И 7. Пусть даны точки A(x1;y1) и B(x2;y2).

Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А-1В. Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п-ур-ний и п неизвестных: {а11х1+а12х2+а13х3+…+а1пхп=b1 { а21х1+а22х2+а23х3+…+а2пхп=b2 {………………………………. { ап1х1+ап2х2+ап3х3+…+аппхп=bп Если матрица системы невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить:1)матричным способом (метод обратной матрицы),2)По правилу Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Данная система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов. (а11 а12 а13 …а1п) (х1) (b1) А=( а21 а22 а23 …а2п) Х= (х2) В= (b2) (…………………..) (…) (…) ( ап 1 ап2 ап3… апп) (хп) (bn) Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А-1: А-1(АХ)=А-1В; А-1(АХ)=(А-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А-1В

Обратная матрица

Определение обратной матрицы. Условие существования

Матрица A − 1 называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если

A · A − 1 = A − 1 · A = E ,

Где E — единичная матрица n –ого порядка.

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. det A ≠ 0 .

2 Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

Замечание: ранг матрицы по столбцам и по строкам совпадает

Линейные операции над векторами

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Свойства сложения:

Cсумма

Свойство 1. a + b = b + a.

Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Свойства скалярного произведения

1Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

Решение:

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).

Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

и 7. Пусть даны точки A(x1;y1) и B(x2;y2).

Координаты точки М(х,у), лежащей на отрезке АВ и делящей его в данном отношении:

вычисляются по формулам:

В частности, при получаются формулы для координат середины отрезка:

1)Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству

10. Геометрический смысл смешанного пр- я :

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!