Подсчет критерия U Манна-Уитни.

U - критерий Манна-Уитни

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n ₁ и n ₂ ≥3 или n ₁ =2, n ₂ ≥5, и является более мощным, чем критерий Ро­зенбаума.

Описание критерия

Существует несколько способов использования критерия и не­сколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Гублер Е. В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В. П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещиваю­щихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значе­ния, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более ве­роятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют раз­личиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько вели­ка зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U_эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

Н₀: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

H₁: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Графическое представление критерия U

На Рис. 2.5. представлены три из множества возможных вариан­тов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не пере­крещиваются. Область наложения слишком мала, чтобы скрадывать различия между рядами. Есть шанс, что различия между ними досто­верны. Точно определить это мы сможем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область пе­рекрещивающихся значений у двух рядов достаточно обширна. Она может еще не достигать критической величины, когда различия придет­ся признать несущественными. Но так ли это, можно определить толь­ко путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения настолько обширна, что различия между рядами скрадываются.

Ограничения критерия U

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n ₁ • n ₂ ≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n ₁ • n ₂ ≤60. Однако уже при n ₁ • n ₂ >20 ранжирование становиться достаточно трудоемким.

На наш взгляд, в случае, если n ₁ • n ₂ >20, лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбина­ции с критерием λ,, позволяющим выявить критическую точку, в кото­рой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляе­мыми выборками (см. п. 5.4). .Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.

Пример

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального ин­теллекта. С помощью критерия Q Розенбаума мы в предыдущем па­раграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот резуль­тат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 2.3.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Таблица

Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (щ=\4) и психологического (п2⁼12) факультетов

	Студенты-физики			Студенты-психологи
Код имени испытуемого		Показатель невербального интеллекта	Код имени испытуемого		Показатель невербального интеллекта
1.	И.А.	111	1.	Н.Т.	ИЗ
2.	К.А.	104	2.	О.В.	107
3.	К.Е.	107	3.	Е.В.	123
4.	П.А.	90	4.	Ф.О.	122
5.	С.А.	115	5.	И.Н.	117
6.	Ст.А.	107	6.	И.Ч.	112
7.	Т.А.	106	7.	И.В.	105
8.	Ф.А.	107	8.	К.О.	108
9.	Ч.И.	95	9.	P.P.	111
10.	ЦА.	116	10.	Р.И.	114
11.	См.А.	127	11.	O.K.	102
12.	К.Ан.	115	12.	Н.К.	104
13.	Б.Л.	102
14.	Ф.В.	99

Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.

 

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получа­ет средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

При подсчете критерия U легче всего сразу приучить себя дейст­вовать по строгому алгоритму.

АЛГОРИТМ

Подсчет критерия U Манна-Уитни.

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания при­знака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему зна­чению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас ( n ₁ +п₂).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли об­щая сумма рангов с расчетной.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n ₁ - количество испытуемых в выборке 1;

n ₂ - количество испытуемых в выборке 2;

Т_х - большая из двух ранговых сумм;

n_х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. II Приложения 1. Если U_эмп.>U_{кp 005}, Н_о принимается. Если U_эмп≤U_{кp_005}, Н_о от­вергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.

Таблица 2.4

Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психа-логического факультетов

Студенты-физики (n1=14)			Студенты-психологи (n2=12)
Показатель невербального интеллекта		Ранг	Показатель невербального интеллекта	Ранг
127		26
			123	25
			122	24
			117	23
116		22
115		20,5
115		20,5
			114	19
			113	18
			112	17
111		15,5	111	15.5
			108	14'
107		11.5	107	11,5
107		11,5
107		11,5
106		9
			105	8
104		6.5	104	6,5
102		4,5	102	4,5
99		3
95		2
90		1
Суммы	1501	165	1338	186
Средние	107,2		111,5

Общая сумма рангов: 165+186=351. Расчетная сумма:

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более "высоким" рядом оказывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.

Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:

H₀: Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Н₁: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпи­рическую величину U:

Поскольку в нашем случае п\Фп2, подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей п_х:

Такую проверку рекомендуется производить в некоторых руководствах (Рунион Р., 1982; Greene J., D'Olivera M., 1989). Для сопоставления с критическим значе­нием выбираем меньшую величину U: U_эмп=60.

По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для n ₁=14, n ₂ =12.

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если U_эмп≤U_кp

Построим "ось значимости".

U_эмп=60

U_эмп>U_кp

Ответ: H₀ принимается. Группа студентов-психологов не превос­ходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Обратим внимание на то, что для данного случая критерий Q Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физи­ков шире, чем в группе психологов: и самое высокое, и самое низкое значение невербального интеллекта приходится на группу физиков (см. Табл.).

 

 

Таблица Критические значения критерия U Манна-Уитни для уровней статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01 (по Гублеру Е.В., Генкину А.А., 1973) Различия между двумя выборками можно считать значимыми (р≤0,05), если U_эмп ниже или равен U_0,05 и тем более достоверными (р<0,01), если U_эмп ниже или равен U_0,01

n1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n2	P=0,05
3	-	0
4	-	0	1
5	0	1	2	4
6	0	2	3	5	7
7	0	2	4	6	8	11
8	1	3	5	8	10	13	15
9	1	4	6	9	12	15	18	21
10	1	4	7	11	14	17	20	24	27
11	1	5	8	12	16	19	23	27	31	34
12	2	5	9	13	17	21	26	30	34	38	42
13	2	6	10	15	19	24	28	33	37	42	47	51
14	3	7	11	16	21	26	31	36	41	46	51	56	61
15	3	7	12	18	23	28	33	39	44	50	55	61	66	72
16	3	8	14	19	25	30	36	42	48	54	60	65	71	77	83
17	3	9	15	20	26	33	39	45	51	57	64	70	77	83	89	96
18	4	9	16	22	28	35	41	48	55	61	68	75	82	88	95	102	109
19	4	10	17	23	30	37	44	51	58	65	72	80	87	94	101	109	116	123
20	4	11	18	25	32	39	47	54	62	69	77	84	92	100	107	115	123	130	138
p=0,01
5	-	-	0	1
6	-	-	1	2	3
7	-	0	1	3	4	6
8	-	0	2	4	6	7	9
9	-	1	3	5	7	9	11	14
10	-	1	3	6	8	11	13	16	19
11	-	1	4	7	9	12	15	18	22	25
12	-	2	5	8	11	14	17	21	24	28	31
13	0	2	5	9	12	16	20	23	27	31	35	39
14	0	2	6	10	13	17	22	26	30	34	38	43	47
15	0	3	7	11	15	19	24	28	33	37	42	47	51	56
16	0	3	7	12	16	21	26	31	36	41	46	51	56	61	66
17	0	4	8	13	18	23	28	33	38	44	49	55	60	66	71	77
18	0	4	9	14	19	24	30	36	41	47	53	59	65	70	76	82	88
19	1	4	9	15	20	26	32	38	44	50	56	63	69	75	82	88	94	101
20	1	5	10	16	22	28	34	40	47	53	60	67	73	80	87	93	100	107	114

