Устные упражнения по геометрии 10-й класс.

Геометрия 10-й класс.

УЧЕБНИК:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.

“Геометрия 10 - 11”

(М.: Просвещение, 1992 и последующие издания)

Примерное поурочное планирование

(2 часа в неделю, всего 68 часов)

Тема

Кол-во часов

Примечание (изменения, которые планирует учитель)

Введение (2ч.)

Параллельность прямых и плоскостей (19ч.)

Параллельность прямых, прямой и плоскости. Контролирующая самостоятельная работа.

Зачет №1.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Контролирующая самостоятельная работа.

Решение задач.

Контрольная работа №1.

Параллельность плоскостей. Контролирующая самостоятельная работа.

Зачет №2.

Тетраэдр и параллелепипед.

Контрольная работа №2.

Перпендикулярность прямых и плоскостей (16ч.)

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Контролирующая самостоятельная работа.

Зачет №3.

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Контролирующая самостоятельная работа.

Решение задач.

Контрольная работа №3.

Многогранники (16ч.)

Понятие многогранника. Призма. Контролирующая самостоятельная работа.

Пирамида. Контролирующая самостоятельная работа.

Правильные многогранники.

Зачет №4.

Решение задач.

Контрольная работа №4.

Векторы в пространстве (11ч.)

Понятие вектора в пространстве.

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Контролирующая самостоятельная работа.

Компланарные векторы. Контролирующая самостоятельная работа.

Зачет №5.

Решение задач.

Контрольная работа №5.

Итоговое повторение (4ч.)

КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ЗАЧЕТЫ

ГЕОМЕТРИЯ

Й КЛАСС

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей

Контролирующая самостоятельная работа к § 1

I вариант Задания № 23, 28 из учебника.

II вариант Задания № 24, 27 из учебника.

Зачет № 1

Образцы карточек к зачету

Карточка 1

1. Сформулируйте аксиомы А₁ — А₃, разъясните их смысл.

2. Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и плоскости.

3. Вершины B и С треугольника A ВС лежат в плоскости , а вершина А не лежит в этой плоскости. Прямая а параллельна прямой АС и пересекает сторону АВ в точке М так, что AM : MB =3 : 4. а) Докажите, что прямая а пересекает плоскость . б) Найдите сторону AC, если длина отрезка прямой а от точки М до плоскости равна 7 см.

Карточка 2

1. Опишите все случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

2. Сформулируйте и докажите теорему о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

3. На сторонах АВ и АС треугольника A ВС взяты соответственно точки Р и T; РТ = 4 см, АР : РВ =1 : 3. Плоскость проходит через точки Р и T и параллельна отрезку ВС. а) Докажите, что отрезки РТ и ВС параллельны, б) Найдите отрезок ВС.

Контролирующая самостоятельная работа к § 2

I вариант

Задание № 45 из учебника.

II вариант

Задание № 46 из учебника.

Контрольная работа № 1

I вариант

1. Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости: Докажите, что прямая ВС и плоскость параллельны.

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые три из них не лежат на одной прямой.

3. Прямая КМ параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости A ВС. Выясните взаимное расположение прямых КМ и A В и найдите угол между ними, если A ВС = 110°.

II вариант

1. Середины сторон CD и АВ параллелограмма ABCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая AD и плоскость параллельны.

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые три из них являются вершинами треугольника.

3. Прямая КМ параллельна стороне ВС треугольника A ВС и не лежит в плоскости АВС.Выясните взаимное расположение прямых КМ и АВ и найдите угол между ними, если АВС = 105°.

Контролирующая самостоятельная работа к § 3

I вариант

1. Отрезки АВ, AC , AD не лежат в одной плоскости. Точки К, М, N — соответственно их середины, а) Докажите, что плоскости BCD и KMN параллельны, б) Найдите площадь треугольника BCD , если площадь треугольника KMN равна 36 м².

2. Задача 63 (а) из учебника.

II вариант

1. Три прямые, проходящие через точку М и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А, В и С, а вторую — в точках A ₁, B₁, C₁. а) Докажите, что треугольники АВС и A₁B₁C₁подобны, б) Найдите АВ : А₁В₁, если МС = CC₁.

2. Задание № 63 (б) из учебника.

Зачет № 2

Образцы карточек к зачету

Карточка 1

1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых.

2. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух плоскостей.

3. Через вершины треугольника АВС проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость , параллельную плоскости АВС, соответственно в точках А₁, B₁ и С₁ Найдите стороны треугольника A₁B₁C₁, если АВ = 5 см, АС = 4 см, ВАС = 60°.

Карточка 2

1. Перечислите все случаи взаимного расположения двух прямых.

2. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

3. Даны треугольник АОВ и параллелограмм ABCD, не лежащие в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АО и CD , если ОАВ = 130°.

Контрольная работа № 2

I вариант

1. В тетраэдре ABCD точки М, К и Р— середины ребер АВ, BD и ВС. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости ACD , и найдите площадь треугольника МКР, если площадь треугольника ACD равна 48 см².

