Вывод дифференциальных уравнений движения жидкости и газа в трещиноватых и трещиновато-пористых средах



XI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Особенности фильтрации в трещиноватых

И трещиновато-пористых средах

Промысловые данные, а также данные исследования кернов и шлифов свидетельствуют о том, что трещиноватые породы имеют сложную систему строения, а движение в них жидкости и газа от­личается некоторыми особенностями по сравнению с движением в пористой среде. В трещиноватой породе имеются микро- и макро­трещины, мелкие и крупные каверны, полости; сама порода — мат­рица (пространство между трещинами) может быть абсолютно не­проницаемой или представлять собой обычную пористую среду. Раскрытия макротрещин имеют порядок 1 мм, а в отдельных слу­чаях и больше, микротрещин – 1-100 мкм. Исходя из того, что сопротивление движению жидкости в трещиноватых породах до­статочно велико, исследователи считают, что макротрещины не имеют значительной протяженности и в большинстве случаев сое­диняются между собой микротрещинами (которые и создают боль­шие сопротивления).

Для понимания особенностей фильтрации жидкости и газа в тре­щиноватых породах рассматривают две модели пород — чисто тре­щиноватые и трещиновато-пористые (рис.78). В чисто трещиноватых породах (см. рис. 78,а) блоки породы, расположенные ме­жду трещинами, практически непроницаемы, движение жидкости и газа происходит только по трещинам (на рисунке показано стрел­ками), т. е. трещины являются и коллектором, и проводником жидкости к скважинам. К таким породам относятся сланцы, кри­сталлические породы, доломиты, мергели и некоторые известняки. Рассматривая трещиноватую породу с жидкостью как сплошную среду, нужно за элемент породы принимать

Рис. 78. Схемы чисто трещиноватой (а) и трещиновато-пористой (б) сред: 1,3 – трещины; 2-пористые блоки

объем, содержащий большое количество блоков, и усреднение фильтрационных харак­теристик проводить в пределах этого элемента, т. е. масштаб дол­жен быть гораздо большим, чем в пористой среде. Если предста­вить себе блок в виде куба со стороной а= 0,1 м, то в качестве эле­ментарного объема надо взять куб со стороной порядка 1 м.

Трещиновато-пористая среда представляет собой совокупность пористых блоков, отделенных один от другого развитой системой трещин              (см. рис.78,б). Жидкость или газ насыщают и проницаемые блоки, и трещины. При этом поперечные размеры трещин значительно превосходят характерные размеры пор, так что проницаемость системы трещин k1 значительно больше, чем проницае­мость системы пор в блоках k2. В то же время трещины занимают гораздо меньший объем, чем поры, так что коэффициент трещиноватости m1- отношение объема, занятого трещинами, к общему объему породы, существенно меньше пористости отдельных бло­ков m2.

Трещиновато-пористые коллекторы — это в основном известняки, иногда песчаники, алевролиты, доломиты.

 

Рис. 79. Модель трещиноватой среды с упорядоченной системой трещин

 

 

Рассмотрим характеристики чисто трещиноватой породы. Тре­щина представляет собой узкую щель, два измерения которой во много раз больше третьего. Коэффициент трещиноватости составляет обычно доли процента (в то время, как коэффициент пористо­сти зернистой породы составляет 10—20%). Коэффициент трещи­новатости m1 так же, как и коэффициент проницаемости k1, опре­деляется густотой и раскрытием трещин. Густотой трещин Г на­зывается число трещин п, отнесенное к длине нормали L, прове­денной к поверхностям, образующим трещины. Для простоты пред­ставим себе модель трещиноватой среды с упорядоченной системой параллельных и равноотстоящих трещин с раскрытием d(рис. 79). Густота трещин Г = п/ h , а коэффициент трещиноватости

                                (11.1)

Движение жидкости или газа в трещине можно представить себе как движение в узкой щели между двумя параллельными пло­скими стенками с расстоянием между ними d; для такого движения справедлива формула Буссинеска, согласно которой средняя ско­рость движения жидкости в щели

 

                                     (11.2)

где m -  динамический коэффициент вязкости;  - градиент давления.

