Определение секториальных характеристик стержня тонкостенного сечения. Пример расчета

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Для заданного сечения необходимо:

- определить положение центра тяжести;

- вычислить главные центральные моменты инерции;

- построить эпюру секториальной площади (полюс помещаем в центр тяжести сечения);

- вычислить секториально-линейный статический момент;

- построить эпюру главной секториальной площади (полюс помещаем в центр изгиба);

- вычислить секториальный момент инерции;

- вычислить момент инерции при чистом кручении;

- вычислить изгибно-крутильную характеристику;

Характеристики материала: R = 225 МПа, Е = 2 · 10⁵ МПа, µ = 0,3

δ =0,2 см, b = 6,0 см, h = 10,0 см, h ₁ = 1,5 см.

Рисунок А.1 Схема сечения

Решение

Разбиваем фигуру на элементарные прямоугольники, определяем площади прямоугольников.

А₁ = А₂ = δ · b = 6 · 0,2 = 1,2 см²

А₃ = ( h – 2 · δ) · δ =(10 – 2 · 0,2) · 0,2 = 1,92 см²

А₄ = А₅ = ( h ₁ – δ) · δ =(1,5 – 0,2) · 0,2 = 0,26 см²

А = 2А₁ + А₃ + 2А₄ = 2 · 1,2 + 1,92 + 2 · 0,26 = 4,84 см²

2. Определяем положение центра тяжести сечения относительно осей Z ₃ и Y ₃

S _z ₀ = А₁· z₁ + А₂· z₂ + А₃· z₃ + А₄ · z₄ + А₅ · z₅ = 2 · 1,2 ·(-2,9) + 2 · 0,26 · (-5,8) = -9,976 см³

z _с = y_C = 0, т.к. Z₃ – ось симметрии

Рисунок А.2

Вычисляем главные центральные моменты инерции

Izc = 2· ( 2 ( 4,9²·1,2) + 2 ( + 0² · 1,92) + +2( + 4,15²·0,26) = 81,41 см ⁴

Iyc = 2· ( 2 ( 0,84² · 1,2) + 2 ( + 2,06² · ·1,92) + 2( + 3,74²·0,26) = 24,32 см ⁴

Вычисляем секториальную площадь.

Заменяем швеллер расчётной схемой, линии которой совпадают с осевыми линиями элементов сечения (пластин). Строим эпюры координат z и y.

Рисунок А.3 Рисунок А.4

Рисунок А.5

Строим эпюру секториальной площади w_p (полюс располагаем в центре тяжести сечения P = C). 0 – начало отсчета секториальной площади (на пересечении контура и оси симметрии).

ω_с= ω_{нач +}y_нач· z_кон- y_кон· z_нач,

где y_нач,z_нач – координаты точки начала элемента;

y_кон, z_кон – координаты точки конца элемента.

z y - координаты точек относительно центра тяжести

0 ( 2,06 ; 0 )

1 ( 2,06 ; 4,9 )

2 ( -3,74 ; 4,9 )

3 ( -3,74 ; 3,5 )

4 ( 2,06 ; -4,9 )

5 (-3,74 ; -4,9 )

6 ( 3,74 ; -3,5 )

ω₀ = 0

ω₁ = ω₀ + y₀ · z₁ – y₁ · z₀ = 0 + 0 – 4,9 · 2,06 = -10,094 см²

ω₂ = ω₁ + y₁ · z₂ – y₂ · z₁ = -10,094 + 4,9 · (– 3,74) - 4,9 · 2,06 = -38,514 см²

ω₃ = ω₂ + y₂ · z₃ – y₃ · z₂ = -38,514 + 4,9 · (– 3,74) – 3,5 · (– 3,74) = -43,75 см²

ω₄ = ω₀ + y₀ · z₄ – y₄ · z₀ = 0 + 0 - (– 4,9) – 2,06 = 10,094 см²

ω₅ = ω₄ + y₄ · z₅– y₅ · z₄ = 10,094 + (- 4,9) · (– 3,74) – (-4,9) · 2,06 = 38,514 см²

ω₆ = ω₅ + y₅ · z₆ – y₆ · z₅ = 38,514 + (-4,9) · (– 3,74) – (-3,5) · (– 3,74) = 43,75 см²

Рисунок А.6 Рисунок А.7

Определяем положения центра изгиба.

Вычисляем секториально-линейные статические моменты, умножая эпюру ω_с на соответствующие эпюры координат (по способу Верещагина).

= 0,2 · (

см⁴

a_z =

6. Строим эпюру главной секториальной площади ω_с (полюс помещаем в центр изгиба P = D). 0 – начало отсчета секториальной площади (на пересечении контура и оси симметрии).

ω_с= ω_{нач +}y_нач· z_кон- y_кон· z_нач

z y - координаты точек относительно центра изгиба

0 ( -2,92 ; 0 )

1 ( -2,92 ; 4,9 )

2 ( -8,72 ; 4,9 )

3 ( -8,72 ; 3,5 )

4 ( -2,92 ; -4,9 )

5 (-8,72 ; -4,9 )

6 (-8,72 ; -3,5 )

ω₀ = 0

ω₁ = ω₀ + y₀ · z₁ – y₁ · z₀ = 0 + 0 – 4,9 · (-2,92) = 14,31 см²

ω₂ = ω₁ + y₁ · z₂ – y₂ · z₁ = 14,31 + 4,9 · (– 8,72) - 4,9 · (-2,92) = -14,11 см²

ω₃ = ω₂ + y₂ · z₃ – y₃ · z₂ = -14,11 + 4,9 · (– 8,72) – 3,5 · (– 8,72) = -26,32 см²

ω₄ = ω₀ + y₀ · z₄ – y₄ · z₀ = 0 + 0 - (– 4,9) – (-2,92) = -14,31 см²

ω₅ = ω₄ + y₄ · z₅– y₅ · z₄ = -14,31 + (- 4,9) · (– 8,72) – (-4,9) · (-2,92) = 14,11 см²

ω₆ = ω₅ + y₅ · z₆ – y₆ · z₅ = 14,11 + (-4,9) · (– 8,72) – (-3,5) · (– 8,72) = 26,32 см²

Рисунок А.8 Рисунок А.9

0 – главная секториальная нулевая точка – ближайшая к центру изгиба нулевая точка, у сечений с одной осью симметрии она расположена на пересечении контура и этой оси.

7. Вычисляем секториальный момент инерции .