2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра АВ параллельно плоскости ACC₁.

3. Верно ли утверждение, что прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна второй плоскости? Ответ обоснуйте.

II вариант

1. В тетраэдре ABCD точки М, К и Р— середины ребер AD , BD и DC. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости AB С, и найдите площадь треугольника A ВС, если площадь треугольника МКР равна 48 см².

2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра A В параллельно плоскости DBB₁.

3. Прямые а и b расположены соответственно в параллельных плоскостях и . Верно ли, что эти прямые не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Контролирующая самостоятельная работа к § 2

I вариант

Задания № 141, 149, 158 из учебника.

II вариант

Задания № 198, 154, 157 из учебника.

Зачет № 3

Образцы карточек к зачету

Карточка 1

1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.

2. Сформулируйте и докажите теорему о трех перпендикулярах.

3. Из точки A, удаленной на расстояние 5 см от плоскости, проведены к этой плоскости наклонные A В и A С под углом 30° к плоскости. Найдите угол между наклонными, если ВС = 10 см.

Карточка 2

1. Объясните, что такое перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки к плоскости, основание перпендикуляра, основание и проекция наклонной.

2. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Через вершину А правильного треугольника A ВС проведена прямая AM , перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до стороны ВС, если АВ = 4 см, AM = 2 см.

Контролирующая самостоятельная работа к § 3

I вариант

Задания № 171, 189 (а), 193 (б), 196 (а) из учебника.

II вариант

Задания № 172, 189 (б), 193 (а), 196 (б) из учебника.

Контрольная работа № 3

I вариант

1. Через вершину К треугольника МКР проведена прямая KN , перпендикулярная к плоскости треугольника. Известно, что KN = 15см, МК = КР = 10 см, МР = 12 см. Найдите расстояние от точки N до прямой МР.

2.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол B₁ADB , если A С = 6 м, A В₁ = 4 м, ABCD — квадрат.

II вариант

1. Через вершину прямого угла С в равнобедренном треугольнике CDE проведена прямая С A, перпендикулярная к плоскости треугольника. Известно, что С A = 35 дм, CD = 12 дм. Найдите расстояние от точки A до прямой DE .

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADCA₁,

если A С=13 см, DC =5 см, AA₁ = 12 см.

Глава III. Многогранники

Контролирующая самостоятельная работа к § 1

I вариант

1. Основание прямой призмы — ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 13 см. Найдите площадь: а) боковой поверхности призмы; б) полной поверхности призмы; в) диагонального сечения, содержащего меньшую диагональ призмы.

II вариант

Основание прямой призмы — ромб с меньшей диагональю 5 см и углом 120°. Меньшая диагональ параллелепипеда образует угол 45° с плоскостью основания. Найдите площадь: а) боковой поверхности призмы; б) полной поверхности призмы; в) диагонального сечения, содержащего меньшую диагональ призмы.

Контролирующая самостоятельная работа к § 2

I вариант

Задания № 250, 257 из учебника.

II вариант

Задания № 251, 258 из учебника.

Зачет № 4

Образцы карточек к зачету

Карточка 1

1. Какая призма называется: а) прямой, б) наклонной, в) правильной?

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

3. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна к ним. Найдите длину отрезка, соединяющего середины противоположных ребер правильного тетраэдра, если ребро тетраэдра равно 1 м.

Карточка 2

1. Какие точки называются симметричными относительно плоскости? Приведите пример многогранника, имеющего плоскость симметрии.

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

3. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Контрольная работа № 4

I вариант

1. Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁является параллелограмм ABCD со сторонами 6 дм и 12 дм и углом, равным 60°. Диагональ B₁D призмы образует с плоскостью основания угол в 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

II вариант

1. Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 см и углом, равным 30°. Диагональ AC₁ призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Глава IV. Векторы в пространстве

Контролирующая самостоятельная работа к § 2

I вариант

Задания № 335 (в), 336 (б), 337 (в), 339 (б), 351 (а), 382 (а, в).

II вариант

Задания № 335 (г), 336 (в), 337 (б), 339 (а), 351 (б), 382 (б, г).

Контролирующая самостоятельная работа к § 3

I вариант

Задания № 358 (б), 382 (а, г), 388 (б), 393 (а).

II вариант

Задания № 358 (в), 382 (б, в), 388 (а), 393 (б).

Зачет № 5

Образцы карточек к зачету

Карточка 1

1. Объясните правила треугольника и параллелограмма сложения двух векторов. Докажите, что сумма двух векторов не зависит от выбора точки, от которой откладывается первый вектор.

2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, . Найдите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный сумме векторов и .

3. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка O пространства. Докажите, что

Карточка 2

1. Что значит разложить вектор по трем некомпланарным векторам? Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

2. Упростите выражение: .

3. Даны четыре произвольные точки пространства А, В, С и D. Докажите, что .

Контрольная работа № 5

I вариант

1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите вектор с началом и концом в вершинах

параллелепипеда, равный: а) , б) .