Переходя к скорости фильтрации , получим

 

                                       (11.3)

 

Сопоставив формулу (11.3) с законом Дарси, найдем выражение для коэффициента проницаемости трещиноватой породы.

 

                                  (11.4)

 

Экспериментами установлена зависимость проницаемости тре­щиноватых пород от пластового давления более существенная, чем зависимость от давления проницаемости пористых сред. Из фор­мулы (11.4) зависимость k1(p) можно получить следующим обра­зом. Горное давление, которое можно считать постоянным, урав­новешивается напряжениями в скелете породы и давлением жидко­сти в трещинах. При снижении пластового давления увеличивается нагрузка на скелет породы и уменьшается раскрытие трещин (с ро­стом давления раскрытие трещин увеличивается). Если считать, что деформации в трещиноватом пласте упругие и малы по величине, то зависимость раскрытия трещины от давления можно счи­тать линейной:

 

,                                 (11.5)

где b -  параметр трещиноватой среды, зависящий от упругих свойств и геометрии трещин. Исходя из формул (11.4) и (11.5), можно записать зависимость коэффициента проницаемости k1 от давления следующим образом:

                                  (11.6)

где  - коэффициент проницаемости трещиноватой породы при давлении p0.           

Как уже указывалось ранее, экспериментом хорошо подтверж­дается экспоненциальная зависимость проницаемости от давления:

                                        (11.7)

а при малых изменениях давления зависимость  можно счи­тать линейной:      

 

,                                   (11.8)

где .

При рассмотрении установившейся фильтрации в трещиновато-пористом пласте обычно считают, что коэффициент проницаемости трещин k1 существенно зависит от давления и определяется одной из формул (11.6) –(11.8), а коэффициент проницаемости пори­стых блоков k2 не зависит от давления и принимается постоянным. Соотношения для установившихся фильтрационных потоков в тре­щиновато-пористой среде получаются суммированием потоков в трещинах и в пористых блоках.

В трещиноватых породах, где истинное сечение потока сравни­тельно мало, а дебиты обычно велики, особенно вероятно откло­нение от закона Дарси за счет проявления инерционных сил. При этом обычно используют двучленный закон фильтрации (1.23).

Наиболее ярко особенности фильтрации в трещиновато-пори­стой среде проявляются в неустановившихся процессах. Система трещин и система пор представляют собой две среды с разными мас­штабами (см. рис. 78,б). Средний размер пор составляет 1—100 мкм, протяженность трещин — от нескольких сантиметров до десятков метров. Так как коэффициент пористости блоков m2 на один-два порядка выше, чем коэффициент трещиноватости m1, то большая часть жидкости находится в порах. Чаще всего пори­стые блоки малопроницаемы ( ) и жидкость, фильтруясь из них в трещины, движется в скважины в основном по трещинам, проводимость которых значительно выше, чем пористых блоков.

Рассмотрим этот процесс подробнее. Пусть происходит резкое изменение давления на забое скважины. Если блоки считать не­проницаемыми, то можно использовать обычную теорию упругого режима, причем коэффициент пьезопроводности , определенный через характеристики системы трещин, может оказаться очень большим, так как k1 велик, а m1 мал. Это значит, что процесс перераспределения давления в трещинах будет происходить с большой скоростью и в трещинах за сравнительно небольшое время установится новое распределение давления. Из-за малой проницаемости блоков k2 жидкость из них выходит медленно и давление в блоках длительное время сохраняет свое начальное значение. Тем самым между жидкостью, находящейся в блоке, и жидкостью, его окружающей, создается разность давлений. В ре­зультате перетока части жидкости из блока в трещины происходит постепенное выравнивание давлений. Этот процесс будет тем дли­тельнее, чем меньше проницаемость блока k2, больше его размеры, пористость m2, сжимаемость жидкости bЖ и порового про­странства bC.