Таблицы критических значений                

Таблица II . Продолжение

n1	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
n2	p=0,05
21	19	26	34	41	49	57	65	73	81	89	97	105	113	121	130	138	146	154
22	20	28	36	44	52	60	69	77	85	94	102	111	119	128	136	145	154	162
23	21	29	37	46	55	63	72	81	90	99	107	116	125	134	143	152	161	170
24	22	31	39	48	57	66	75	85	94	103	113	122	131	141	150	160	169	179
25	23	32	41	50	60	69	79	89	98	108	118	128	137	147	157	167	177	187
26	24	33	43	53	62	72	82	93	103	113	123	133	143	154	164	174	185	195
27	25	35	45	55	65	75	86	96	107	118	128	139	150	160	171	182	193	203
28	26	36	47	57	68	79	89	100	111	122	133	144	156	167	178	189	200	212
29	27	38	48	59	70	82	93	104	116	127	139	150	162	173	185	196	208	220
30	28	39	50	62	73	85	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228
31	29	41	52	64	76	88	100	112	124	137	149	161	174	186	199	211	224	236
32	30	42	54	66	78	91	103	116	129	141	154	167	180	193	206	219	232	245
33	31	43	56	68	81	94	107	120	133	146	159	173	186	199	213	226	239	253
34	32	45	58	71	84	97	110	124	137	151	164	178	192	206	219	233	247	261
35	33	46	59	73	86	100	114	128	142	156	170	184	198	212	226	241	255	269
36	35	48	61	75	89	103	117	132	146	160	175	189	204	219	233	248	263	278
37	36	49	63	77	92	106	121	135	150	165	180	195	210	225	240	255	271	286
38	37	51	65	79	94	109	124	139	155	170	185	201	216	232	247	263	278	294
39	38	52	67	82	97	112	128	143	159	175	190	206	222	238	254	270	286	302
40	39	53	69	84	100	115	131	147	163	179	196	212	228	245	261	278	294	311
р=0,01
21	10	16	22	29	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	113	120	127
22	10	17	23	30	37	45	52	59	66	74	81	89	96	104	111	119	127	134
23	11	18	25	32	39	47	55	62	70	78	86	94	102	109	117	125	133	141
24	12	19	26	34	42	49	57	66	74	82	90	98	107	115	123	132	140	149
25	12	20	27	35	44	52	60	69	77	86	95	103	112	121	130	138	147	156
26	13	21	29	37	46	54	63	72	81	90	99	108	117	126	136	145	154	163
27	14	22	30	39	48	57	66	75	85	94	103	113	122	132	142	151	161	171
28	14	23	32	41	50	59	69	78	88	98	108	118	128	138	148	158	168	178
29	15	24	33	42	52	62	72	82	92	102	112	123	133	143	154	164	175	185
30	15	25	34	44	54	64	75	85	95	106	117	127	138	149	160	171	182	192
31	16	26	36	46	56	67	77	88	99	110	121	132	143	155	166	177	188	200
32	17	27	37	47	58	69	80	91	103	114	126	137	149	160	172	184	195	207
33	17	28	38	49	60	72	83	95	106	118	130	142	154	166	178	190	202	214
34	18	29	40	51	62	74	86	98	110	122	134	147	159	172	184	1V7	209	222
35	19	30	41	53	64	77	89	101	114	126	139	152	164	177	190	203	216	229
36	19	31	42	54	67	79	92	104	117	130	143	156	170	183	196	210	223	236
37	20	32	44	56	69	81	95	108	121	134	148	161	175	189	202	216	230	244
38	21	33	45	58	71	84	97	111	125	138	152	166	180	194	208	223	237	251
39	21	34	46	59	73	86	100	114	128	142	157	171	185	200	214	229	244	258
40	22	35	48	61	75	89	103	117	132	146	161	176	191	206	221	236	251	266

318

Приложение 1

Таблица II. Продолжение

 

