Векторно-матричная форма записи ДУ

Данная форма позволяет ДУ (2) записать в виде

(3)

здесь , , ,

т.е. z - вектор-столбец фазовых координат размерности , А - матрица параметров размерности , B - матрица параметров размерности (m - размерность входа x, для нашего случая m =1).

В рассматриваемом примере для ДУ второго порядка имеем

Дифференциально-разностная или дискретная форма

При расчете динамических режимов на ЭВМ и микропроцессорных системах управления используется дискретная форма записи, т.е.

(4)

или

(4а)

здесь - шаг дискретизации по времени, - значения вектора z и входа x на i-ом шаге; F , G - матрицы размерностей и , зависящие от шага , при этом , .

В моделях (4), (4а) предполагается, что в пределах шага значение входа x постоянно.

Некоторые случаи ДУ

1. ДУ с запаздыванием по каналу управления.

Многие объекты характеризуются временем запаздывания

в этом случае ДУ в векторно-матричной форме имеет вид

Время запаздывания в тепловых объектах называется конечной скоростью распространения тепла в нагреваемом теле.

2. Для нестационарных объектах параметры ДУ медленно изменяются во времени. В этом случае ДУ имеет вид

Изменение параметров может быть вызвано старением материалов, ухудшение изоляции и т.д.

3. При изменении фазовых координат в широком диапазоне значения параметров могут сильно изменяться. В этих случаях могут использоваться ДУ с разрывной правой частью, например

Область применения ДУ

1. Для составления моделей на основе физико-химических законов.

Например, по 2-му закону Ньютона , здесь - ускорение или , f - сила или x, тогда ДУ имеет вид .

2. ДУ удобны для исследования свойств объектов путем решения прямых задач моделирования, т.е. задается функция входа x ( t ) и рассчитывается как изменяется выход y, проверяется устойчивость, точность и др. свойства.

3. ДУ используются для решения задач оптимального управления

Объект	А матрица	матричная экспонента	Дифференциальное уравнение
А, Апериодическое звено
ДИ, Двойной интегратор
РДИ Реальный двойной интегратор
ДА Двойное апериодическое звено