Теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.
Теоремы Виета
Теоремы Виета для неприведенного квадратного уравнения.
Формула корней квадратного уравнения 
вида 
, 
, где 
, устанавливает соотношения 
, 
. Это подтверждает теорема Виета.
Теорема 1
В квадратном уравнении , где x₁ и x₂ – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a, которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a, т. е. , , ,
Доказательство 1
Возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны 
и 
соответственно.
Составим сумму корней 
. Приведем дроби к общему знаменателю 
. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: 
. Сократим дробь на: 2 
Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.
Теперь перейдем ко второму соотношению.
Для этого необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: 
.
Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: 
.
Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: = 
.
Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: 
. Формула отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить 
: 
= 
|
|
|
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 
. Если сократить ее на 4·a, то остается . Таким образом мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:
= 
= = 
.
При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, можно предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен: 
, тогда 
и 
, а так как D=0, то есть, 
, откуда 
, то 
.
Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида 
, где старший коэффициент a равен 1. В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a, отличное от нуля.
|
|
|
Теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.
Теорема 2
Сумма корней в приведенном квадратном уравнении будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x₁+x₂=−p, x₁⋅x₂=q.
Доказательство 2
Возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны 
и 
соответственно.
Составим сумму корней 
. Приведем дроби к общему знаменателю 
. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: 
. Сократим дробь на: 2 
Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.
Теперь перейдем ко второму соотношению.
Для этого необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: 
.
Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: 
.
Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: = 
.
Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: 
. Формула 
отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить 
: 
= 
|
|
|
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 
. Если сократить ее на 4, то остается . Таким образом мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!