Составление системы дифференциальных уравнений Колмогорова
Каждому из состояний H0, H1 и H2 указывается вероятность (P0(t), P1(t) и P2(t)) того, что система в момент времени t будет находиться в данном состоянии.
Методика расчета показателей надежности сводится к следующему:
1) составляется система дифференциальных уравнений в соответствии с графом состояний системы;
2) выбираются начальные условия решения задачи;
3) определяются показатели надежности системы.
Система уравнений составляется согласно правилу: производная вероятности данного состояния равна алгебраической сумме произведений интенсивностей всех возможных переходов этого состояния на вероятность состояний, из которых выходят линии перехода. Знак у слагаемого положительный, если линия перехода входит в данное состояние, и отрицательный, если линия перехода выходит из этого состояния.
Согласно этому правилу составим дифференциальные уравнения для дублированной системы:
|
Система дифференциальных уравнений (4) называется системой уравнений Колмогорова или системой уравнений массового обслуживания.
Состояния системы H0, H1 и H2 в момент времени t образуют полную группу несовместных состояний. Тогда сумма вероятностей этих состояний
(5)
Начальные условия задаются следующими: при t=0 вероятность P0(0)=1, P1(0)=0 и P2(0)=0.
|
|
|
Если система дублирована, то ее коэффициент готовности
Kг= 
(6)
Для дублированной системы с нагруженным резервом
(7)
а при ненагруженном
(8)
Для дублированной системы с неограниченным восстановлением
(9)
а при ограниченном
(10)
Решение системы дифференциальных уравнений в системе MATLAB
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим на примере системы уравнений, с заданными параметрами: 
=2, 
=1,М1=1,М2=2,тогда система уравнений (4) примет вид:
|
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ODU) в MATLAB могут быть применены численные методы. MATLAB может выполнять последовательность операторов, записанных в файл на диске. Такие файлы называются М-файлами, потому что имена файлов имеют вид <имя>.m. Большая часть работы в MATLAB состоит в создании, редактировании и выполнении таких m-файлов. Существует два типа m-файлов: файлы – сценарии (M-сценарии) и файлы – функции (M-функции).
|
|
|
Общий порядок программирования решения системы ODU:
1) создается М-функция с описанием правых частей дифференциальных уравнений;
2) создается М-сценарий с выбранным решателем.
Для создания М-функции необходимо в меню системы нажать на значок
в результате откроется окно редактирования (рис. 4), в котором можно набирать необходимый текст М-функции или сценария.
Рис. 4. Окно редактирования
Создадим М-функцию под именем odu.m (имя может быть выбрано любым) для системы уравнений (11). Обозначим функцию переменной du. В системе это будет выглядеть так:
function du=odu(t,p);
du=[-2*p(1)+ p(2);
2*p(1)-(1+1)*p(2)+2*p(3);
1*p(2)-2*p(3)].
В данной записи отображается правая часть системы (11). Строки выражения разделяются точкой с запятой. Символ P выступает в роли переменной. В круглых скобках записывается ее порядковый номер. Например, значению Р(1) соответствует Р0(t), Р(2) - Р1(t), и т.д.
|
|
|
После создания М-файла , его необходимо сохранить под тем же именем, что и название функции , в данном случае, odu.m.
В MATLAB для решения обыкновенных дифференциальных уравнений предусмотрены специальные функции-решатели, например ode23, ode45.
Синтаксис:
[t, P] = ode23(‘<имя функции>‘, T, pn)
[t, P] = ode45(‘<имя функции>‘, T, pn).
Входные параметры:
‘<имя функции>‘ - строковая переменная, являющаяся именем М-файла, в котором вычисляются правые части системы дифференциальных уравнений (15);
T – интервал интегрирования системы дифференциальных уравнений;
pn - вектор начальных условий для вероятностей состояний P0(t), P1(t), P2(t);
Выходные параметры:
t - текущее время;
P - многомерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной.
М-сценарий создаётся в отдельном файле, повторив те же действия как для создания М-функции. Для нашего примера текст сценария будет следующим:
T=[0 5];
pn=[1;0;0];
[t,p]=ode45('odu',T,pn);
plot(t,p),grid,title('lab'),legend('p0','p1','p2').
В первой строке данного выражения задаётся интервал интегрирования T, который зависит от значений интенсивностей отказов и восстановлений. Конкретнее значения определяются методом последовательного приближения. Зададим интервал от 0 до 5 (интервал задаётся через пробел). Во второй строке определяются начальные условия pn, которые зададим последовательностью чисел 1 ,0,0. Третья строка вызывает решатель ode45. С помощью функции plot задаются оси координат для построения графика функций вероятностей P0(t), P1(t), P2(t). Функция grid строит на графике сетку. Функция title выводит название графика. Legend служит для задания названий графикам функций.
|
|
|
Далее необходимо сохранить М-сценарий, например, под именем odu1, и выйти в командную строку MATLAB.
Чтобы запустить на выполнение созданный М-сценарий нужно в активной командной строке набрать имя М-сценария (в рассматриваемом примере – odu1) и нажать клавишу Enter. В результате на экране появится график функций (рис. 5).
Рис. 5. График полученного решения
Массив с полученными решениями можно посмотреть, выбрав в меню VIEW/WORKSPACE, и в левой части окна щёлкнуть на значок массива P (рис. 6.), в отдельном окне откроется массив размером 30х3 со значениями результатов решения (рис. 7.). Также в данном окне можно найти начальные условия pn, интервал интегрирования T и значения времени t.
Рис. 6. Массивы данных
Рис. 7. Массив результатов решения
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 748; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!