Постановка задачи для выполнения лабораторной работы.

Лабораторная работа № 1. Определение статистической вероятности наступления равновозможных событий. Цель: изучить методы генерации равновозможных событий и способы вычисления статистической вероятности в ЭТ Excel.

Краткие теоретические сведения.

Опыт (испытание, эксперимент) это некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление.

Опыт со случайным исходом – это опыт, результаты которого варьируются при его повторении.

Случайное событие – это всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти.

Достоверное событие - это событие, которое наступает в каждом опыте.

Невозможное событие - это событие, которое не может произойти ни в одном опыте.

События называются равновозможными, если появление одного из них не является объективно более возможным, чем других. На практике события часто считают равновозможными, если нет достаточной информации о возможности их появления.

События А₁, А₂, .. называются несовместными если появление одного из них исключает появление других событий при одном и том же испытании.

События А₁, А₂, …, А _n образуют полную группу событий, если в результате испытаний обязательно появится одно из них.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности, одно событие в меньшей степени, другое – в большей степени. Эту возможность можно измерить численно. Это число называют вероятностью. Таким образом, можно дать определение.

Вероятность - это количественная оценка объективной возможности наступления

случайного события. По классическому определению, вероятностью случайного события Р(А) называется отношение числа m_А благоприятствующих исходов к общему числу n равновозможных исходов эксперимента:

. (1)

Классическое определение вероятности имеет ряд недостатков.

Во-первых, определение (1) невозможно применить при бесконечном числе исходов Выход находят путем введения геометрической вероятности, как отношение мер длин, площадей. Например, попадание точки (рис. 1) в отрезок длиной на отрезке длиной :

. (2)

Рис. 1. Геометрическая интерпретация вероятности появления равновозможных событий.

Во-вторых, на практике довольно сложно представить априори результат испытаний в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основание, позволяющее считать элементарные события равновозможными. В таком случае вводят понятие статистической (апостериорной) вероятности:

, (3)

где – число исходов опыта, в которых событие действительно появилось, – общее число исходов этого опыта. Причем, при большом числе испытаний значение статистической вероятности (2) сходится к теоретическому значению (1):

Постановка задачи для выполнения лабораторной работы.

Необходимо определить статистическую вероятность попадания случайной точки x в отрезок l= [c, d] на отрезке L=[a, b] (рис. 1) и сравнить значение статистической вероятности с теоретическим значением. Координаты отрезков l и L приведены в Приложении А. Номер варианта выбирается в соответствии с номером студента в списке группы.

Порядок выполнения работы

1. Построить последовательность из 20-ти случайных равновозможных чисел X_i, i=1,10 в интервале [a, b]. Построить такую последовательность можно с помощью ЭТ Excel. Для этого в строке меню выбрать Данные. Анализ данных. Если раздел Анализ данных отсутствует, то в главном меню выбрать: Параметры Excel . Надстройки. Пакет анализа. Перейти…

2. В диалоговом окне (ДО) Пакет анализа из списка выбрать Генерация случайных чисел.

3. В ДО установить следующие параметры: количество переменных: 10; число случайных чисел: 20; распределение: Равномерное; между: a и b, значения a и b выбираются из Приложения А; выходной интервал: указать одну угловую ячейку интервала, в котором будут располагаться 10 последовательностей по 20 чисел в каждой. Заполненное ДО представлено на рис. 2.

Рис. 2. Параметры генерации случайных чисел.

Таким образом, за одну операцию можно получить 10 различных реализаций. Результаты генерации представлены на рис. 3.

Рис. 3. Реализации случайных чисел.

4. Вычислить статистическую вероятность Р^*для каждой из 10-ти последовательностей. Для этого необходимо вычислить m_A - количество чисел, которые принадлежат интервалу [c, d], используя функцию ЕСЛИ(И(А3>=c;A3<=d);1;0). Для конкретного примера функция может выглядеть следующим образом: . В данном случае интересны числа, которые попадают в интервал [0; 2,5]. Результаты представлены на рис. 4. Далее, применив выражение (3), можно получить значение статистической вероятности. В ЭТ Excel это выглядит так: . В числителе подсчитывается количество чисел m_A, принадлежащих заданному интервалу, в знаменателе – ссылка на ячейку, в которой хранится длина последовательности n. Если к вычислениям добавить строчку (рис.4) с теоретическим значением вероятности (2), можно построить график (рис. 5), на котором отражены колебания статистической вероятности относительно теоретического значения. На рис.4 данные для построения графика выделены серым цветом.

5. Вычислить среднее значение статистической вероятности для сгенерированных 10-ти последовательностей. В рассматриваемом примере Р^*=0,245.

6. Пункты 1-5 представляют собой одну серию опытов. Необходимо выполнить N=10 таких серий. Если грамотно построены вычисления для первой серии последовательностей, то выполнение п.6 сведется к вызову Пакета анализа. При этом нужно сохранять в отдельном месте рабочего листа средние значения статистической вероятности для каждой из сгенерированных 10-ти последовательностей. Результаты генерации и вычислений представлены на рис. 6, а колебания значений вероятности – на рис.7.

Рис. 4. Результаты расчетов статистической вероятности

Рис.5. Вариация значений статистической вероятности.

Рис. 6. Результаты вычислений.

Рис. 7. Вариация усредненных значений статистической вероятности.

Если сравнить разброс значений вероятности на рис. 5 и рис. 7, то можно заметить, что отклонения значений статистической вероятности от теоретического значения, уменьшаются с увеличением числа испытаний.

Содержание отчета.

1. Постановка задачи.

2. Результаты расчетов для каждой серии опытов N=10 (закрашенная область на рис. 4).

3. Результаты вычислений по всем сериям опытов (рис. 6).

4. На графиках представить вариацию значений статистической вероятности для какой-либо одной реализации и для усредненных значений по всем сериям опытов (рис. 5 и рис. 7).

5. Анализ результатов и выводы.

Для защиты отчета знать основные определения, связанные с событиями и свойствами вероятности.

Приложение А

Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы № 1.

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 373; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!