n1	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
n2	P=0 05
21
22	171
23	180	189
24	188	198	207
25	197	207	217	227
26	206	216	226	237	247
27	214	225	236	247	258	268
28	223	234	245	257	268	279	291
29	232	243	255	267	278	290	302	314
30	240	252	265	277	289	301	313	326	338
31 32	249	261	274	287	299	312	325	337	350	363
	258	271	284	297	310	323	336	349	362	375	389
33	266	280	293	307	320	334	347	361	374	388	402	415
34	275	289	303	317	331	345	359	373	387	401	415	429	443
35	284	298	312	327	341	356	370	385	399	413	428	442	457	471
36	[292	307	322	337	352	367	381	396	411	426	441	456	471	486	501
37	301	316	332	347	362	378	393	408	424	439	454	470	485	501	516	531
38	310	325	341	357	373	388	404	420	436	452	467	483	499	515	531	547	563
39	318	335	351	367	383	399	416	432	448	464	481	497	513	530	546	562	579	595
40	327	344	360	377	394	410	427	444	460	477	494	511	527	544	561	578	594	611	628
p=0,01
21
22	142
23	150	158
24	154	166	174
25	165	174	183	192
26	173	182	191	201	210
27	180	190	200	209	2i9	229
28	188	198	208	218	229	239	249
29	196	206	217	227	238	249	259	270
30	203	214	225	236	247	258	270	281	292
31	211	223	234	245	257	268	280	291	303	314
32	219	231	242	254	266	278	290	302	314	326	338
33	227	239	251	263	276	288	300	313	325	337	350	362
34	234	247	260	272	285	298	311	323	336	349	362	375	387
35	242	255	268	281	294	308	321	334	347	360	374	387	400	413
36	250	263	277	290	304	318	331	345	358	372	386	399	413	427	440
37	258	271	285	299	313	327	341	355	370	384	398	412	426	440	454	468
38	265	280	294	308	323	337	352	366	381	395	410	424	439	453	468	482	497
39	273	288	303	317	332	347	362	377	392	407	422	437	452	467	482	497	512	527
40	281	296	311	326	342	357	372	388	403	418	434	449	465	480	495	511	526	542	557

Таблицы критических значении                

Таблица II. Продолжение

n1	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
n2			p=0.05
41	40	55	70	86	102	118	135	151	168	184	201	218	234	251	268	285	302	319
42	41	56	72	88	105	121	138	155	172	189	206	223	240	258	275	292	310	327
43	42	58	74	91	107	124	142	159	176	194	211	229	247	264	282	300	318	335
44	43	59	76	93	110	128	145	163	181	199	216	235	253	271	289	307	325	344
45	44	61	78	95	11З	131	149	167	185	203	222	240	259	277	296	315	333	352
46	45	62	80	97	115	134	152	171	189	208	227	246	265	284	303	322	341	360
47	46	64	81	100	118	137	156	175	194	213	232	251	271	290	310	329	349	369
48	47	65	83	102	121	140	159	178	198	218	237	257	277	297	317	337	357	377
49	48	66	85	104	123	143	163	182	202	222	243	263	283	303	324	344	365	385
50	49	68	87	106	126	146	166	186	207	227	248	268	289	310	331	352	372	393
51	50	69	89	109	129	149	170	190	211	232	253	274	295	316	338	359	380	402
52	51	71	91	111	131	152	173	194	215	237	258	280	301	323	345	366	388	410
53	52	72	92	113	134	155	177	198	220	241	263	285	307	329	352	374	396	418
54	53	74	94	115	137	158	180	202	224	246	269	291	313	336	359	381	404	427
55	54	75	96	118	139	161	184	206	228	251	274	297	319	342	365	389	412	435
56	55	76	98	120	142	164	187	210	233	256	279	302	326	349	372	396	420	443
57	57	78	100	122	145	167	191	214	237	261	284	308	332	355	379	403	427	451
58	58	79	102	124	147	171	194	218	241	265	289	314	338	362	386	411	435	460
59	59	81	103	127	150	174	198	222	246	270	295	319	344	369	393	418	443	468
60	60	82	105	129	153	177	201	225	250	275	300	325	350	375	400	426	451	476
			р=0,01
41	23	36	49	63	77	91	106	121	136	151	166	181	196	211	227	242	258	273
42	23	37	50	65	79	94	109	124	139	155	170	186	201	217	233	249	265	280
43	24	38	52	66	81	96	112	127	143	159	175	190	207	223	239	255	271	288
44	25	39	53	68	83	99	115	130	146	163	179	195	212	228	245	262	278	295
45	25	40	54	70	85	101	117	134	150	167	183	200	217	234	251	268	285	303
46	26	41	56	71	87	104	120	137	154	171	188	205	222	240	257	275	292	310
47	27	42	57	73	90	106	123	140	157	175	192	210	228	245	263	281	299	317
48	27	43	58	75	92	109	126	143	161	179	197	215	233	251	269	288	306	325
49	28	44	60	77	94	111	129	147	165	183	201	220	238	257	276	294	313	332
50	29	45	61	78	96	114	132	150	168	187	206	225	244	263	282	301	320	339
51	29	46	63	80	98	116	135	153	172	191	210	229	249	268	288	307	327	347
52	30	47	64	82	100	119	137	157	176	195	215	234	254	274	294	314	334	354
53	31	48	65	83	102	121	140	160	179	199	219	239	259	280	300	320	341	361
54	31	49	67	85	104	114	143	163	183	203	224	244	265	285	306	327	348	369
55	32	50	68	87	106	126	146	166	187	207	228	249	270	291	312	333	355	376
56	33	51	69	89	108	129	149	177	190	211	233	254	275	297	318	340	362	384
57	33	52	71	90	111	131	152	173	194	215	237	259	281	302	324	347	369	391
58	34	53	72	92	113	133	155	176	198	220	242	264	286	308	331	353	376	398
59	34	54	73	94	115	136	158	179	201	224	246	268	291	314	337	360	383	406
60	35	55	75	96	117	138	160	183	205	228	250	273	296	320	343	366	390	413

