ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ С ПОМОЩЬЮ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Nbsp; МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА (национальный исследовательский университет)»

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Методические указания к лабораторной работе

САМАРА 2015

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский университет)»

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

САМАРА 2015

УДК 519.688

Составитель: В.Н. Конюхов

Исследование спектров биологических сигналов. метод. указания к лабораторной работе/ Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. В.Н. Конюхов, Самара, 2015. 18с.

Изложены основные теоретические сведения о моделях биологических сигналов, методах определения функции спектральной плотности биологических сигналов, оценки погрешности определения спектральной плотности. Приведены краткое описание системы MATLAB, ее использование при решении задач оценки спектров, порядок выполнения работы.

Методические указания предназначены для бакалавров, обучающихся по направления подготовки 12.04.04 (Биотехнические системы и технологии) и выполняющих лабораторные работы по дисциплине «Математические методы обработки медико-биологических данных» на кафедре лазерных и биотехнических систем.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва

Рецензент: доц. Кудрявцев И.А.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Модели сигналов

1.2. Основные характеристики случайных процессов

1.3. Определение функций спектральной плотности

1.4. Ошибки оценки спектральной плотности, полученной

финитным преобразованием Фурье

2. Цифровые методы оценки спектральной плотности с помощью

быстрого преобразования Фурье

2.1. Подготовка данных

2.2. Оценка спектральной плотности по дискретным данным

(Welch’s Method)

3.Краткое описание программы matlab

3.1. Структура и основные элементы языка matlab

3.1.1 Стpуктуpа пакета

3.1.2. Редактирование М-файлов

3.1.3. Элементы языка

3.2. Синтаксис языка matlab

4. Описание исходных данных

5. Порядок выполнения работы

6. Содержание отчета

Контрольные вопросы

Список рекомендуемой литературы

Цель работы: исследование временных и частотных характеристик физиологических сигналов с помощью пакета программ MATLAB.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Знание характеристик сигналов позволяет синтезировать оптимальные по выбранным критериям алгоритмы обработки посредством формальных процедур, а также анализировать реакцию систем на действие этих сигналов аналитическими методами.

Известно, что любой сигнал можно представить двумя эквивалентными способами- во временной и частотной области. Эти представления связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье. Для синтеза и анализа сложных линейных систем удобно пользоваться представлением сигнала в частотной области. Это обусловлено упрощением вычислений за счет замены процедуры свертки на обычную операцию умножения частотных характеристик системы и спектра сигнала.

Помимо синтеза алгоритмов обработки знание частотных характеристик сигналов позволяет определить требования к аппаратным средствам по быстродействию, частоте дискретизации, полосе пропускания и др.

1.1. Модели сигналов

Все физические процессы можно разделить на два больших класса- детерминированные и случайные*. Здесь и далее под процессом будем понимать изменение во времени физических величин, в том числе электрических сигналов.

К классу детерминированных относятся процессы, течение которых во времени можно заранее предсказать исходя из априорных данных. Например, если известна амплитуда, частота и фаза сигнала на выходе генератора гармонического колебания в какой-либо момент времени, то можно точно предсказать значение сигнала в любой другой произвольный момент времени. Моделью таких процессов является некоторая определенная функция времени.

Однако большинство физических явлений в природе порождает процессы, значения которых невозможно точно предсказать в будущие моменты времени по измеренным значениям. Такие процессы случайны по своей сути и для их описания используются статистические характеристики.

Отнесение процесса к тому или иному классу не является простой задачей. Например, для отнесения процесса к детерминированному требуется, в общем случае, бесконечное время наблюдения, так как нельзя утверждать с уверенностью, что в будущем не произойдет событие, которое повлияет на процесс непредсказуемым образом. Так, изменение температурных режимов элементов генератора гармонических колебаний может изменить параметры выходного сигнала. Напротив, может оказаться, что углубление знаний об основных механизмах, порождающих данный случайный процесс, позволит описать его точными математическими формулами.

На практике решение о случайности или детерминированности конкретного физического процесса основывается на возможности многократного воспроизведения (в пределах ошибок измерения) этого процесса в ходе контролируемого эксперимента.