Таким образом, характеристики движения в блоках и трещи­нах оказываются различными: давление в блоках p2 больше, чем давление в трещинах p1, скорость фильтрации в блоках V2 значи­тельно меньше, чем в трещинах V1. Поэтому трещиновато-пори­стую среду рассматривают как совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов: 1) среда 1 — укрупненная среда, в ко­торой роль зерен играют пористые блоки, которые рассматриваются как непроницаемые, а роль поровых каналов — трещины, давле­ние в этой среде равно p1, скорость фильтрации V1; 2) среда 2 — система пористых блоков, состоящих из зерен, разделенных мелкими порами, давление в ней достигает p2, скорость фильтрации V2 . Таким образом, p1- среднее давление в трещинах в окрестности данной точки, p2 - среднее давление в блоках, аналогично для скоростей фильтрации.

Важная особенность неустановившейся фильтрации в трещино­вато-пористой среде — интенсивный обмен жидкостью между обеими средами, т. е. между пористыми блоками и трещинами, обусловлен­ный различием давлений в этих средах p1 и p2. Обмен жидкостью происходит при достаточно медленном изменении давлений с те­чением времени, поэтому этот процесс можно считать квазистацио­нарным, т. е. не зависящим явно от времени. Очевидно, что при движении слабосжимаемой жидкости масса жидкости, вытекающей из блоков в трещины за единицу времени в единице объема породы (интенсивность перетока q), пропорциональна разности давлений p2-p1, плотности  (считая, что плотность мало изменяется в ин­тервале давлений от p1 до p2) и обратно пропорциональна вязкости m, т. е.

 

                                      (11.9)

где a0 безразмерный коэффициент, зависящий от геометриче­ских характеристик блоков: проницаемости k2, среднего размера блоков  и безразмерных величин, характеризующих форму блоков;

Соотношение (11.9) должно быть уточнено для случая, если плотность значительно зависит от давления. Например, при филь­трации идеального газа интенсивность перетоков из блоков в тре­щины представляется в виде

 

                                    (11.10)

где p0 —фиксированное давление, соответствующее плотности .

 

Вывод дифференциальных уравнений движения жидкости и газа в трещиноватых и трещиновато-пористых средах

 

Выведем дифференциальные уравнения движения жидкости и газа в деформируемой трещиновато-пористой среде, считая, что в каж­дой точке имеется два давления (p1 в системе трещин, p2 в по­ристых блоках) и две скорости фильтрации —V1 и V2 соответст­венно. Перетоки между средами определяются формулами (11.9) или(11.10).

При составлении дифференциальных уравнений записывают два уравнения неразрывности — одно для фильтрации в трещинах (среда 1), другое для фильтрации в пористых блоках (среда 2). Уравнение баланса жидкости в трещинах, т. е. уравнение нераз­рывности, отличается от уравнения (2.11) только наличием в правой части добавочного члена, представляющего собой массу жидкости (или газа) q, перетекающей за единицу времени из блоков в трещины в единице объема среды:

 

              (11.11)

 

где — плотность жидкости или газа при давлении p1.

Для фильтрации в пористых блоках уравнение неразрывности принимает вид               

 

            (11.12)

 

где  — плотность жидкости или газа при давлении p2.

Для чисто трещиноватого пласта q = 0 и остается только урав­нение (11.11), так как в блоках не содержится жидкости.

Считая, что выполняется линейный закон Дарси, можем напи­сать дифференциальные уравнения движения в системе трещин и в пористых блоках соответственно:

 

             (11.13)

 

            (11.14)

 

К уравнениям (11.11)—(11-14) должны быть добавлены за­висимости плотности , пористостей обеих сред m1 и m2 и проницаемостей k1 и k2 от давлений p1 и p2.

Подставив выражения (11.13), (11.14), а также (11.9) для упру­гой жидкости или (11.10) для газа в уравнения неразрывности (11.11) и (11.12), получим систему уравнений неустановившейся фильтрации любого однородного флюида в трещиновато-пористой среде в общем виде

 

(11.15)

 

(11.16)

где  — для упругой жидкости;  — для иде­ального газа.

Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производ­ных относительно давлений p1 и p2 к ней необходимо добавить начальные и граничные условия.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 39;