2. Дан тетраэдр DABC . Точка М — середина ребра ВС, точка N—середина отрезка DM .

Выразите вектор через векторы и .

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁медианы треугольника ABD пересекаются в точке Р.

Разложите вектор по векторам .

II вариант

1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: а) , б) .

2. Дан тетраэдр DABC. Медианы треугольника BDC пересекаются в точке Р, точка К—

середина отрезка АР. Выразите вектор через векторы .

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O лежит на отрезке B₁D₁, причем В₁О : OD₁ = 2 : 1. Разложите вектор по векторам .

Устные упражнения по геометрии 10-й класс.

Сентябрь

1. Катеты в прямоугольном треугольнике равны 6 и 8 см.

Вычислсте гипотенузу. 10 см

2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 5 см.

Вычислите его объем. 30 см³

3. Ребро куба равно 2 см. Вычислите сумму длин всех ребер куба. 24 см

4. Как называется геометрическое место точек на плоскости, одинаково

удаленных от концов отрезка? Перпендикуляр к отрезку через его середину

5. Стороны прямоугольника равны 12 и 10 см. Вычислите площадь

прямоугольника. 120 см²

6. Основание треугольника равно 6 см, высота - 4 см. Вычислите площадь

треугольника. 12 см²

7. Сколько центров гомотетии имеют два равных параллельных отрезка? Один

8. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2. Как

относится меньший катет к гипотенузе? 1:2

9. Периметр прямоугольника равен 60 см, длина его вдвое больше ширины.

Вычислите площадь прямоугольника. 50 см²

10. Периметр большего треугольника равен 36 см. Вычислите периметр

подобного меньшего треугольника, если коэффициент подобия равен 3. 12 см

11. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см. Вычислите

радиус описанной окружности. 2,5 см

12. Угол при основании в равнобедренном треугольнике равен 72°.

Вычислите угол при вершине. 36°

13. Сколько градусов составляет угол между диагоналями ромба? 90°

14. Периметр равнобедренного, треугольника равен 100 см, боковая

сторона его в два раза больше основания. Чему равны стороны

треугольника? 20, 40 и 40 см

15. Площадь грани куба равна 16 см. Вычислите его объем. 64 см³

16. Чему равно отношение длины окружности к диаметру?

17. Из точки выходят три луча. Сколько можно провести плоскостей,

чтобы по крайней мере два из них принадлежали плоскости? 1 или 3

18. Координаты точки А(2; 1). Укажите координаты точки В, симметричной

относительно начала координат. В(- 2; -1)

19. Сколько осей симметрии имеет окружность? Бесчисленное множество

20. Катеты треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите синус меньшего угла. 0,6

21. Для каких углов в прямоугольном треугольнике sin A ? А 30^о

22. Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника? 540°

23. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна 10 см,

а основания — 2 и 8 см. Вычислите вторую боковую сторону. 8 см

24. Диагонали ромба равны 6 и 8 см. Вычислите сторону ромба. 5 см

25. Ребро куба равно 2 см. Вычислите поверхность куба. 24 см²

26. Основание параллелограмма равно 12 см, а высота - 4 см.

Вычислите площадь параллелограмма. 48 см²

27. Сколько прямых в пространстве можно провести через три точки,

если каждая из них проходит через две точки? 3

28. Сколько плоскостей можно провести через две точки? Бесчисленное множество

29. Могут ли прямая и плоскость иметь лишь две общие точки? Нет

30. Две равнобедренные трапеции имеют соответственно равные углы.

Будут ли эти трапеции подобными? Не всегда

Октябрь

1. Ребро куба равно 2 см. Вычислите его объем. 8 см³

2. Площадь прямоугольника равна 120 см², а ширина 8 см. Вычислите

длину прямоугольника. 15 см

3. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна 10 см, катет 6 см.

Вычислите другой катет. 8 см

4. Как изменится площадь круга, если радиус его увеличить в два раза? Увеличится

в 4 раза

5. Могут ли две плоскости иметь одну общую точку? Нет

6. Стороны треугольника относятся как 5 : 4 ; 3, а периметр подобного

ему треугольника равен 60 см. Вычислите стороны подобного

треугольника. 25, 20 и 15 см

7. Высота треугольника в два раза меньше основания, а площадь его

равна 36 см². Вычислите высоту треугольника. 6 см

8. Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, а угол между ними 150°.

