Системы эконометрических уравнений

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт

муниципальной службы»

Кафедра информатики и математики

Эконометрика

Программа, методические указания и контрольные задания для

Студентов заочников специальности080109 Бухгалтерский учет,анализ и аудит.

Альметьевск 2011

УДК 51-77

ББК 22.1

Е51

Рецензент: Кулагин В.А. кандидат физико-математических наук, профессор МОСИ

Микка К.В. кандидат физико-математических наук, доцент МарГТУ

Елисеева С.В.

Методические указания по решению контрольной работы

(самостоятельная работа студентов)

II курса специальности 080109. Бухгалтерский учет, анализ и аудит.

Е51 С.В.Елисеева – Альметьевск: ИИЦ АГИМС, 2011. – 40с.

Введение

Методические указания составлены для студентов-заочников специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», содержат программу курса эконометрики, указания к выполнению заданий контрольной работы, варианты заданий и необходимые для решения задач статистические таблицы.

Студенты выполняют четыре задания. Номер варианта контрольной работы выбирается студентом в соответствии с первой буквой своей фамилии.

Номер варианта

Первая буква

фамилии

студента

При решении заданий студенты могут использовать таблицы статистических данных, приведенные в приложениях.

Используются количественные данные для наблюдения за ходом развития экономики, ее анализа и прогнозов. Набор статистических методов, используемых для этих целей, называется в совокупности эконометрикой. Современное экономическое образование базируется, в основном, на макроэкономике, микроэкономике и эконометрике. Для выработки управленческих решений, составления социально-экономических прогнозов, оптимизации принимаемых решений и выработки правильной социально-экономической политики успешно применяются эконометрические методы.

Программа курса эконометрики предполагает использование при изучении курса во всех его разделах вычислительной техники и пакетов прикладных программ.

Цель преподавания эконометрики – ознакомить студентов с основами математического и эконометрического моделирования необходимых для решения теоретических и практических экономических задач; развивать логическое мышление; привить навыки самостоятельного изучения учебной и научной литературы; повысить общий уровень использования количественных методов в экономических исследованиях; выработать навыки исследования с помощью математических моделей и персональных компьютеров.

Программа курса эконометрики

Введение. Предмет и содержание курса эконометрики. Методология эконометрических исследований. Математическая и эконометрическая модель.

Раздел 1. Регрессионная модель. Классическая линейная регрессия в случае одной объясняющей переменной. Множественная линейная регрессия в скалярной и векторной формах. Метод наименьших квадратов (МНК); свойства МНК-оценок; показатели качества регрессии. Теорема Гаусса-Маркова для множественной линейной регрессионной модели. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК). Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные). Нелинейные модели и их линеаризация. Коэффициент множественной детерминации. Различные аспекты множественной регрессии.

Раздел 2. Системы одновременных регрессионных уравнений (СОУ). Основные понятия СОУ: экзогенные и эндогенные переменные; структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. Условия идентифицируемости СОУ, идентификация рекурсивных систем. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов. Применение СОУ.

Раздел 3. Анализ временных рядов. Понятие временного ряда и его компоненты. Аддитивные и мультипликативные модели временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация. Модели распределенных лагов. Модели Бокса-Дженкинса (ARIMA)

Задание № 1

Парная регрессия

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных и :

где – зависимая переменная (результативный признак);

– независимая переменная (признак – фактор).

Построение уравнения регрессии или сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна, т.е.

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров , и приравнять их к нулю:

Преобразуя последнюю систему, получим

Решая систему уравнений, получим

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает коэффициент парной корреляции для линейной регрессии : ,

и индекс корреляции .

Близость к нулю означает отсутствие линейной связи между признаком и фактором.

Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

Из дисперсионного анализа известно, что

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией; – остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент (индекс) детерминации

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического , и критического (табличного) значений F-критерия Фишера.

определяется по формуле

где – число единиц совокупности; – число параметров при совокупности . – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости – вероятность отвергнуть правильную гипотезу. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.

