Виды средних величин и сфера их применения
Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.
Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.
Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.
|
|
Групповые средние используются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком и результативном показателем.
Групповые средние широко применяются также при определении имеющихся использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются и индивидуальные значение признака.
Все средние величины делятся на два больших класса:
1) степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняя геометрическая;
2) структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.
Степенные средние величины исчисляются в двух формах — простой и взвешенной.
Простая средняя величина считается по несгруппированным данным и имеет следующие общий вид:
,
где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;
m – показатель степени средней;
n – число вариант (наблюдений).
Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:
|
|
,
где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.
Таблица 2.1
№ п/п | Возраст (лет) | № п/п | Возраст (лет) | № п/п | Возраст (лет) | № п/п | Возраст (лет) |
1 | 18 | 6 | 20 | 11 | 22 | 16 | 21 |
2 | 18 | 7 | 19 | 12 | 19 | 17 | 19 |
3 | 19 | 8 | 19 | 13 | 19 | 18 | 19 |
4 | 20 | 9 | 19 | 14 | 20 | 19 | 19 |
5 | 19 | 10 | 20 | 15 | 20 | 20 | 19 |
Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:
Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:
Таблица 2.2
Возраст, X лет | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | Всего |
Число студентов | 2 | 11 | 5 | 1 | 1 | 20 |
В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:
Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
|
|
· средняя гармоническая, если m = - 1;
· средняя геометрическая, если m → 0;
· средняя арифметическая, если m = 1;
· средняя квадратическая, если m = 2;
· средняя кубическая, если m = 3.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности:с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:
Xгарм ≤ Xгеом ≤ Xарифм ≤ Xквадр ≤ Xкуб.
Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее "знатока" либо "утопить", либо "выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?
Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает "утопить" несчастного и вычислит среднюю гармоническую
,
то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:
.
Студент уже выглядит "хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!
|
|
Формулы степенных средних величин приведены в табл. 2.3
В формулах средних значений п — это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X ); х — индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, то х — это значение признака, общее для всей группы; f — численность группы (частота повторения данного значения признака).
Таблица 2.3 Формулы средних величин
Вид степенной средней | Показатель степени(m) | Формулы расчета средней | |
простой | взвешенной | ||
Гармоническая | -1 | m=xf | |
Геометрическая | → 0 | ||
Арифметическая | 1 | ||
Квадратическая | 2 | ||
Кубическая | 3 |
Степенные средние величины
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!