Вычислите площадь параллелограмма. 40 см²

9. Координаты точек на плоскости А(- 2; 4) и B(4; 2). Вычислите

координаты середины отрезка AB. (1; 3)

10. Какой угол образует прямая у = x - 1 с осью абсцисс? 45°

11. На каком расстоянии находятся точки А(- 3; 1) и B(5; I)? 8 единиц

12. Укажите кратчайшее расстояние прямой у - 4 = 0 до начала координат. 4 единицы

13. Разность двух углов параллелограмма равна 40^o. Вычислите его углы. 70 и 110^o

14. Координаты точки М(5; 2). Укажите координаты точки K, симметричной

относительно оси ординат. К(- 5; 2)

15. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей

можно провести через них, если три из них принадлежат плоскости? 4

16. Ребро куба равно 3 см. Вычислите его поверхность. 54 см²

17. Площадь круга равна 100 см². Вычислите его диаметр. 20 см

18. Известно, что = 4 см, = 2 см, а угол между ними 60°. Вычислите

скалярное произведение векторов. 4

19. Можно ли через точку пересечения двух прямых в пространстве

провести еще одну прямую, которая не лежала бы с ними в этой

плоскости? Да

20. Длина прямоугольника равна 20 см, а ширина составляет 40% длины.

Вычислите площадь прямоугольника. 160 см²

21. Углы треугольника относятся, как 3:4:5. Вычислите углы треугольника. 45^o, 60^oи 75°

22. Периметр равнобедренного треугольника равен 65 см, а основание на

5 см больше боковой стороны. Вычислите стороны треугольника. 20, 20 и 25 см

23. Диагонали ромба равны 6 и 10 см. Вычислите площадь ромба. 30 см²

24. Верно ли утверждение, что прямые, которые пересекают

пересекающиеся прямые а и b не в общей точке, лежат в одной

плоскости с ними? Да

25. Две силы 6 и 8 Н приложены к одной точке и действуют под прямым

углом. Вычислите равнодействующую силу. 10Н

26. Прямые а и b лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти прямые

быть скрещивающимися? Да

27. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и

радиусом 4 см. x² + у² = 16

28. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Вычислите

наименьший угол между ними. 60⁰

29. Найдите координаты точки пересечения прямых x + y = 2 и x – y = 2. (2; 0)

30. Площадь данного многоугольника равна 45 см². Большая сторона его

равна 15 см, а сходственная сторона подобного многоугольника равна

5 см. Вычислите площадь подобного многоугольника. 5 см²

Ноябрь

1.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 5 см.

Вычислите его объем. 60 см³

2. Радиус окружности равен 2 см. Вычислите длину окружности. 4 см

3. Катеты в прямоугольном треугольнике равны 5 и 12 см. Вычислите

гипотенузу. 13 см

4. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые

стороны - по 5 см. Вычислите площадь треугольника. 12см²

5. Площадь прямоугольника равна 150 см², а длина 25 см. Вычислите

ширину прямоугольника. 6 см

6. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? Да

7. Точка D вне плоскости, проходящей через точки A, В, С. Может ли быть

трапецией четырехугольник ABCD? Нет

8. Стороны угла A пересечены двумя параллельными прямыми ВС и B₁C₁,

причем АВ = 8 см, ВВ₁ = 4 см и АС = 12 см. Вычислите длину отрезка СС₁ 6см

9. Для каких углов А в прямоугольном треугольнике cos A ? 60° А < 90°

10. Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся,

как 4:5. Вычислите эти углы. 80° и 100°

11. Угол ромба равен 30°, а высота 10 см. Вычислите площадь ромба. 200 см²

12. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна 10 см, а

основания 4 и 10 см. Вычислите меньшую боковую сторону. 8 см

13. Проходит ли прямая у = x - 2 через точку А(4; 2)? Да

14. На каком расстоянии на плоскости находятся точки А(2; - 2) и B(2; 6)? 8 единиц

15. Известно, что на плоскости прямая, которая пересекает одну из

параллельных прямых, пересекает и другую. Будет ли это справедливо

для пространства? Нет

16. Поверхность куба равна 24 см². Вычислите его объем. 8 см³

17. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три

точки лежать на одной прямой? Нет

18. Всегда ли можно провести плоскость через прямую и две точки вне этой

прямой? Не всегда

19. Сколько центров гомотетии имеют два неравных параллельных отрезка? 1

20. Катеты треугольника равны 8 и 6 дм. Вычислите радиус описанного круга. 5 дм

21. Прямая l параллельна плоскости а. Существует ли на плоскости а прямая,

не параллельная l? Да

22. Координаты точки А(2; 4). Укажите координаты точки В, симметричной

относительно оси абсцисс. В(2; - 4)

23. Три плоскости пересекаются попарно. Сколько получится линий

пересечения? 3

24. Вершина угла находится внутри окружности, а дуги между сторонами

и продолжением сторон равны 50° и 100°. Вычислите угол. 75°

25. В равнобедренной трапеции углы относятся, как 5:7. Вычислите эти углы. 75^o и 100^o

26. Уравнение окружности х² + у² = 16. На каком расстоянии находятся точки

окружности от начала координат? 4

27. На каком расстоянии от начала координат находится точка М(6; - 8)? 10

28. Диагонали ромба равны 60 и 80 см. Вычислите сторону ромба. 50 см

29. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма углов равна 540°? 5

30. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см, а сторона его

равна 6 см. Вычислите другие его стороны. по 5 см или 6 и 4 см

Декабрь

1. Площадь прямоугольника равна 180 см² , а его длина 15 см. Вычислите

ширину прямоугольника. 12см

2. Ребро куба равно 3 дм. Вычислите его объем. 27 дм³

3. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна 5 дм, а катет 4 дм.

