Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
В 1768 году Петербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера. Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральное исчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этот труд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.
В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.
В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными.
В 1794 г. уже после смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том «Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первым двум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределен по соответствующим томам первой серии этого издания.
|
|
|
В своем издании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функций двух или большего числа переменных, когда задано какое-нибудь соотношение между дифференциалами»[9]. Он отмечает, что нахождение функции двух и большего числа переменных по заданному соотношению между их дифференциалами еще нигде не излагалось. Решение этой задачи принесло бы «очень большую пользу механике и особенно в учении о жидкостях». Таким образом, задача ставится в плане решения любых дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных. Далее Эйлер определяет полный и частный интегралы. Понятиями полного и частного интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений он владел еще в 1738 году, а в своих печатных работах ввел их впервые в 1743 году.
Рассматривая основные направления развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII века, появляются первые задачи динамики точки при их аналитической трактовке, которые потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем.
|
|
|
Назревала также потребность в развитии теории линейных уравнений. Это объясняется тем, что в начале XVIII века приобретала все более серьезное значение теории малых колебаний материальных систем с конечным числом степенной свободы. В связи с конструированием достаточного точных маятниковых часов, необходимых для астрономических наблюдений, а также с первыми гравиметрическими проблемами возникла необходимость в построении аналитической теории математического и физического маятников, являющейся развитием результатов Гюйгенса (конец XVIII в.).
Другое направление теории обыкновенных дифференциальных уравнений – численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений – было обусловлено в значительной степени требованиями небесной механики.
Одним из направлений в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений было также изучение особых решений. Оно определялось задачами геометрического содержания, в частности задачами быстро развивавшейся дифференциальной геометрии. Главнейшими задачами из них были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых (позже – семейств поверхностей). В XVIII веке направление, связанное с изучением семейств плоских кривых, в частности семейств интегральных линий, было наименее значительным. Однако уже в начале второй четверти XIX века тесно связанная с теорией особых решений проблема единственности решения задач с начальными условиями, а вместе с ней и общая проблема существования решений приобрели в теории обыкновенных дифференциальных уравнений первостепенное значение.
|
|
|
Уровень накопленных к началу XVIII веку знаний о свойствах и способах решений обыкновенных дифференциальных уравнений был совершенно недостаточен для изучения новых сложных задач. Поэтому не удивительно, что уже с начала второй четверти XVIII века наблюдалось значительное повышение интереса к этой области анализа. В первом же томе «Комментариев» Петербургской академии за 1726 год были помещены исследования по дифференциальным уравнениям Я. Германа. Х. Гольдбаха, И. Бернулли и его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII веке теория дифференциальных уравнений получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Естественно, что достижения Эйлера, первые в огромной новой области анализа, не могли быть достаточно общими и завершенными. Теорию уравнений в частных производных развил дальше Ж. Лагранж. Анализ его исследований показывает преемственность эйлеровых результатов. Начало нового периода в развитии теории уравнений в частных производных не только первого, но и высшего порядков связано с работами Г. Монжа. Этот период характеризуется существенным проникновением в теорию дифференциальных уравнений в частных производных новых геометрических идей. Дальнейшее развитие геометрическая теория уравнений в частных производных получила в трудах геометров XIX века. История теории дифференциальных уравнений в частных производных второго и высших порядков представляет собой в значительной степени историю теории дифференциальных уравнений математической физики.
|
|
|
Список используемой литературы
1. История отечественной математики в четырех томах. Том 1.
Академия наук СССР
[1] Д. Бернулли. Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкостей. Пер. с лат. Изд-во АН СССР, М., 1959.
[2] J.P. D’Alembert. Traite de l’equilibre et du movement des fluids. Paris, 1744
[3] L. Euler. Principes generaux du movement des fluids. – Mem. De l’Acad. d. sci. et bell.-lettr. de Berlin. T. 11, 1755 (1757).
[4] Л. Эйлер. Введение анализ бесконечных. Т. 1, стр. 24
[5] Разделение функций на алгебраические и трансцендентные было, хотя и в менее отчетливой флрме, у Даламбера и Лейбница.
[6] В первом томе «Введение в анализ» рассматриваются лишь непрерывные функции.
[7] Л.Эйлер. Дифференциальное исчисление, стр. 44
[8] Там же стр. 89
[9] Л. Эйлер. Интегральное исчисление Т.1, стр. 12
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!