Построим вариационный ряд. Для этого сортируем ряд по возрастанию.
Задание 1.
На складе магазина имеется 15 коробок мороженого, 5 из них шоколадного. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 коробок мороженого окажутся 2 шоколадного.
Решение:
Для вычисления события A воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.
В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 5 коробок из 15, то есть , а общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 2 коробки шоколадного мороженого из 5, то есть . То есть:
Задание 2.
В коробке конфет «Ассорти» находятся шоколадные конфеты с 4 видами начинок: «крем-брюле» – 50 %, с орехами – 20 %, с ликером – 20 %, «пралине» – 10 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу конфета окажется с ликером или орехами?
Решение:
В коробке согласно условию лежит 20% конфет с ликером и 20% конфет с орехами. У нас есть только один шанс выбрать конфету, которая может оказаться с любой из начинок. Если предположить, что вероятность того, что мы вытащим конфету крем-брюле равна 50%, то бишь 0,5, с орехами равна 20%, то бишь 0,2, с ликёром равна 20%, то бишь 0,2, с пралине равна 10%, то бишь 0,1. Учитывая, что нам нужно найти вероятность того, что взятая наудачу конфета окажется с ликером или орехами, то используя формулу сложения вероятностей получим:
|
|
Задание 3.
Макаронные изделия изготавливаются на трех хлебозаводах. Первый завод производит 45 % общего количества макаронных изделий, второй – 40 %, третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % изделий высшего сорта, второго – 80 %, третьего – 81 %. В магазины поступают макаронные изделия со всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленные в магазине макаронные изделия окажутся высшего сорта?
Решение:
В нашем случае мы имеем три несовместимых события. Рассмотрим следующие события:
Согласно условиям, вероятность появления событий равны:
Найдем вероятности появления отдельного события:
Используя формулу про полную вероятность имеем:
Задание 4.
В среднем 30 % изделий, выпускаемых предприятием, высшего сорта. Найти вероятность того, что среди 800 окажется не менее 5 и не более 280 изделий высшего сорта.
Решение:
За условием задачи:
Для подсчета вероятности воспользуемся Интегральной теоремой Муавра – Лапласа:
, де – функция Лапласа, значение аргумента - .
Найдем и :
Значение аргументов берем с интегральной таблицы Лапласа:
В конечном итоге имеем:
Задание 5.
Для заданной случайной величины построить ряд распределения; найти функцию распределения и построить ее график; вычислить характеристики M , D , σ . На зачете студент получил 3 задачи. Вероятность решить каждую задачу равна 0,4. Случайная величина ξ – число решенных задач.
|
|
Решение:
Для того, чтоб найти закон распределения воспользуемся биноминальным распределением:
Имеем закон распределения случайно величины:
0 | 1 | 2 | 3 | |
Функция распределения .
Задание 6.
Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Требуется определить постоянную C и найти функцию распределения ) ; построить графики ) и ; вычислить M , D , σ ,
Решение:
Чтоб найти неизвестный параметр используем условие нормирование для непрерывной величины:
Тогда, используя условие нормирования для непрерывной величины:
Тогда функция распределения будет иметь вид:
График функции ; будет иметь вид:
Тогда плотность распределения будет иметь вид:
График функции будет иметь вид:
Рассчитаем числовые характеристики распределения:
Вероятность того, что значение будет заключено в интервале:
|
|
Задание 7.
Для исходной выборки:
а) определить вариационный ряд и размах выборки;
б) построить простую статистическую таблицу и полигон частот;
в) построить интервальную таблицу и гистограмму;
г) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
д) найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию.
Определялась жирность коровьего молока от 15 коров. Были получены следующие результаты (%): 3,68; 3,66;3,76; 3,78; 3,94; 3,88; 3,86; 3,88; 3,94; 4,00; 3,90; 4,18; 3,96; 4,35; 3,70.
Решение:
Построим вариационный ряд. Для этого сортируем ряд по возрастанию.
Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки .Определим размах выборки:
Статистическое распределение исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:
Построим полигон частот:
Рисунок 1. Полигон частот.
Построим интервальное распределение. Для этого определим с помощью формулы Стэрджесса количество интервалов:
Ширина интервала:
Тогда границы интервала будут:
Группы | Середина интервала | Кол-во, fi |
3.66 - 3.8 | 3.73 | 5 |
3.8 - 3.94 | 3.87 | 6 |
3.94 - 4.08 | 4.01 | 2 |
4.08 - 4.22 | 4.15 | 1 |
4.22 - 4.36 | 4.29 | 1 |
Итого | 15 |
|
|
На основе интервального распределения построим гистограмму частот:
Рисунок 2. Гистограмма частот.
Найдем и построим функцию и график эмпирической функции распределения:
Функция распределения F(X).
F(x≤3.73) = 0
F(3.73< x ≤3.87) = 0.333
F(3.87< x ≤4.01) = 0.4 + 0.333 = 0.733
F(4.01< x ≤4.15) = 0.133 + 0.733 = 0.867
F(4.15< x ≤4.29) = 0.0667 + 0.867 = 0.933
F(x>4.29) = 1
Соответственно график будет иметь вид:
Рисунок 3. Эмпирическая функция распределения.
Найдем числовые характеристики распределения. Для этого построим вспомогательную таблицу:
Группы | Середина интервала, xцентр | Кол-во, fi | xi * fi | |x - xср|*fi | (x - xср)2*fi |
3.66 - 3.8 | 3.73 | 5 | 18.65 | 0.793 | 0.126 |
3.8 - 3.94 | 3.87 | 6 | 23.22 | 0.112 | 0.00209 |
3.94 - 4.08 | 4.01 | 2 | 8.02 | 0.243 | 0.0294 |
4.08 - 4.22 | 4.15 | 1 | 4.15 | 0.261 | 0.0683 |
4.22 - 4.36 | 4.29 | 1 | 4.29 | 0.401 | 0.161 |
Итого | 15 | 58.33 | 1.811 | 0.387 |
В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.
В качестве оценки дисперсии используется статистика:
Среднее квадратическое отклонение:
В качестве оценки исправленной дисперсии используется статистика:
Оценка среднего квадратического отклонения:
Задание 8.
По корреляционной таблице найти уравнения прямых регрессий на и на . Построить корреляционное поле и прямые регрессии. Оценить тесноту линейной связи в процентах.
Решение:
Построим поле корреляции:
Уравнение линейной регрессии с на имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с на 𝑦 имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
Выборочные дисперсии:
Выборочные среднеквадратическое отклонение:
Определим коэффициент корреляции:
Найдем ковариацию:
Коэффициент корреляции:
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!