МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«КОСТРОМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ

РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ)»

Вариант №

Выполнил(а):

Проверил(а):

Кострома-200_ г.

Рис. 1: Внешний вид титульного листа

В конце работы необходимо привести библиографический список использованных для выполнения работы литературных источников.

При защите работы студенту необходимо продемонстрировать выполненную работу на компьютере и ответить на дополнительные вопросы. Перечень основных вопросов приведен ниже.

1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

2. Что является областью решения задачи линейного программирования на плоскости?

3. Как определить область решения одного линейного неравенства?

4. Построение направляющего вектора, построение линии уровня целевой функции.

5. Как найти экстремальную точку области решения системы линейных неравенств?

6. Когда целевая функция принимает экстремальное значение на отрезке?

7. Что представляет собой числовая модель задачи линейного программирования?

8. Подготовка исходной информации для решения задачи линейного программирования на ПК.

9. Как установить необходимые параметры поиска оптимального решения?

10. Анализ полученного варианта решения задачи.

Без защищенной расчетно-графической работы студент не допускается до сдачи экзамена по соответствующей дисциплине.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ №1

Задача линейного программирования в простейшем случае может быть решена графическим способом. Графической интерпретации подвергаются только те задачи, в которых число переменных не более 3-х. Рассмотрим решение на примере.

Найдите максимум целевой функции С=4х1+2х2 ® max, при ограничениях

-х1+3х2 £ 9 (1)

2х1+3х2£18 (2)

2х1-х2£10 (3)

х1³0 (4)

х2³0 (5)

Решение задачи:

1. Запишем уравнения граничных прямых.

-х1+3х2 = 9 (1)

2х1+3х2 = 18 (2)

2х1-х2 = 10 (3)

х1 = 0 (4)

х2 = 0 (5)

2. Построим в прямоугольной системе координат уравнения граничных прямых. Для построения прямых можно использовать табличный процессор Excel. Предварительно одну из переменных необходимо выразить через другую, а затем занести подготовленные данные на рабочий лист как это представлено на рис.2.

Рис. 2: . Фрагмент ТП «Excel». Внесение исходных данных для построения графиков граничных прямых.

Для построения графиков необходимо использовать «Мастер диаграмм», выбрав точечный график из предложенных вариантов. В результате получается отображение граничных прямых, представленное на рис.3.

Рисунок 3: . Графики граничных прямых на плоскости

3. Найдем область решения каждого линейного неравенства.

Для того чтобы найти область решения линейного неравенства необходимо координаты контрольной точки подставить в линейные неравенства. В качестве контрольной точки можно взять любую точку на плоскости, не принадлежащую граничной прямой, линейного неравенства. Если неравенство выполняется, то областью решения его является та полуплоскость, где лежит эта точка, если же неравенство не выполняется, то областью решения последнего является противоположная полуплоскость.

4. Найдем область решений системы ограничений задачи (рис.4).

Рисунок 4: . . Решение оптимизационных задач графическим методом

Областью решений системы ограничений задачи на плоскости является выпуклый многоугольник, который может быть замкнутым, либо открытым.

5. Построение линии уровня целевой функции

Уравнение целевой функции необходимо приравнять к любому произвольному значению, например к 0. Так в нашем случае С=4х1+2х2=0.

6. Построение направляющего вектора N.

Направляющий вектор показывает направление возрастания целевой функции. Он выходит из начала координат к координатами коэффициентов целевой функции N = [ 4;2]. Направляющий вектор перпендикулярен линии уровня целевой функции.

7. Нахождение экстремальной точки.

Для нахождения экстремальной точки необходимо перемещать прямую C в направлении вектора N при нахождении максимума целевой функции и в противоположном направлении при отыскании минимума целевой функции, параллельно самой себе до тех пор, пока прямая не будет опорной.

Прямая считается опорной по отношению к выпуклому многоугольнику, если она расположена по одну сторону от него и имеют с ними хотя бы одну общую точку.

