Геометрический смысл производной, касательная

Применение производной к исследованию функций

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции . В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

               

2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции y = f(x).

3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

                                              

4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

5.                     

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.

6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик y=f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле

(-8; 3).  В какой точке от­рез­ка [-3; 2] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

            

8. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 4). В какой точке от­рез­ка [−7; −3] f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].

10. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−18; 6). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−13;1].

11. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

                     

12. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

13. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

             

14. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

 

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

16. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней.

17. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

18. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x) , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9) . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

19. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик - про­из­вод­ной функ­ции f(x).На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x) ?

20. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции и во­семь точек на оси абс­цисс: , . В сколь­ких из этих точек функ­ция убы­ва­ет?

21. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

 

                           

22. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции у = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x) опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции f(x).

23. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1;12). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой .

24. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции у = f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−5; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

25. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−2; 9). В какой точке от­рез­ка [2; 8] функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

26. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции равна 0.

27. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−9; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f (x) равна 0.

                   

28. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик y = F(x) одной из пер­во­об­раз­ной не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 13). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x) = 0 на от­рез­ке [2; 11].

29. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик y = F(x) одной из пер­во­об­раз­ной не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-7; 5). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x) = 0 на от­рез­ке [-5; 2].

30. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

31. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной y = f′(x) функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−8; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x), при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [−2; 8].

32. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной y = f′(x) функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−14; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x), при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [−10; 7].

33. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной y = f'(x) функ­ции y = f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−2; 9). В какой точке от­рез­ка [3; 8] функ­ция y = f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

          

34. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 9). В какой точке от­рез­ка [2; 6] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

35. Функ­ция y = f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x₀, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если f (−5) ≥ f (5).

37. За­да­ние: 8.1.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле ( −1; 13). Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f (x) на от­рез­ке [1; 10].

              

За­да­ние: 8.2.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f ' (x) — про­из­вод­ной функ­ции f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−6; 12). Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции f (x) на от­рез­ке [0; 10].

38. За­да­ние: 8.1.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле ( −3; 11). Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f (x) на от­рез­ке [3; 10].

За­да­ние: 8.2.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f ' (x) — про­из­вод­ной функ­ции f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−1; 13). Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции f (x) на от­рез­ке [1; 7].

39. Функ­ция опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик ее про­из­вод­ной. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

40. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 6). В какой точке от­рез­ка [−2; 4] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

                 

41. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней.

42. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = −6.

43. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

                                                     

44. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

 

Геометрический смысл производной, касательная

1.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

2. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s. Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

3.

На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) отрицательна?

4.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

6.                               

На ри­сун­ке изображён гра­фик функции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те значение про­из­вод­ной функции f(x) в точке x₀.

7. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

8.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

9. На ри­сун­ке изображен гра­фик функции y=f(x). Прямая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло координат, ка­са­ет­ся графика этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8).

10. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции и во­семь точек на оси абсцисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции положительна?

 

11. На ри­сун­ке изображён гра­фик функции и две­на­дцать точек на оси абсцисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функции отрицательна?

12. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

13. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

14. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

15. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

16. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

17. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

18. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .

19. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

 

20. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку y = f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = 6x или сов­па­да­ет с ней.

Первообразная

1. Задание 7 На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2; 4].

2. Задание 7На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

3. Задание 7 На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4. Задание 7. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

5. Задание 7. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

Первообразная

1. Задание 7 На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2; 4].

2. Задание 7На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

3. Задание 7 На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4. Задание 7. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

5. Задание 7. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

---

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 572; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!