Обратное интерполирование для равноотстоящих аргументов.
Обратное интерполирование на основе 1ИФН
Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по функции найти значение аргумента .
Предположим, что монотонна, и значение содержится между и . Заменяя интерполяционным полиномом Ньютона, имеем:
Тогда , где число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки .
За начальное приближение принимаем:
Применяя метод итераций, получим:
Итерационный процесс, останавливается, когда
и тогда
После этого вычисляется значение
Пример.
Заданы координаты узловых точек. Для значения определить с точностью
4 | 11 |
6 | 27 |
8 | 50 |
10 | 83 |
Решение. Построим горизонтальную таблицу разностей:
x | y | |||
4 | 11 | 16 | 7 | 3 |
6 | 27 | 23 | 10 | |
8 | 50 | 33 | ||
10 | 83 |
Þ
Так как требуемая точность достигнута, то можно вычислить значение аргумента:
Обратное интерполирование на основе 2ИФН
Обратное интерполирование на основе 2ИФН осуществляется по аналогичным формулам:
где координата ближайшей узловой точки.
,
где координата ближайшей узловой точки, заданное значение.
Решение дифференциальных уравнений
Метод Эйлера
В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
|
|
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек .
В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:
.
При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку
y
Первая улучшенная формула Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение в каждой точке определяется по формуле:
,
где
.
Геометрически это означает, что отрезок ломанная между точками заменяется на два отрезка . Направление первого отрезка совпадает с направлением интегральной кривой в точке , а направление второго отрезка определяется направлением интегральной кривой в вспомогательной точке .
|
|
Вторая улучшенная формула Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение в каждой точке определяется по формуле:
,
где
Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления ломаной берется среднее этих направлений.
Метод Рунге–Кутты
Наибольшее применение на практике получил метод Рунге–Кутты 4-го порядка:
,
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 619; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!