Из рис.4 видно, что вершина D многоугольника ABCDE (область решения системы линейных неравенств) является экстремальной точкой, в которой целевая функция С=4х1+2х2 ® max.

Точка максимума (минимума) находится на пересечении двух прямых. Для точного нахождения координат экстремальной точки необходимо решить систему уравнений, содержащую уравнения прямых при пересечении которых образована экстремальная точка. В нашем случае это прямые 2 и 3.

Точные координаты точки экстремума D(6;2).

8. Нахождение значения целевой функции в экстремальной точке.

Для нахождения значения целевой функции в найденной точке берут координаты экстремальной точки и представляют их в аналитическое выражение целевой функции:

C = 4х1 + 2х2 = 4*6 + 2*2 = 28

Cmax = 28

Хopt = {6;2}

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ №2

Хозяйство специализируется в полеводстве на производстве озимой ржи, ячменя, картофеля, кормовой свеклы, капусты белокачаной, кукурузы на зеленый корм, вико-овсяной смеси на зеленый корм, вико-овсяной смеси на сенаж. В с.-х. предприятии имеются 1700 га пашни, трудовые ресурсы в размере 200000. чел.-часов.

Требуется найти такое сочетание посевных площадей, которое обеспечило бы максимум валовой продукции в денежном отношении.

Основные технико-экономические показатели производства представлены в таблице 8.

Таблица 8

Технико-экономические показатели производства

Показатели	Сельскохозяйственные культуры
Показатели	озимая рожь	ячмень	картофель	кормовая свекла	капуста белокачаная	кукуруза на зеленый корм	вико-овсяная смесь на зеленый корм	вико-овсяная смесь на сенаж
Урожайность, ц/га	28	19	155	180	350	260	230	230
Стоимость 1ц товар-ной продукции, Д.Е.	185	170	480	395	495	18	21	23
Затраты труда на 1 га, чел.-час.	21	19	18	380	300	25	22	26
Задание по реализации продукции, тыс. тонн	10	4,8	15	-	20	-	-	-

При составлении экономико-математической модели задачи следует учесть агротехнологические требования к посеву отдельных культур и групп культур:

· зерновые от площади пашни 30-50% ;

· Озимая рожь от площади зерновых культур не менее 30% ;

· корне-клубне-плоды от площади пашни не более 18% ;

· картофель от площади корне-клубнеплодов не менее 18% ;

· площадь капусты не более 60 га

Решение задачи:

За неизвестные примем площади посева сельскохозяйственных культур по видам (га): Х₁ – озимая рожь; Х₂ – ячмень; Х₃ – картофель; Х₄ – кормовая свекла; Х₅ – капуста белокачаная; Х₆ – кукуруза на зеленый корм; Х₇ – вико-овсяная смесь на зеленый корм; Х₈ – вико-овсяная смесь на сенаж

Составим экономико-математическую модель задачи.

I. Ограничения по использованию имеющихся ресурсов:

1) сумма площадей посева сельскохозяйственных культур не должна превышать площади, имеющейся в хозяйстве (1700 га).

Х₁+Х₂+Х₃+Х₄+Х₅+Х₆+Х₇+Х₈≤ 1700

2) использование трудовых ресурсов не должно превысить их наличие в хозяйстве, т.е. сумма произведений норм затрат ресурсов на 1 га на площади соответствующих сельскохозяйственных культур не должна превышать ресурсов, имеющихся в с.-х. предприятии. Коэффициентами при неизвестных будут являться нормы расхода ресурсов на 1 га площади сельскохозяйственных культур.

