Приклад розв'язку типової задачі
Нехай випадкова величина X приймає наступний безперервний ряд значень:
0.3977801.6260473.712942-0.732191-1.070720
0.594877 - 0.0112791.716456-3.3376170.007172
0.663299-0.4412122.0750801.881620-2.088742
1.9913241.0363951.1338381.1655331.264862
2.3115392.8839420.232771-1.5445800.319252
2.9683571.775734-0.3564310.8063171.110993
0.0249601.838822-0.5991992.512275-3.040607
2.874235-1.6642481.0080920.7625010.107686
1.565826-0.4559481.887287-0.8452910.719599
2.3363190.9064131.733929-0.4664472.120893
0.3313110.8929770.988919-0.1805820.101599
2.1264641.0965252.121343-1.2558211.779378
4.356973-0.098316-1.3924411.6871980.374275
1.631167-1.9162120.4193822.026432-1.076515
1.467196-1.3863272.266472-1.1286360.291052
0.9213022.2678832.4135031.424872-1.084125-0.856300-0.055433-1.1430031.1496910.179690
1.7908670.3897065.6872311.014007-1.892447
1.0589170.564070-0.288985-0.0135031.470428
0.3068732.869473-0.8498070.6511941.461751
Виділили найбільше та найменше значення випадкової величини X у вибірці:
XMIN=-4.356973, XMAX=5.687231.
Проводимо розбиття діапазону значень випадкової величини X на рівновіддалені.
Маємо 11 одиничних інтервалів (в нашому випадку це зручно для побудови гістограми). Тобто s=11. Оцінивши число ступенів свободи k як k≈ s, робимо висновок, що знижувати кількість значень випадкової величини, які попадають в кожний інтервал розбиття не можна (враховуємо це при корекції розбиття в наступному пункті).
Результати заносимо в Таблицю 4.1 (друга строчка).
Обчислюємо частоти появи значень випадкової величини X в кожному з інтервалів розбиття - експериментальні частоти. Результати заносимо в Таблицю 4.1 (третя строчка).
Проводимо корекцію розбиття для застосування методу Пірсона (проводимо укрупнення крайніх інтервалів шляхом їхнього об’єднання, доки не отримаємо мінімальну допустиму в методі Пірсона кількість значень випадкової величини, що попадають у формуємий інтервал; в нашому випадку ця кількість повинна бути не менша 10).
|
|
|
Результати заносимо в Таблицю 4.2 (друга строчка).
Проводимо обчислення оцінок основних характеристик випадкової величини: математичного чекання, дисперсії та середньоквадратичного відхилення.
Будуємо за даними Таблиці 4.1 гістограму (рис.4.1) - експериментальний варіант графіка функції щільності імовірності. Будуємо гістограму, бо маємо справу з попаданням безперервної випадкової величини X в один з інтервалів розбиття на рівновіддалені.
Рис.4.1 Гістограма експериментального графіку функції щільності імовірності.
Аналізуємо обчислені оцінки математичного чекання та отриману гістограму.
Безперервна випадкова величина X приймає від’ємні значення. Отже, їй залишається бути розподіленою за нормальним (гаусовським) законом розподілення.
„Правило 3-х сігм” приблизно виконується (більшість значень дійсно лежить в інтервалі (-4.165276; 5.252514)). Відхилення практичної гістограми від теоретичної допоможе оцінити характеристика асиметрії та ексцес.
|
|
|
Таким чином, висуваємо гіпотезу H0 - випадкова величина X розподілена за нормальним законом розподілення.
Для обчислення теоретичних частот попадання випадкової величини X в коректований інтервал (з Таблиці 4.2) можна використовувати дві методики. Ми будемо застосовувати другу як більш теоретично обґрунтовану та правильнішу, а також точнішу.
Перша методика проста, але обчислення на її основі носять приблизний, оціночний характер. Перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини. Теоретично наша випадкова величина вважається розподіленою за загальним нормальним законом. Його функція щільності імовірності має в нашому випадку вигляд:
.
Перехід до центрованої нормальної величини:
.
Функція щільності імовірності для неї:
.
Таким чином
.
Імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) дорівнює
.
Дорівнює площі фігури, обмеженої графіком щільності імовірності, віссю 0X та прямими X=Xi, X=Xi+1.
Тобто можна приблизно вважати ії рівною добутку довжини інтервалу h на значення функції щільності імовірності в середині інтервалу (вищесказане є фактично двосторонньою оцінкою визначеного інтегралу):
|
|
|
,
де значення 
відповідає середині інтервалу
.