Если < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если > , то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки существенности отдельных параметров уравнения определяется их стандартная ошибка и :

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы, которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости , заметим, что .

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как .

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле

Процедура оценивания значимости данного параметра ничем не отличается от процедуры оценки значимости коэффициента регрессии .

Точечный прогноз значения признака часто бывает нереальным и дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения : ,

Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации: , допустимые значения которой 8 - 10 %.

ПРИМЕР 1. В табл. 1.1 приведены данные о годовой выручке ( ) от реализации продукции за десятилетний период.

Таблица 1.1

Год	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
Выручка от реализации (млн у.е.)	14	16	18	20	25	28	45	50	58	66

Требуется:

1. Для определения вида зависимости рассчитать параметры и функций: 1) , 2) .

2. Определить тесноту связи и значимости параметров уравнения, используя F-распределение (Фишера) и -критерий (Стьюдента), выбрав уровень значимости .

3. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации.

4. Рассчитать прогноз выручки от продаж при прогнозном значении фактора , составляющим 102% от среднего уровня. Оценить точность прогноза и его доверительный интервал.

5. Сделать выводы по результатам расчетов.

Решение. Присвоим каждому году соответствующий номер 1, 2, …, 10.

Составим таблицу расчетов 1.2.

Все расчеты в таблице велись по формулам

Тогда , и линейное уравнение регрессии примет вид: .

1. Рассчитаем коэффициент корреляции:

Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то связь между признаком и фактором тесная.

2. Вычислим значение -критерия Фишера.

Таблица 1.2

А(%)

196

-20

-4,5

400

20,25

6,7273

7,2727

52,89

51,948

256

-18

-3,5

324

12,25

12,7879

3,2121

10,318

20,076

324

-16

-2,5

256

6,25

18,8485

-0,848

0,7199

4,7138

400

-14

-1,5

196

2,25

24,9091

-4,909

24,099

24,5454

125

625

-9

-0,5

0,25

30,9697

-5,97

35,637

23,8788

168

784

-6

0,5

2,25

37,0303

-9,03

81,548

32,2511

315

2025

1,5

121

6,25

43,0909

1,9091

3,6446

4,2424

400

2500

2,5

256

12,25

49,1515

0,8485

0,7199

1,69697

522

3364

3,5

576

20,25

55,2121

2,7879

7,7723

4,8067

100

660

4356

4,5

1024

20,25

61,2727

4,7273

22,3471

7,1625

385

340

2370

14830

3270

82,5

239,697

175,32

Среднее значение

5,5

38,5

1483

23,9697

17,532

2,87

18,08

8,25

327

где – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ); – объем совокупности.

По таблице распределения Фишера находим .

Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 92,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что говорит о ненадежности выбранной модели регрессии.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Прологарифмируем обе части равенства: .

Введем обозначения: , . Получим линейную модель регрессии

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 1.3.

Таблица 1.3


	0	0	2,639057	0	6,964624	-0,74094	-1.51
	0,693147	0,480453	2,772589	1,921812	7,687248	-0,60741	-0,81685
	1,098612	1,206949	2,890372	3,175398	8,354249	-0,48963	-0,41139
	1,386294	1,921812	2,995732	4,152967	8,974412	-0,38427	-0,12371
	1,609438	2,59029	3,218876	5,180581	10,36116	-0,16112	0,099438
	1,791759	3,210402	3,332205	5,970509	11,10359	-0,0478	0,281759
	1,94591	3,786566	3,806662	7,407423	14,49068	0,426662	0,43591
	2,079442	4,324077	3,912023	8,134823	15,30392	0,532023	0,569442
	2,197225	4,827796	4,060443	8,921705	16,4872	0,680443	0,687225
	2,302585	5,301898	4,189655	9,647037	17,55321	0,809655	0,792585
	15,10441	27,65024	33,81761	54,51225	117,2803
Среднее значение	1,510441	2,765024	3,381761	5,451225	11,72803
	0,6954		0,507379
	0,483592		0,2574336