21Х₁+19Х₂+18Х₃+380Х₄+300Х₅+25Х₆+22Х₇+26Х₈≤ 200000

II. Ограничения по гарантированному производству товарной продукции (гарантированный выпуск предусмотрен для следующих культур: озимая рожь, ячмень, картофель, капуста белокачаная)

3) 28Х₁≥ 10000

4) 19Х₂≥ 4800

5) 155Х₃≥ 15000

6) 350Х₅ ≥ 20000

III. Ограничения по выполнению агротехнологических требований к посеву отдельных культур и групп культур

7) По min зерновых от площади пашни

X₁+X₂≥ 0,3*1700 Þ X₁+X₂≥ 510

7) По max зерновых от площади пашни

X₁+X₂≤ 0,5*1700 Þ X₁+X₂≤ 850

9) По площади озимой ржи

X₁≥ 0,3(X₁+X₂) Þ 0,7X₁-0,3X₂≥ 0

10) Корнеклубнеплоды

X₃+X₄≤ 0,18*1700 Þ X₃+X₄≤ 306

11) Картофель от корнеклубнеплодов

X₃≥ 0,18*X₄Þ X₃-0,18X₄≥ 0

12) По площади капусты

X₅≤ 60

IV. Ограничения по не отрицательности переменных.

X₁ ≥ 0; X₂ ≥ 0 … Х₈≥ 0

Таким образом, требуется найти такие неотрицательные значения этих неизвестных, которые бы удовлетворяли данной системе неравенств и обеспечили получение максимума товарной продукции в денежном выражении от отрасли растениеводства в целом:

C=28*185X₁+19*170X₂+480*155X₃+335*180X₄+495*350X₅+18*260X₆+21*230X₇+23*230X₈®max

Поскольку данная задача решается с помощью MS Excel, то и подготовка входной информации для построения экономико-математической модели задачи можно осуществлять также с использованием табличного процессора (рис.5), так как при изменении исходных данных задачи, данные числовой экономико-математической модели задачи изменяются автоматически.

Рисунок 5 Исходные данные

Вся разработанная информация сводится в экономико-математическую модель и заносится в рабочий лист MS Excel (рис.6).

В столбцы А («№»), В («Ограничения»), С («Единицы измерения»), М («Тип ограничений») вводятся соответствующие данные непосредственно в модель. Они не используются в расчетах и служат для информативности и понимания содержания модели. Блок ячеек D6:K19 и столбец N заполняются строго в соответствии с данными числовой модели и с учетом информации, введенной в лист Исходные данные.

Для искомых переменных величин X₁, X₂,X₃, X₄, X₅, X₆, X₇, X₈ оставляют ячейки – соответственно D5, E5, F5, G5, H5, I5, J5, K5, изначально пустые, значение которых равно нулю. Столбец L , названный «Сумма произведений», предназначен для занесения суммы произведений искомых неизвестных (ячейки D5, E5, F5, G5, H5, I5, J5, K5) и технико-экономических коэффициентов. Таким образом, в столбце L определяется:

Рис. 6 Модель задачи представленная в ТП Excel

- ячейка L 6 – общая площадь пашни, которая может быть использована под посевы технических культур;

- L 7 – объем используемых трудовых ресурсов;

- L 8- L 14 – требование к посеву отдельных видов и групп культур;

- L 15- L 18 – гарантированное производство товарной продукции;

- L 19 – величина прибыли.

На рисунке 6 в строке формул показано, как в ячейке L19 реализуется запись суммы произведений значений переменных (D5:K5) на (D19:K19) соответствующие стоимости товарной продукции с 1 га с помощью MS Excel «СУММПРОИЗВ». При написании данной формулы используются абсолютные ссылки на ячейки (D5:K5), эта формула может быть скопирована в другие ячейки от L6 до L19.

Таким образом, построен опорный план (рис.6) получено первое допустимое решение. Значения неизвестных X1, X2,X3, X4, X5, X6, X7, X8 равны нулю (D5:K5), ячейки столбца L «Сумма произведений» по всем ограничениям (строкам с 6 по 18) и целевой строке (строка 19) также имеют нулевые значения.