Детерминированные и случайные процессы исходя из удобства анализа можно разделить на ряд подклассов (рис.1).

Рис.1. Классификация процессов

В общем случае наиболее адекватными моделями физиологических сигналов являются случайные процессы. Это связано с большим количеством разнородных биофизических явлений, происходящих на разных уровнях живого организма и оказывающих влияние на параметры физиологических сигналов. По этой причине далее рассмотрим основные понятия, связанные именно со случайными процессами.

Конкретный ход случайного процесса x(t), установленный в результате одиночного опыта, называется выборочной функцией или реализацией случайного процесса. Полная совокупность выборочных функций представляет собой ансамбль реализаций {x(t)}, где любая компонента x(t) в принципе может иметь место, но отсутствует в данной ситуации. Значение реализации в произвольный момент времени t1 представляет собой случайную величину X(t1), или просто X1. Наиболее полной характеристикой случайного процесса является его многомерная функция распределения:

. (1)

Случайный процесс называется строго стационарным или стационарным в узком смысле, если его n-мерная функция распределения инвариантна к произвольному временному сдвигу D:

. (2)

Случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле, если математическое ожидание и ковариационная функция не зависят от произвольного временного сдвига D:

, (3)

. (4)

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика с вероятностьюЭ сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени. Из этого следует, что для вероятностного описания эргодического процесса не требуется большой совокупности реализаций, а достаточно одной за длительный промежуток времени.

К нестационарным относят все случайные процессы, не удовлетворяющие сформулированным выше условиям. Следует отметить, что методы анализа характеристик нестационарных процессов существенно зависят от вида нестационарности и значительно сложнее методов анализа стационарных процессов.

1.2. Основные характеристики случайных процессов

Основными, наиболее часто применяемыми на практике характеристиками случайных процессов являются:

* математическое ожидание и дисперсия случайного процесса;

* плотность вероятности;

* ковариационная функция;

* функция спектральной плотности.

Отличительной особенностью оценок характеристик случайных процессов, полученных на ограниченном наборе данных, является то, что они по своей сути сами являются случайными и также обладают вероятностными характеристиками. В связи с этим необходимо уметь выявлять и учитывать статистические ошибки таких оценок.

Наиболее типичными областями применения указанных выше характеристик случайных процессов являются.

1. Для плотности вероятности:

- описание вероятностной структуры процессов;

- проверка нормальности;

- выявление нелинейностей;

- анализ экстремальных значений.

2. Для ковариационных функций:

- выявление периодичностей;

- выделение сигналов из шумов;

- измерение запаздываний;

- идентификация трактов и скоростей распространения сигналов.

3. Для функций спектральных плотностей:

- определение свойств систем по наблюдениям входных и выходных данных;

- предсказание выходных процессов по входным и свойствам системы;

- идентификация входных процессов по выходным и свойствам системы;

- идентификация источников энергии и шума;

- оптимальный линейный прогноз и фильтрация.

Наибольший интерес при проектировании диагностической медицинской аппаратуры представляет группа задач решаемых, с помощью функций спектральной плотности.

1.3. Определение функций спектральной плотности

Функции спектральной плотности можно определить тремя эквиалентными способами:

- с помощью ковариационной функции;

- с помощью финитного преобразования Фурье;

- с помощью последовательно выполняемых процедур фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.

Определение с помощью ковариационной функции.

Пусть { }- стационарный в широком смысле случайный процесс с ковариационной функцией . Тогда функция спектральной плотности определится как

. (5)

Соотношение (5) называют соотошением Винера-Хинчина.

Полученная таким образом функция спектральной плотности является двухсторонней спектральной плотностью, симметричной относительно оси ординат. Использование двухсторонней функции спектральной плотности определенной на интервале часто упрощает математический анализ. На практике с помощью прямой фильтрации определяют одностороннюю функцию спектральной плотности, которая задается выражением

, (6)

где . И тогда

. (7)

Определение с помощью финитного преобразования Фурье.

Пусть - реализация стационарного в широком смысле случайного процесса { }. Определим на конечном интервале времени функцию

, (8),

где

, (9)

. (10)

Тогда функция спектральной плотности определится как

, (11)

где - математическое ожидание, взятое по множеству реализаций .