Вычислите другой катет. 3 дм

4. Две окружности лежат в одной плоскости. Какие центры гомотетии

имеют эти окружности, если они не концентрические и у них неравные

диаметры? Внутренний и внешний

5. Напишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.

S =

6. Вычислите вписанный угол, если он опирается на треть окружности. 60°

7. Один из внутренних углов треугольника равен 60°, а один из его внешних

углов равен 100°. Найдите два других угла треугольника. 80^o и 40°

8. В равностороннем треугольнике медианы равны 12 см. На какие отрезки

точка их пересечения делит медиану? 4 и 8 см

9. Вычислите расстояние между центрами окружностей, имеющих

внутреннее касание, если их радиусы равны 7 и 4 см. 3 см

10. В треугольнике AВС сторона АВ равна 12 см, а сторона АС равна 15 см.

В каком отношении биссектриса угла А делит сторону ВС? 4 : 5

11. Укажите координаты точки пересечения прямой у = 0,5х + 2 с осью

ординат. (0; 2)

12. Две плоскости и пересекаются. Прямая l пересекает плоскость .

Всегда ли прямая l пересечет плоскость ? Нет

13. Перпендикулярны ли векторы | |(3; 2) и | |(2; - 3)? Да

14. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от

двух точек А и В. [Плоскость, перпендикулярная АВ, проходящая через середину отрезка АВ]

15. Площадь круга равна 36 см ². Вычислите радиус круга. 6 см

16. Прямая l не перпендикулярна плоскости . Можно ли на плоскости

найти прямую, которая будет перпендикулярна прямой l? Можно

17. Площадь трапеции равна 30 см², ее средняя линия равна 6 см.

Вычислите высоту трапеции. 5 см

18. Известно, что | | = 6 см, | | = 5 см, а угол между ними 45°. Вычислите

скалярное произведение векторов. 15

19. Сторона равностороннего треугольника равна 4 дм. Вычислите его

площадь. 4 см²

20. Является ли диагональ параллелограмма осью cимметрии? Нет

21. Векторы (12; ,4) и (6; у) параллельны. Определите у. 2

22. Две прямые а и b параллельны плоскости . Параллельны ли прямые

а и b? Нет

23. Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести

из точки, лежащей на этой прямой? Бесчисленное множество

24. Сколько плоскостей можно провести через три точки, которые лежат

на одной прямой? Бесчисленное множество

25. Силы 9 Н и 12 Н действуют из одной точки и направлены под прямым

углом. Вычислите равнодействующую силу. 15 Н

26. Может ли параллельная проекция параллелограмма на плоскость

быть квадратом? Да

27. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине

в два раза больше угла при основании. 45 ^o, 45 ^o и 90°

28. Хорда пересекает диаметр окружности под пряным углом и делит его на

отрезки 3 и 12 см. Вычислите длину хорды. 12 см

29. Радиусы двух окружностей равны 8 и 3 см, а длина общей внешней

касательной равна 12 см. Вычислите расстояние между центрами

окружностей. 13 см

30. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону пополам,

а его периметр равен 60 см. Вычислите стороны прямоугольника. 10 и 20 см

Январь

1. В равностороннем треугольнике сторона равна 8 см. Вычислите площадь

треугольника. 16 см²

2. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от

всех точек окружности. [Перпендикуляр к плоскости окружности, проходящей через

центр окружности]

3. Основания трапеции равны 6 и 14 см, а высота 10 см. Вычислите площадь

трапеции. 100 см³

4. Могут ли две плоскости, которые проходят через непараллельные

прямые, быть параллельными? Да

5. Концы отрезка длиной 15 см принадлежат двум параллельным плоскостям,

расстояние между которыми равно 12 см. Вычислите проекцию отрезка

на плоскость. 9 см

6. Радиус окружности 3 дм. Вычислите длину окружности. 6 дм

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а боковые стороны –

по 5 см. Вычислите площадь треугольника. 12 см²

8. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и CD

пересекаться? Нет

9. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40 см. Вычислите радиус

описанной окружности. 25 см

10. Сторона AD параллелограмма ABCD принадлежит плоскости , а сторона

ВС отстоит от нее на 12 см. Вычислите расстояние от точки пересечения

диагоналей параллелограмма до плоскости . 6 см

11. В равностороннем треугольнике сторона равна 6 см. Вычислите площадь

треугольника. 9 см²

12. Во сколько раз окружность длиннее радиуса? В 2 раз

13. Координаты точек на плоскости А(6; 1) и В(2; 3). Найдите координаты

середины отрезка АВ. С(4; 2)

14. Какой угол образует прямая у = х с осью ординат? 60°

15. Является ли точка пересечения диагоналей параллелограмма центром

симметрии? Да

16. Вычислите координаты точки пересечения прямых х + у = 5 и х - у = 1. (3; 2)

17. Вычислите вписанный угол, если он опирается на диаметр. 90°

18. Поверхность куба равна 54 дм². Вычислите его объем. 27 дм³

19. Назовите геометрическое место точек, равноудаленных от двух

параллельных плоскостей? Параллельная плоскость

20. Концы отрезка длиной 10 см лежат в параллельных плоскостях.