Знаючи теоретичну імовірність Pi, можна буде обчислити теоретичну кількість ni попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1).
Але це буде дуже приблизна оцінка, бо коректування інтервалів розширило межі інтервалів та збільшило різницю між значеннями функції щільності імовірності в них. Точність цього методу обчислення теоретичних частот буде зростати при зменшенні інтервалу розбиття. Проте, це не можливо без порушення правила розбиття діапазону зміни значень випадкової величини в методі Пірсона. З загальних теоретичних відомостей імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію щільності імовірності
,
або через функцію розподілення імовірності
.
Для нормованого нормального розподілення функція розподілення імовірності обчислюється через функцію Лапласа (сама функція Лапласа не є функцією розподілення імовірності):
.
Значення функції Лапласа затабульовані, або ж їх можна підрахувати за допомогою математичних пакетів прикладних програм. Хоча з досить високою точністю можна й самому підрахувати значення функції Лапласа, використавши наступну наближену формулу (підінтегральну функцію було розкладено в ряд та взято інтеграл):
|
|
|
.
Функція розподілення імовірності нормального розподілення пов’язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:
, якщо X>0, 
, якщо X<0.
Знову перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини:
.
Це зафіксовано у п’ятій строчці Таблиці 4.2. Тоді імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію Лапласа так:
,
де значення - нормована нормальна випадкова величина, що відповідає Xi (результат занесено в шосту строчку Таблиці 4.2). Знаючи теоретичну імовірність Pi0, можна буде обчислити теоретичну кількість ni0 попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1) з Таблиці 4.2 (і результат занесено у відповідну сьому строчку Таблиці 4.2).
Таблиця 4.1 Інтервали розбиття
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| (-5; - 4) | (-4; - 3) | (-3; - 2) | (-2; - 1) | (-1; 0) | (0; 1) | (1; 2) | (2; 3) | (3; 4) | (4; 5) | (5; 6) |
| 1 | 2 | 1 | 14 | 18 | 22 | 25 | 15 | 1 | 0 | 1 |
| 0.01 | 0.02 | 0.01 | 0.14 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.15 | 0.01 | 0 | 0.01 |
Таблиця 4.2 Розраховані імовірності
| I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| (Xi; Xi+1) | (-5; - 1) | (-1; 0) | (0; 1) | (1; 2) | (2; 6) |
| ni | 18 | 18 | 22 | 25 | 17 |
| 0.18 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.17 |
| (ui; ui+1) | (2.8395; 0.2969) | (0.2969; 0) | (0; 0.2969) | (0.2969; 0.9322) | (0.9322; 3.4752) |
| Pi0 | 0.3798 | 0.1179 | 0.1179 | 0.2059 | 0.1760 |
| ni0 | 38 | 12 | 12 | 21 | 18 |
Обчислили значення критерію збіжності Пірсона. В нашому випадку він дорівнюватиме:
.
Робимо висновок про збіжність закону розподілення практичних даних та закону розподілення, що відповідає висунутій гіпотезі H0.
Кількість ступенів свободи k = s - 1 - r, де s=5 - число інтервалів розбиття діапазону значень випадкової величини X, r=2 - число параметрів розподілення, що були оцінені за даними вибірки і використовувалися при підрахункові теоретичних ймовірностей (для нормального розподілення це математичне чекання та середньоквадратичне відхилення), дорівнює k = 5 - 3 =2.
За таблицею розподілення 
з k ступенями свободи знаходимо 
при α=0.001 (більш точні дані відсутні). Тобто практичні дані узгоджуються з гіпотезою H0 з імовірністю більш ніж 0.999.
Висока імовірність узгодженості практичних даних з теоретичними дає підставу перевірити та оцінити потужність критерію (імовірність прийняття альтернативних гіпотез).
Висновки
У виконаній курсовій роботі наведено огляд теоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики, визначено алгоритм виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І також виконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадкових величин.
Список літератури
1. В.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1988.
2. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1982.
3. А.А. Боровков. Теория вероятностей.М. - Наука, 1988.
4. Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики.М. - Наука, 1982.
5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А. Свешникова).
6. И.Н. Коваленко, А.А. Филлипов. Теория вероятностей и математическая статистика. М. - Высшая школа, 1988.
7. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М. - Наука, 1969.
8. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев - Высшая школа, 1979.
9. И.И. Гихман, А.В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов.М. - Наука, 1969.
10. А.Т. Гаврилин, О.Н. Репин, И.П. Смирнов. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький, ГГУ, 1983.
11. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. - Высшая школа, 1994.
12. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.
13. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
14. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2001.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!