Методы численных решений задач теплопроводности и моделирования
Распространение тепла в полуограниченном стержне.
Задача Штурма-Лиувилля.
В математической физике очень важны методы (например, метод Фурье, метод интегральных преобразований и др.), при которых решение задачи получается в форме ряда или интеграла, т. е. в виде разложения по некоторой системе функций. Чтобы найти естественную систему функций, по которой можно осуществить разложение, обычно необходимо найти решение некоторой граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получившей название задачи Штурма —Лиувилля.
Задача Штурма-Лиувилля является специальной краевой задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений и рассматривается как вспомогательная задача, используемая в дальнейшем для решения смешанных задач для уравнений с частными производными.
Свойства собственных функций задачи Штурма — Лиувилля:
1. Две собственные функции, принадлежащие одному и тому же собственному числу, линейно зависимы, т. е. отличаются лишь постоянным множителем.
2. Две собственные функции u1, u2, принадлежащие различным собственным числам λ1 и λ2 не равна λ1, на интервале [а, b] взаимно ортогональны с весом p
3. Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.
|
|
|
Анализ дифференциального уравнения теплопроводности
Нахождение решения уравнения классическими методами
Применение методов интегрального преобразования
Операционные методы.
Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенные решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия стали широко применяться операционные методы решения. Операционные методы нашли применение в теплофизике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии. В последние годы эти методы стали использоваться при решении задач гидродинамики, переносе нейтронов в поглощающих средах и т. д.
Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили благодаря работам Хевисайда. Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.
|
|
|
Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение). Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах. Поэтому преобразование Лапласа является интегральным преобразованием.
Наибольшая трудность в решении уравнения теплопроводности для разнообразных краевых условий состоит в нахождении оригинала по полученному изображению TL.
Применение интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований:
1. процесс применения интегрального преобразования Лапласа однотипен для задач самого различного характера и различных форм тела, способ решения является более прямым, не требующим особого искусства и подхода к решению каждого нового типа задач.
2. интегральные преобразования Лапласа позволяют одинаково хорошо решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований.
|
|
|
3. наличие большого числа простых теорем позволяет получить наиболее подходящие для конкретной обстановки результаты; в частности, получать решения в форме, удобной для расчета при малых и больших значениях времени.
4. этот метод позволяет особенно легко решать задачи с простыми начальными условиями; наиболее эффективно использование преобразования Лапласа по временной координате, а также по пространственной координате для тел, имеющих неограниченную или полуограниченную протяженность.
5. эффективность решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием весьма подробных таблиц изображений.
Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат, или при решении некоторых многомерных задач. В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.
|
|
|
Конечные интегральные преобразования.
Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами. Простота методики решения — ее «стандартность»— дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций.
Идея метода конечных интегральных преобразований предложена Н.С. Кошляковым: 
Способ интегрального преобразования имеет и свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером процесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями.
Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма существенное преимущество перед классическими метода, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.
Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций:
1) на основе анализа дифференциального уравнения и краевых условий выбрать подходящее интегральное преобразование или группу интегральных преобразований;
2) умножить дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро преобразования и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению;
3) решить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованных функций;
4) уточнить выражения произвольных постоянных, содержащихся в решении уравнения, для чего используются краевые условия рассматриваемой задачи;
5) используя известные соотношения между изображением функции и ее оригиналом или формулы обратного преобразования, найти оригиналы преобразованных функций, а следовательно, и окончательное решение задачи.
Методы численных решений задач теплопроводности и моделирования
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения.
В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток.
Метод конечных разностей основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельных дискретных точках — узлах сетки. Дифференциальное уравнение в результате таких преобразований заменяется
эквивалентным соотношением в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению несложных алгебраических операций.
Окончательный результат решения дается выражением, по которому значение «будущего» потенциала (температуры) в данной точке (узле) является функцией времени, ее «настоящего» потенциала и «настоящего» потенциала смежных узловых точек. Повторяемость одинаковых операций при расчете полей температуры создает большие удобства для применения современной вычислительной техники, благодаря чему эффективность работы во много раз увеличивается. Приближенную замену первой и второй производных через разностные отношения можно привести к следующему виду:
Приведенная формула для замены производных разностными отношениями не являются едиственно возможной. Иногда бывает целесообразно проводить другие замены, однако при численном интегрировании уравнений теплопроводности наиболее часто применяют именно эти формулы.
Метод конечных разностей позволяет успешно решать как одномерные, так и двух- и трехмерные задачи.
Метод конечных разностей, как показал П. П. Юшков, позволяет эффективно решать также систему дифференциальных уравнений теплопроводности как при постоянных, так и при переменных коэффициентах.
Численные методы решения имеют большие потенциальные возможности, однако до последнего времени их широкое применение к решению уравнений переноса сдерживалось большим объемом вычислительной работы. Использование моделей для исследования явлений переноса основывается на формальной одинаковости в аналитическом описании ряда процессов, которая является следствием далеко идущего соответствия в поведении сравниваемых систем, их аналогии.
Методы численного решения и аналогий применяются в тех случаях, когда решить задачу в замкнутой форме не представляется возможным или когда полученные решения настолько сложны, что не могут быть использованы для практического расчета. Выбор между методами численного решения и аналогий зависит от конкретной задачи, требований,
предъявленных к расчетным данным, и оценки затраты времени для решения поставленной задачи с заданной степенью точности.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!