Параллельная проекция отрезка равна 6 см. Вычислите расстояние

между плоскостями. 8 см

22. Диагонали ромба равны 160 и 120 см. Вычислите сторону ромба. 100 см

23. На тело в точке О действуют две силы 12 Н и 5 Н, а угол между их

направлениями прямой. Вычислите равнодействующую силу. 13 Н

24. Площадь параллелограмма равна 60 см², а основание 15 см. Вычислите

высоту параллелограмма на основание. 4 см

25. Координаты точки К( - 3; 2). Укажите координаты точки М симметричной

точке К относительно начала координат. М(3; - 2)

26. Прямые а и b принадлежат пересекающимся плоскостям. Могут ли прямые

а и b быть параллельны? Да

27. Как изменится площадь прямоугольника, если измерения уменьшить в два

раза? Уменьшится в 4 раза

28. В параллелограмме углы относятся, как 2 : 3. Вычислите эти углы. 72°, 108°

29. Радиусы двух кругов равны 3 и 4 см. Их общие внутренние касательные

взаимно перпендикулярны. Вычислите длину этих касательных. По 7 см

30. Две хорды пересекаются. Первая делится точкой пересечения на отрезки

6 см и 2 см. Один из отрезков второй хорды равен 4 см. Вычислите вторую

хорду. 7 см

Февраль

1. Даны четыре различные точки A, В, С и D Три из них лежат на одной

прямой. Могут ли все точки лежать в одной плоскости? Да

2. Ребро куба равно 4 см. Выислите объем куба. 64 см³

3. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна 13 см, а катет 5 см.

Вычислите другой катет. 12 см

4. Концы отрезка не пересекают плоскость и удалены от нее на расстояние

10 и 20 см. На каком расстоянии находится середина этого отрезка? 15 см

5. На каком расстоянии находится точка пересечения диагоналей куба от

его ребра длина которого 10 см? 5 см

6. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Меньшая

сторона равна 6 см. Вычислите периметр параллелограмма. 36 см

7. Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся, как 7 : 2.

Вычислите эти углы. 140° и 40°

8. Проходит ли прямая у = 2х - 3 через точку А(2; 3)? Нет

9. Сколько осей симметрии у ромба? 2

10. Диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам. Можно ли

считать его параллелограммом? Да

11. Координаты точек А(2; 1) и В(8; 2). Определите координаты вектора АВ. (6;1)

12. Из концов дуги в 200° проведены касательные до взаимного пересечения.

Под каким углом пересекаются эти касательные? 20°

13. Хорда длиной 10 см стягивает дугу в 60°. Вычислите длину окружности. 20 см

14. Является ли точка пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции

центром симметрии? Нет

15. В пространстве расположена трапеция. Чем является его параллельная

проекция на плоскость? Трапеция или отрезок

16. Площадь круга равна 16 см². Вычислите радиус круга. 4 см

17. Какая линия представляет множество точек ху = 0 на плоскости? Оси координат

18. Хорда пересекает диаметр окружности под прямым углом и делит его

на отрезки 4 и 9 см. Вычислите длину хорды. 12 см

19. Параллельны ли прямые 2х - у = 1 и 4x - 2у = 1? Да

20. Вершина угла находится внутри окружности, а дуги между сторонами и

продолжением сторон равны 40° и 80°. Вычислите угол. 60°

21. Стороны ромба равны по 12 см, а угол между ними 60°. Вычислите

площадь ромба. 72 см²

22. Известно, что | | = 5 см, | | = 10 см, а угол между а и b равен 30°.

Вычислите скалярное произведение векторов. 25

23. В равностороннем треугольнике проведены две высоты. Вычислите

наименьший угол между высотами. 60°

24. Стороны параллелограмма относятся, как 2 : 3. Сколько процентов

составляет большая сторона от периметра? 30%

25. Проекция отрезки на плоскость равна 12 см, а длина отрезка 24 см.

Вычислите угол между отрезком и плоскостью. 60°

26. В треугольнике ABC стороны АВ и АС соответственно равны 20 и 30 см.

В каком отношении биссектриса угла А делит сторону ВС? 2 : 3

27. Определите множество точек на плоскости, заданное равенством ху = 4. Гипербола

28. Из точки А к окружности проведена касательная и секущая, равная 12 см.

