогает экономить время при настройке и перенастройке модели.

Рис. 2.4. Параметры блока To Workspace

а б

Рис. 2.5. Параметры нелинейных элементов модели:
а – идеального двухпозиционного реле; б – двухпозиционного реле с гистерезисом

а б

Рис. 2.6. Параметры блоков линейной части системы: а – интегрирующего звена; б – инерционного звена; в-интегратора

Выполнение работы

Получите и зафиксируйте фазовый портрет системы с идеальным двухпозиционным реле и линейной частью без обратной связи по скорости. Для одного варианта начальных условий получите изображения фазовой траектории и процессов во времени x(t) и y(t).

Введите отрицательную обратную связь по скорости (a 0.1 – 0.5) так, чтобы при этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы.

Увеличьте значение a до величины, при которой в системе возникает скользящий режим и изображающая точка перемещается по линии переключения. Зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы.

Измените конфигурацию модели системы, активировав комбинацию блоков «идеальное двухпозиционное реле + линейная часть «, после чего повторите действия пп. 2.4.1 – 2.4.3.

Измените конфигурацию модели системы, активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная часть « и отключив обратную связь по скорости. Зафиксируйте фазовый портрет системы, при этом диапазон изменения и шаг изменения начальных условий следует задать таким образом, чтобы получить фазовые траектории, берущие начало как в области между линиями переключения ( ), так и вне ее ( ). Для одного варианта начальных условий получите изображения фазовой траектории и процессов во времени x(t) и y(t).

Введите в модель обратную связь по скорости (a 0.1 – 0.5) так, чтобы при этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовый портрет системы, обеспечив такие варианты начальных условий, при которых фазовые траектории начинаются как в области между линиями переключения, так и вне ее: а) ; б) . Постройте две фазовые траектории и соответствующие им процессы во времени для таких вариантов начальных условий.

Увеличьте a до величины, при которой в системе возникает скользящий режим и изображающая точка перемещается в данном случае между двумя линиями переключения. Зафиксируйте фазовый портрет, две фазовых траектории и соответствующие им временные процессы аналогично п. 2.4.6.

Измените конфигурацию модели системы, активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная часть «. Зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы при отсутствии обратной связи по скорости.

Введите обратную связь по скорости и зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы как при отсутствии, так и при наличии скользящего режима.

Содержание отчёта

Вариант задания, схемы моделирования, цель работы.

Подготовительная часть: эскизы фазовых портретов и сопровождающие расчеты (дифференциальные уравнения, описывающие линейную часть; уравнения, описывающие нелинейные элементы; уравнения фазовых траекторий и линий переключения).

Результаты моделирования (фазовые портреты, фазовые траектории, временные процессы x(t) и y(t)).

Анализ результатов (нахождение соответствия между видами фазовых траекторий и процессов во времени, анализ влияния коэффициента обратной связи на вид фазового портрета, на возникновение скользящего режима в системе и др.). Выводы (аргументированное подтверждение соответствия предварительных расчетов и результатов эксперимента).

Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.

Контрольные вопросы

Определение фазовой траектории и фазового портрета.

Определение линии переключения. От чего зависит наклон линии (линий) переключения?

Определение скользящего режима. Условия его появления.

Предельный цикл: определение, условия возникновения и графическое изображение на фазовой плоскости.

Определение системы, устойчивой / неустойчивой в малом / большом.

Приведите пример фазовой траектории и найдите соответствующий ему процесс во времени.

В чем схожесть фазовых портретов устойчивых (неустойчивых, на границе устойчивости) систем?

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 253; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!