Численный метод решения дифференциальных уравнений
Часто при анализе изучаемых в технических или в природных системах процессов приходится учитывать наличие нелинейного поведения функций, описывающих характеристики их элементов. Это в свою очередь определяет появление нелинейностей в дифференциальных уравнениях, которые теперь уже не могут быть записаны в форме (1). Наличие нелинейностей в дифференциальных уравнениях обуславливает невозможность их точного аналитического решения, а приближенные аналитические методы часто приводят к громоздким выкладкам.
Кроме того, коэффициенты в левой части дифференциального уравнения могут быть определены из эксперимента с ошибкой, что, в значительной степени, обесценивает получаемый точный аналитический результат.
И наконец, точные методы не пригодны для случая, если правая часть дифференциального уравнения представлена не в аналитической форме, а в виде таблицы или графика.
Во всех этих случаях прекрасно продолжают «работать» методы численного решения. В отличие от аналитических, они позволяют получать искомые зависимости для любой из описанных выше ситуаций. Алгоритмы существующих методов численного решения были разработаны сравнительно давно, однако толчок к их применению был обусловлен развитием вычислительной техники. Каждый из существующих численных методов предполагает замену производной на конечное приращение и преобразование дифференциального уравнения в уравнение в конечных разностях.
|
|
С этой целью интервал поиска решения разбивается на множество отрезков и решение ищется на каждом из этих кусочков. Ясно, что чем мельче шаг разбиения, тем точнее получается результат. Поэтому, эффективное применение численных методов (при решении реальных, а не учебных задач!) предполагает использование компьютеров с достаточным быстродействием.
Использование для численного решения дифференциальных уравнений компьютерного пакета MathCAD предполагает знание алгоритма работы численных методов для разумного их применения (знание границ применимости, оценки точности, затрат компьютерных ресурсов и др.). Дело в том, что к результатам компьютерных вычислений всегда нужно относиться критически; анализировать их на правдоподобность, и для того, чтобы избежать "подводных камней" при использовании любого стандартного пакета, реализующего численные методы, нужно иметь хотя бы минимальное представление о том, какой именно численный метод реализован для решения той или иной задачи и как он «работает».
Поскольку для оценки точности решения необходим материал для сравнения предлагается рассматривать приближенные (численные) методы решения применительно к тем задачам, для которых ранее было получено аналитическое решение (т.е. линейных уравнений вида (1)).
|
|
Обозначим . Тогда данное уравнение можно преобразовать в следующую систему уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной (форма Коши):
Поэтому, идея применения численных методов для решения уравнения старших порядков, в принципе, ничем не отличается от идеи численного решения уравнения первого порядка, которые рассматривались в лабораторной работе №10.
Нетрудно расширить применение описанной выше методики на случай системы линейных уравнений. В примерах 2 и 3 представлены реализации метода Эйлера в рамках векторной процедуры и с помощью программы-функции. В обоих случаях получены одинаковые результаты, которые поверяются по полученному ранее (см. пример 1) аналитическому решению. Решение приближенное и точное сильно отличаются и величина относительной ошибки (для выбранного шага) составляет ~13%. Пример 3 нетрудно оптимизировать и придать ему более компактный вид, считая начальные условия и правые части системы уравнений компонентами некоторых векторов. Также допустима доработка программы-функции на случай любого числа уравнений путем изменения числа аргументов программы-функции, а также числа строк в программе: в задании начальных условий и в цикле вычисления массива решений.
|
|
Аналогично методу Эйлера векторная и программная реализации вычислений по методу Рунге-Кутта могут быть распространены на случай решения системы дифференциальных уравнений. Прямое решение задачи в этом случае представляется достаточно громоздким и желательно предусмотреть расчета констант метода в рамках внутренних циклов. В пакете MathCAD имеются встроенные функции, решающие подобные задачи. Так, процедуру расчета приближенного решения по методу Рунге-Кутта решается с помощью функций rkfixed и Rkadapt. Пример решения той же системы дифференциальных уравнений дан в примере 4. Отличие в точности полученных решений для данного дифференциального уравнения невелико, однако, если решением дифференциального уравнения является сильно осциллирующая функция, то метод с переменным шагом обеспечивает большую точность.
Примеры решения различных уравнений с помощью компьютерного пакета MathCAD.
Пример №1 |
Пример №2
|
Пример №3 |
Пример №4 |
Задание к контрольной роботе:
Дифференцируем левые части уравнения методом Лапласа, а затем суммируем их.
Заменяя функцию y(x) на Y, получим выражение, которое потом упрощаем с помощью функции collect.
Находим правую часть уравнения таким же способом
Получаем исходное алгебраическое уравнение которое решаем в символьном виде:
Решение уравнения
Теперь выполняем обратное преобразование и находим решение исходной дифференциальной задачи
Ответ
. |
Проводим проверку правильности начальных условий, используя функцию subtitute
|
Графическое представление результатов решения:
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 116; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!