Внешний отрезок секущей равен 3 см. Вычислите длину касательной. 6 cм

29. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения

равны 5, 4 и 3 см. 60 см ³

30. Две прямые 2х – у = 4 и 2х + у = 8 пересекаются. Вычислите координаты

точки пересечения этих прямых. (3; 2)

Март

1. Основания трапеции равны 4 и 12 см, а высота 10 см. Вычислите площадь

трапеции. 80 см²

2. Радиус окружности равен 4 см. Вычислите длину окружности. 8 см

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 5, 6 и 7 дм. Вычислите

его объем.. 210 дм³

4. Прямая АВ и точки С, D не принадлежат одной плоскости. Пересекаются

ли прямые АB и CD? Не всегда

5. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковые стороны –

по 13 см. Вычислите площадь треугольника. 60 см²

6. Катеты в прямоугольном треугольнике равны 8 и 15 см. Вычислите

гипотенузу. 17 см

7. Может ли быть правильный треугольник сечением куба? Да

8. Для каких углов А в прямоугольном треугольнике ctg А 1? 45° А < 90°

9. Стороны угла пересекают окружность, а дуги между его сторонами

равны 30° и 90°. Вычислите угол. 30°

10. Назовите геометрическое место точек на плоскости х² + у² 4. Круг с R = 2

11. Гипотенуза треугольника равна 10 см, а один катет 6 см. На какие

отрезки биссектриса угла делит второй катет? 5 и 3 см

12. В треугольнике АВС соs А = . Чему равен угол А? 60°

13. Координаты точек на плоскости А(- 1; 1) и B(5; 3). Вычислите координаты

середины отрезка AB. (2; 2)

14. Дано уравнение прямой у = - 3х + 6. Определите координаты точек

пересечения прямой с осью абсцисс. (2; 0)

15. Сколько осей симметрии у круга? Бесконечное множество

16. Площадь треугольника равна 36² дм. Вычислите площадь подобного ему

треугольника, стороны которого вдвое меньше, чем у заданного. 9 дм²

17. Определите вид треугольника в зависимости от углов, если его стороны

равны 4, 6 и 8 см. Тупоугольный

18. На каком расстоянии находятся точки A(7; 5) и B(3; 2)? 5 единиц

19. Две силы 8 Н и 15 Н приложены к одной точке и действуют под прямым

углом. Вычислите равнодействующую силу. 17 Н

20. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения

равны 6, 3 и 2 см. 36 см²

21. Поверхность куба равна 96 см². Вычислите его объем. 64 см³

22. Стороны параллелограмма равны 10 и 12 см, а угол между ними 30°.

Вычислите площадь параллелограмма. 60 см²

23. Известно, что | | = 4 см, | | = 5 см, а угол между ними 60°. Вычислите

скалярное произведение векторов. 10

24. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7 см. Определите вид треугольника в

зависимости от углов. Остроугольный

25. Радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника равен 5 см,

а катет равен 6 см. Вычислите площадь треугольника. 24 см²

26. Назовите на плоскости геометрическое место точек, заданное неравенством

х² - 5х + 6 0. Полоса на плоскости между прямыми х = 2, х = 3

27. Отрезок длиной 30 см образует с плоскостью угол 60°. Вычислите

проекцию отрезка на плоскость. 15 см

28. Вычислите угол, вписанный в дугу, которая составляет 5/12 окружности. 75°

29. Назовите геометрическое место точек на плоскости | у | = 3. Прямые y = 3 и y = -3

30. Две хорды пересекаются. Первая хорда делится на отрезки 3 и 12 см.

Один отрезок второй хорды равен 4 см. Вычислите вторую хорду. 13 см

Апрель

1. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4 дм. Определите вид треугольника в

зависимости от углов. Тупоугольный

2. Вычислите углы треугольника, если они относятся как 1 : 2 : 3. 30°, 60°, 90°

3. Катет прямоугольного треугольника равен 20 дм, а гипотенуза 25 дм.

Вычислите другой катет. 15 дм

4. Площадь грани куба равна 9 дм². Вычислите его объем. 27 дм³

5. Радиус окружности 6 см. Вычислите площадь круга. 36 см²

6. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Вычислите

угол при основании. 70°

7. Отрезок в 20 см образует с плоскостью угол 60°. Вычислите проекцию

отрезка на плоскость. 10 см

8. У двух связанных между собой шестерен имеется 60 зубцов и 20 зубцов.

На сколько градусов повернется большая шестерня, если меньшая сделает

один оборот? 120°

9. Площадь равностороннего треугольника равна 25 дм². Вычислите

его сторону. 10 дм

10. Напишите уравнение окружности радиуса 6 см с центром в начале

координат. х² + у² = 36

11. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см, а

катет АС равен 12 см. На какие отрезки биссектриса угла А делит другой

катет? 6 и 10 см

12. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(12; 5)? 13 см

13. Координаты точек А(- 2; - 1) и B(7; 1). Укажите координаты вектора . (9; 2)

14. Дуга содержит 160°. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? 100°

15. Может ли быть в сечении куба правильный шестиугольник? Да

16. Площадь трапеции равна 24 см², а высота 4 см. Вычислите среднюю

линию трапеции. 6 см

17. Верно ли утверждение, что «прямая перпендикулярна плоскости, если

она перпендикулярна двум сторонам трапеции, лежащей в этой

плоскости»? Не всегда

18. Из точки окружности проведены равные хорда и радиус. Найдите

угол между ними. 60°

19. Отрезок пересекает плоскость, а концы его удалены от плоскости на 2 и

8 см. На каком расстоянии находится середина отрезка от плоскости? 3 см

20. В равностороннем треугольнике проведены две биссектрисы. Вычислите

наименьший угол между биссектрисами. 60°

21. Сторона ромба равна 8 см, а угол между eе сторонами равен 150°.