Приложение 1

Таблица II. Продолжение

n1	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
n2	p=0.05
41	336	353	370	387	404	421	438	456	473	490	507	524	541	559	576	593	610	628	645
42	345	362	380	397	415	432	450	467	485	503	520	538	556	573	591	609	626	644	662
43	353	371	389	407	425	443	461	479	497	515	533	552	570	588	606	624	642	660	679
44	362	380	399	417	436	454	473	491	510	528	547	565	584	602	621	640	658	677	695
45	371	390	408	427	446	465	484	503	522	541	560	579	598	617	636	655	674	693	712
46	380	399	418	437	457	476	495	515	534	554	573	593	612	631	651	670	690	709	729
47	388	408	428	447	467	487	507	527	547	566	586	606	626	646	666	686	706	726	746
48	397	417	437	458	478	498	518	539	559	579	600	620	640	661	681	701	722	742	763
49	406	426	447	468	488	509	530	550	571	592	613	634	654	675	696	717	738	759	780
50	414	435	457	478	499	520	541	562	583	605	626	647	669	690	711	732	754	775	796
51	423	445	466	488	509	531	553	574	596	618	639	661	683	704	726	748	770	791	813
52	432	454	476	408	520	542	564	586	608	630	652	675	697	719	741	763	786	808	830
53	441	463	485	508	530	553	575	598	620	643	666	688	711	734	756	779	802	824	847
54	449	472	495	518	541	564	587	610	633	656	679	702	725	748	771	794	818	841	864
55	458	'481	505	528	551	575	598	622	645	669	692	716	739	763	786	810	834	857	881
56	467	491	514	538	562	586	610	634	657	681	705	729	753	777	801	825	850	874	898
57	476	500	524	548	572	597	621	645	670	694	719	743	768	792	816	841	865	890	915
58	484	509	534	558	583	608	633	657	682	707	732	757	782	807	832	856	881	906	931
59	493	518	543	568	594	619	644	669	694	720	745	770	796	821	847	872	897	923	948
60	502	527	553	578	604	630	655	681	707	733	758	784	810	836	862	888	913	939	965
р=0,01
41	289	304	320	336	351	367	383	398	414	430	446	462	477	493	509	525	541	557	573
42	296	312	328	345	361	377	393	409	425	442	458	474	490	507	523	539	556	572	588
43	304	321	337	354	370	387	403	420	437	453	470	487	503	520	537	553	570	587	604
44	312	329	346	363	380	397	414	431	448	465	482	499	516	533	550	568	585	602	619
45	320	337	354	372	389	407	424	441	459	476	494	511	529	547	564	582	599	617	635
46	328	345	363	381	399	416	434	452	470	488	506	524	542	560	578	596	614	632	650
47	335	353	372	390	408	426	445	463	481	500	518	536	555	573	592	610	629	647	666
48	343	362	380	399	418	436	455	474	492	511	530	549	568	587	606	625	643	662	681
49	351	370	389	408	427	446	465	484	504	523	542	561	581	600	619	639	658	678	697
50	359	378	398	417	437	456	476	495	515	535	554	574	594	613	633	653	673	693	713
51	366	386	406	526	446	466	486	506	526	546	566	587	607	627	647	667	688	708	728
52	374	395	415	435	456	476	496	517	537	558	578	599	620	640	661	682	702	723	744
53	382	403	423	444	465	486	507	528	549	570	591	612	633	654	675	696	717	738	759
54	390	411	432	453	475	496	517	538	560	581	603	624	646	667	689	710	732	753	775
55	398	419	441	462	484	506	527	549	571	593	615	637	659	680	702	724	746	768	790
56	405	427	449	471	494	516	538	560	582	605	627	649	671	694	716	738	761	784	806
57	413	436	458	581	503	526	548	571	593	616	639	662	684	707	730	753	776	799	822
58	421	444	467	490	513	536	559	582	605	628	651	674	697	721	744	767	790	814	837
59	429	452	475	499	522	545	569	592	616	640	663	687	710	734	758	781	805	829	853
60	437	460	484	508	532	555	579	603	627	651	675	699	723	747	772	796	820	844	868