Экономическая интерпретация первого опорного плана звучит следующим образом: в хозяйстве имеющиеся ресурсы не используются, процесс производства еще не начат, вследствие чего продукция не производится и значение целевой функции равно нулю.

Для оптимизации имеющегося плана воспользуемся процедурой Поиск ре5шения, которая находится в меню Сервис.

После выбора данной команды появится диалоговое окно (рис.7)

Поскольку в качестве критерия оптимизации нами выбрана максимизация товарной продукции в денежном выражении, в поле Установит целевую ячейку введите ссылку на ячейку, содержащую формулу расчета прибыли. В нашем случае это ячейка $L$19.

Рис. 7 Диалоговое окно «Поиск решения»

В поле Изменяя ячейки введите ссылки на изменяемые ячейки, разделяя запятыми; либо, если они находятся рядом, указывая первую и последнюю, разделяя их двоеточием (D5:K5)

В разделе Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения с помощью кнопок Добавить. Так например, запись ограничения по площади пашни представлена на рис 8.

Рис. 8. Диалоговое окно «Изменение ограничения»

Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите кнопку Добавить, чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку ОК.

После введения всех ограничений необходимо установить необходимые параметры поиска решения, указав на кнопку Параметры в основном диалоговом окне (рис. 9).

Рис. 9 Диалоговое окно «Параметры поиска решения»

Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры Поиска позволяет задать любое количество ограничений. Флажок Неотрицательные значения позволит соблюсти условие неотрицательности переменных. Остальные параметры можно оставить без изменений, либо установить нужные для вас параметры, при необходимости установить справку.

Для запуска задачи на решение нажмите кнопку Выполнить и выбрать нужное действие:

- чтобы сохранить найденное решение на листе, выберите в диалоговом окне Результаты поиска решения вариант Сохранить найденное решение;

- чтобы восстановить исходные данные, выберите вариант Восстановить исходные значения.

- Для того чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу Esc

Оптимальное решение рассматриваемой задачи представлено на рис. 10.

Рис. 10 Оптимальный план задачи

В результате решения задачи получен следующий оптимальный план:

- площадь озимой ржи составляет 597,4 га;

- площадь ячменя 252,6 га;

- площадь картофеля 306 га;

- площадь капусты 60 га

- площадь вико-овсяной смеси на сенаж 424 га.

Выручка от реализации товарной продукции растениеводства составила 39409,5 тыс.руб.

Площадь пашни при этом используется полностью, а трудовые ресурсы находятся в избытке. План по производству основных видов товарной продукции перевыполнен: озимой ржи на 6726,3 т, капусты белокочанной на 1000 т, картофеля на 32430т.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. –СПб,: Союз, 1999. –320с.

2. Ведина О.Н., Десницкая и др. Математика. Математический анализ для экономистов. Учебник/ Под ред Гриба и др. М: Инф.-Изд. дом «Филинъ», 2001, -360с

3. ЗамковО.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Учебник. М. МГУ, Изд-во ДИС, 1998, -386с.

4. Ларионов А.И. Юрченко Т.И.,Новоселов А.Л. Экономико-математические методы в планировании. М.: Высшая школа, 1991

5. Лачуга Ю.Ф., Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Прикладная математика М.:Колос,2001. –211с.

6. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь, М.,Наука, 1987 г.,510 стр.

7. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. –М.:ИНФРА – М, 2001. –356с.

8. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А.Орехова.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. -302с.

9. Матаматические методы в планировании отраслей и предприятий /Л.И.Евенко, Г.В.Виноградов, А.Д.Смирнова и др. под. Ред. Попова И.Г., М.:1981

10. Математические модели экономических процессов в с/х /под ред. А.М.Гатаулина М.: Агропромиздат, 1990

11. Солодовников А.С., БабайцевВ.А., Браилов А.В. Математика в экономике. М. Финансы и статистика, 1999 (часть 1,2)

12. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев и др. М: ЮНИТИ, 2001, -391с.

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 103; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!