Вычислите площадь ромба. 32 см²

22. Один угол параллелограмма составляет 25% другого угла. Вычислите

углы параллелограмма. 36^о и 144°

23. Хорда пересекает диаметр окружности под прямым углом и делит его

на отрезки 2 и 4,5 см. Вычислите длину хорды. 6 см

24. Сторона треугольника АВС АВ равна 6 см, сторона АС равна 10 см. В

каком отношении биссектриса угла А делит третью сторону ВС? 3 : 5

25. Назовите множество точек на плоскости, заданное уравнением х² - 4 = 0.

Прямые х = 2 и х = -2

26. Какой угол образует прямая 2х - 2у = 5 с ось абсцисс? 45°

27. В треугольнике АВС cos А = - 0,5. Вычисли угол А. 120°

28. Параллельны ли прямые 3x - у = 3 и 6х - 2у = 3? Да

29. Площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна 12 см², а

его объем 36 см³. Вычислите высоту параллелепипеда. 3 см

30. Сколько осей симметрии у квадрата? 4

Май

1. Площадь грани куба равна 4 см². Вычислите его объем. 8 см³

2. Длина окружности равна 10 см. Вычислите радиус окружности. 5 см

3. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковые

стороны - по 13 см. Вычислите площадь треугольника. 60 см²

4. Дуга содержит 100°. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? 130°

5. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 5 и 8 дм. Вычислите

его объем. 120 дм³

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40 дм. Вычислите

гипотенузу. 50 дм

7. Даны координаты точек А(2; 1; 3) и В(5; 4; 3). Найдите координаты вектора

. (3;3;0)

8. Вычислите расстояние точки А(4; 4; - 2) до начала координат. 6

9. Перпендикулярны ли векторы (3; 1; 1) и (1; 2; - 5)? Да

10. В прямоугольном треугольнике sin A = 0,6. Вычислите tg A. 3/4

11. Вычислите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет

четверть окружности. 45°

12. Хорда пересекает под прямым углом диаметр окружности и делит его на

отрезки 2 и 8 см. Вычислите длину хорды. 8 см

13. Концы отрезка АВ, равного 20 см, принадлежат параллельным плоскостям.

Отрезок и его проекция образуют угол 45°. Вычислите расстояние между

плоскостями. 10 см

14. Радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, равен 10 см,

его катет равен 16 см. Чему равен синус меньшего угла треугольника? 0,6

15. Основания трапеции равны 8 и 12 см, а ее высота 5 см. Вычислите

площадь трапеции. 50 см²

16. Точка М лежит на перпендикуляре к плоскости и удалена от нее на

расстояние 12 см, а точка А принадлежит этой же плоскости и удалена

от основания перпендикуляра на 5 см. Вычислите расстояние AM. 13 см

17. Принадлежит ли точка А(0; 5; 0) плоскости 2х + у - z - 5 = 0? Да

18. Коллинеарны ли векторы (4; 4; 2) и (2; 2; 1)? Да

19. Параллельны ли плоскости 2х + 4у + 6z - 12 = 0 и х + 2у + 3z - 3 = 0? Да

20. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; 1; 2) и

перпендикулярной вектору (1; 3; 2). x + 3у + 2z - 11 = 0

21. Стороны параллелограмма равны 15 и 6 см, а угол между ними равен

150⁰. Вычислите площадь параллелограмма. 45 см²

22. Может ли катет равнобедренного прямоугольного треугольника образовать

угол 60° с плоскостью, проходящей через гипотенузу? Нет

23. Один конец отрезка длиной 20 дм принадлежит плоскости. Отрезок

образует с плоскостью угол в 30°. На какой высоте от плоскости находится

другой конец отрезка? 10 дм

24. Даны координаты векторов (2; 3; 4) и (1; 4; 2). Вычислите координаты

вектора . (3; 7; 6)

25. Площадь треугольника равна 60 см². Его плоскость составляет угол 60° с

плоскостью . Вычислите площадь проекции треугольника на плоскость . 30см²

26. В пространстве квадрат. Что является параллельной проекцией квадрата

на плоскость? Параллелограмм или отрезок

27. Напишите уравнение сферы с центром в начале координат и

радиусом 4 см. х² + у² + z² = 16

28. Координаты точки М(1; 2; 2). Вычислите расстояние точки М до начала

координат. 3

29. Перпендикулярны ли плоскости 2х - 5у + z + 4 = 0 и 3x + 2y + 4z - 1 = 0? Да

30. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если измерения

увеличить в два раза? Увеличится в 8 раз

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 335; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!