Определение с помощью фильтрации.

Для реализации этого способа необходимо последовательно выполнить ряд операций (рис.2):

- частотную фильтрацию случайного сигнала с помощью узкополосного фильтра с полосой пропускания и центральной частотой ;

- возведение в квадрат мгновенного значения отфильтрованного сигнала;

- усреднение квадрата мгновенного значения по реализации длины ;

- деление на ширину полосы пропускания .

Рис.2. Определение спектральной плотности с помощью фильтрации

В настоящее время наиболее часто используется на практике способ определения спектральных плотностей через финитное преобразование Фурье.

1.4. Ошибки оценки спектральной плотности, полученной финитным преобразованием Фурье.

В случае реализации стационарного эргодического случайного процесса неограниченной длины односторонняя спектральная плотность определяется по формуле

. (12)

Простейшую несглаженную оценку можно получить в виде

(13).

При этом обеспечивается максимальная разрешающая способность .

Нормированная случайная погрешность оценки, полученной по формуле (13), в этом случае определиться как

. (14)

Это означает, что среднеквадратичная ошибка равна оцениваемой величине.

На практике случайную ошибку спектральной оценки, получаемой по формуле (13), уменьшают путем вычисления оценок по различным неперекрывающимся участкам реализации длиной каждая и их последующим усреднением:

. (15)

Оценка полученная по формуле (15) имеет ошибку, определяемую как

. (16)

ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ С ПОМОЩЬЮ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

В настоящее время цифровые методы оценки спектральной плотности постепенно вытесняют аналоговые методы. При цифровом анализе исходные дискретные данные состоят из равноотстоящих отсчетов с интервалом дискретности - , где . Общая длина реализации в этом случае равна .

Для получения неискаженной оценки спектральной плотности исходные данные должны быть подвергнуты предварительной обработке.

2.1. Подготовка данных.

При предварительной обработке наиболее часто выполняются операции приведения исходных данных к нулевому среднему, удаления тренда, фильтрации.

Приведение к нулевому среднему.

Выборочное среднее значение последовательности отсчетов определяется как

. (17)

В случае стационарного и эргодического процесса величина является несмещенной оценкой среднего. Для приведения исходной последовательности к нулевому среднему необходимо вычесть из каждого отсчета исходных данных значение :

, (18)

где .

Удаление тренда.

Исходные данные могут содержать посторонние случайные тренды или низкочастотные компоненты, период которых превышает длину реализации . Примером такого случайного тренда может служить дрейф нуля регистрирующей аппаратуры. Если тренды не исключить из исходных данных, то могут возникнуть значительные искажения оценок спектральной плотности.

Наиболее распространенный способ удаления тренда заключается в подгонке к данным многочлена невысокого порядка с помощью метода наименьших квадратов и вычитания из исходных данных значений полученной аппроксимирующей функции.

На рис.3 приведен пример удаления линейного тренда.

Рис.3. Удаление линейного тренда

Фильтрация данных.

Фильтрация данных может выполняться для различных целей: выделения периодических составляющих, исключения маскировки частот и т.д.

2.2. Оценка спектральной плотности по дискретным данным (Welch’s Method)

При дискретном временном параметре каждая реализация представлена значениями временного ряда *. Тогда оценка двусторонней спектральной плотности может быть найдена с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ):

, (19)

где , и

. (20)

При использовании БПФ частоте Найквиста соответствует значение индекса . Поэтому первые значений спектральной плотности при задают оценку спектральной плотности в диапазоне частот от до , а остальные значений (при ) можно рассматривать как оценку спектра в интервале частот от до .

Одностороннюю спектральную плотность определяют как

, (21)

где .

Число отсчетов определяет разрешающую способность по частоте:

. (22)

С другой стороны, от числа усреднений зависит случайная ошибка оценки спектра. Поэтому при ограниченном наборе данных приходится выбирать между разрешающей способностью и ошибкой оценки.

В настоящее время разработан ряд пакетов программ, ориентированный на обработку сигналов, в которые включена процедура БПФ. Одним из них является пакет MATLAB.

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!