Таблицы критических значений                

Таблица П. Окончание

n1	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
n2	p=0,05
41	662
42	679	697
43	697	715	733
44	714	733	751	770
45	731	750	769	789	808
46	749	768	788	807	827	846
47	766	786	806	826	846	866	886
48	783	804	824	845	865	886	906	927
49	800	821	842	863	884	905	926	947	968
50	818	839	861	882	903	925	946	968	989	1010
51	835	857	879	901	922	944	966	988	1010	1032	1054
52	852	875	897	919	942	964	986	1009	1031	1053	1076	1098
53	870	893	915	938	961	934	1006	1029	1052	1075	1098	1120	1143
54	887	910	934	957	980	1003	1026	1050	1073	1096	1119	1143	1166	1189
55	901	928	952	975	999	1023	1046	107C	1094	1113	1141	1165	1189	1213	1236
56	922	946	970	994	1018	1042	1067	1091	1115	1139	1163	1187	1212	1236	126C	1284
57	939	964	988	1013	1037	1062	1087	1111	1136	1161	1185	1210	1235	1259	1284	1309	1333
58	956	981	1007	1032	1057	1082	1107	1132	1157	1182	1207	1232	1257	1283	1308	1333	1358	1383
59	974	999	1025	1050	1076	1101	1127	1152	1178	1204	1229	1255	128C	1306	1331	1357	1383	1408	1434
60	991	1017	1043	1069	1095	1121	1147	1173	1199	1225	1251	1277	1303	1329	1355	1381	1407 1433 1460 1486
p=0.01
41	589
42	605	621
43	621	637	654
44	636	654	671	688
45	652	670	688	706	723
46	668	687	705	723	741	759
47	684	703	722	740	759	777	796
48	700	719	738	757	776	795	814	834
49	716	736	755	775	794	814	833	853	872
50	732	752	772	792	812	832	852	872	892	912
51	748	769	789	809	830	850	870	891	911	932	952
52	764	785	806	827	847	868	889	910	931	951	972	993
53	780	802	823	844	865	886	908	929	950	971	993	1014	1035
54	796	818	840	861	883	905	926	948	970	991	1013	1035	1057	1078
55	812	834	857	879	901	923	945	967	989	1011	1034	1056	1078	1100	1122
56	828	851	873	896	919	941	964	986	1009	1031	1054	1077	1099	1122	1145	1167
57	844	867	890	913	936	959	982	1005	1028	1051	1074	1098	1121	1141	1167	1190	12l3
58	861	884	907	931	954	978	1001	1024	1048	1071	1095	1118	1142	1165	1189	1213	1236	1260
59	877	900	924	948	972	996	1020	1044	1068	1091	1115	1139	1163	1187	1211	1235	1259	1283	1307
60	893	917	941	965	990	1014	1038	1063	1087	1111	1136	1160	1185	1209	1234	1258	1282	l307	1331	1356

 

 

---

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 14222; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!