Основные элементарные функции.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 12Следующая ⇒

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:

1. у = х^п, у = х ^–п, у = х^м/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.

2. Показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1.

3. Логарифмическая функция у = log_ах, а>0, а ≠ 1

4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,

у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.

Например, у = )/(sin²х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.

Рис.3

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А₀х^п + А₁х^п-1 + А₂х^п-2 + … + А_п-1х + А_п, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А₀, А₁, А₂, … , А_п – вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А₀х^п + А₁х^п-1 + … + А_п)/(В₀х^м + В₁х^м-1 + … +В_м), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = + х².

2 класс трансценденных функций.

а) у = а^х, а > 0, а ≠1, показательная функция,

б) у = log_ах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = х^L , где L – иррациональное число. Например, у = х^π.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.

Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.

x→a

В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.

При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.

y y

f(a)=b

f(a) y= f(x)

y = f (x)

0 a x а х

Рис.1 Рис.2

f(a)

0 a x 0 a x

Рис.3 Рис.4

На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.

х→а

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 282; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!