ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уральский государственный университет путей сообщения»

Пермский институт железнодорожного транспорта

-филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Уральский государственный университет путей сообщения» в г. Перми

(ПИЖТ УрГУПС)

Подразделение	Автор
Факультет СП ВО	доцент, к.п.н. Т.С. Куликова

Методические рекомендации

К выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине МАТЕМАТИКА

Раздел:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ

Для студентов заочной формы обучения

Всех специальностей

Пермь, 2019

Расчетно-графическая работа № 3 по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

раздел: Исследование функций при помощи производных

для студентов заочной формы обучения

1 курса всех технических специальностей.

Выбор варианта: по первой букве фамилии (начальная буква фамилии студента)

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Буква	А Л Х	Б М Ц	В Н Ч	Г О Ш	Д П Щ	Е Р Э	Ж С Ю	З Т Я	И У	К Ф

Дополнительная информация:

Контрольная работа составлена в размере 3-х заданий, каждое из которых имеет 10 вариантов. При оформлении контрольной работы необходимо переписать условия каждого задания, записать решение, используя при этом необходимые формулы, дать краткое пояснение всех расчетов. Задания, в которых даны только ответы без необходимых пояснений и расчетов, не засчитываются. Ответ, полученный при решении, необходимо выписать отдельно. При решении задания необходимо выполнить чертеж, его нужно выполнять аккуратно (использовать карандаш, линейку, циркуль, транспортир) с нанесением масштаба на оси координат.

В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

Перед выполнением расчетно-графической работы студенту необходимо повторить теоретический материал по разделу «Исследование функций при помощи производных».

Основные вопросы теории.

1. Возрастание и убывание функций.

2. Максимум и минимум функций.

3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

4. Асимптоты графика функции.

5. Общая схема исследования и построения графика функции.

Требования к оформлению расчетно-графической работы:

1. Расчетно-графическая работа выполняется в отдельной тетради или на листах формата А4. Листы с решениями вкладываются в один файл.

2. В титульном листе студенту необходимо указать фамилию, номер учебной группы и номер выполняемого варианта (смотри Приложение 1).

ЗАДАНИЕ: исследовать функции и построить их графики:

1) ; 2) ; 3) .

№ варианта	Значение коэффициентов			№ варианта	Значение коэффициентов
№ варианта	а	в	с	№ варианта	а	в	с
0	2	-4	2
1	1	3	1	6	-2	-4	1
2	-1	3	2	7	1	3	-1
3	2	6	2	8	-1	3	-2
4	-2	6	2	9	2	6	-1
5	1	-3	2	10	-2	6	-2

Решение нулевого варианта (решение заданий под номерами 1), 2) разбирается на практических занятиях, см. в рабочей тетради): исследуем функцию под номером 3) и построим ее график.

Преобразуем функцию .
Область определения – вся числовая ось, кроме точки , в которой функция имеет разрыв.
Функция общего вида, непериодическая.
Найдем нули функции, т.е. ,

т.е. при функция равна нулю.

5. Найдем интервалы знакопостоянства функции, используя метод интервалов. Для этого построим схему 1: на числовую ось нанесем область определения и нуль функции.

Схема 1.

знак y

Из интервала возьмем и вычислим значение функции в этой точке:

, т.е. функция на интервале положительна и ее график располагается выше оси ОХ и мы нашли точку , через которую проходит график функции.

Из интервала возьмем и вычислим значение функции в этой точке:

Из интервала возьмем и вычислим значение функции в этой точке:

5. Найдем точки пересечения графика функции с осью ОУ: при этом , т.е. с осью ОУ график не пересекается, т.к. при функция имеет разрыв.

6. Найдем первую производную функции.

7. Найдем критические точки, т.е. точки при которых :

8. Найдем интервалы возрастания и убывания графика функции, используя метод интервалов. Для этого на числовую ось нанесем область определения функции и и построим схему 2.

знак

поведение функции

точка min

Схема 2.

Из интервала возьмем и определим знак в этой точке:

, т.е. на интервале график возрастает.

Из интервала возьмем и определим знак в этой точке:

, т.е. на интервале график убывает.

Из интервала возьмем и определим знак в этой точке:

, т.е. на интервале график возрастает.

9. Найдем точки экстремума функции. Из схемы 2 очевидно, что при функция имеет минимум. Вычислим значение функции при : , т.е. точка является точкой минимума графика функции.