Окончание таблицы 1.3

						А(%)
	0,548996	2,2801	13,96005	0,039946	0,001596	0,2853
	0,368948	0,667249	19,65511	-3,65511	13,35984	22,8444
	0,239736	0,16924	24,01011	-6,01011	36,12143	33,3895
	0,147662	0,015303	27,67349	-7,67349	58,88244	38,3674
	0,025961	0,009888	30,89575	-5,89575	34,75984	23,583
	0,002284	0,079388	33,80513	-5,80513	33,6995	20,7326
	0,182041	0,190018	36,4777	8,522295	72,62951	18,9384
	0,283048	0,324264	38,96299	11,03701	121,8155	22,074
	0,463003	0,472278	41,29536	16,70464	279,0451	28,8011
	0,655541	0,628191	43,49979	22,50021	506,2597	34,0912
						243,1071
Среднее значение						24,3107

1. Рассчитаем параметры уравнения, предварительно рассчитав

, .

2. Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

следовательно, только 46,24% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .

следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии

Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е. .

Определим ошибки .

, ,

, .

Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.

3. , следовательно, качество модели не очень хорошее.

4. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем . Тогда .

5. Средняя ошибка прогноза

где

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1

Задачи 1-5

Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x – размер общей площади (м²)). Данные приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Мес.	Задача 1		Задача 2		Задача 3		Задача 4		Задача 5
Мес.	y	x	y	x	y	x	y	x	y	x
1	13,0	37,0	13,2	37,2	22,5	46,0	22,5	29,0	23,0	22,8
2	16,4	60,0	15,9	58,2	25,5	54,0	25,8	36,2	26,8	27,5
3	17,0	60,9	16,2	60,8	19,2	50,2	20,8	28,9	28,0	34,5
4	15,2	52,1	15,4	52,0	13,5	43,8	15,2	32,4	18,4	26,4
5	14,2	40,1	14,2	44,6	25,4	78,6	25,8	49,7	30,4	19,8
6	10,5	30,4	11,0	31,2	17,8	60,2	19,4	38,1	20,8	17,9
7	20,0	43,0	21,1	26,4	18,0	50,2	18,2	30,0	22,4	25,2
8	12,0	32,1	13,2	20,7	21,0	54,7	21,0	32,6	21,8	20,1
9	15,6	35,1	15,4	22,4	16,5	42,8	16,4	27,5	18,5	20,7
10	12,5	32,0	12,8	35,4	23,0	60,4	23,5	39,0	23,5	21,4
11	13,2	33,0	14,5	28,4	14,6	47,2	18,8	27,5	16,7	19,8
12	14,6	32,5	15,1	20,7	14,2	40,6	17,5	31,2	20,4	24,5

Задачи 6 – 10

Имеются данные о потребительских расходах на душу населения (y, руб.), средней заработной плате и социальных выплатах (x, руб.) по 16 районам региона. Данные приведены в табл. 1.5.

Таблица 1.5

Районы	Январь		Февраль		Март		Апрель		Май
	Задача 6		Задача 7		Задача 8		Задача 9		Задача 10
	y	x	y	x	y	x	y	x	y	x
A	416	1288	420	1305	440	1310	445	1310	450	1380
B	501	1435	512	1440	525	1490	537	1490	540	1530
C	403	1210	430	1230	450	1250	463	1255	470	1310
D	208	1190	230	1275	240	1280	251	1287	275	1355
E	462	1640	505	1700	545	1710	553	1720	564	1810
F	386	1420	402	1480	447	1497	453	1500	462	1520
G	399	1250	430	1305	469	1312	478	1320	495	1410
H	342	870	400	895	435	903	448	918	450	1000

Продолжение таблицы 1.5

I	354	740	410	775	442	787	453	794	460	810
J	558	910	585	1000	605	1012	627	1012	633	1051
K	302	1020	370	1035	352	1049	364	1058	377	1078
L	360	1050	384	1150	405	1207	419	1213	422	1231
M	310	1205	345	1215	376	1221	392	1225	405	1230
N	415	990	445	1010	462	1035	478	1042	483	1050
O	452	1042	485	1059	505	1064	521	1071	537	1095
P	450	1037	491	1051	500	1072	517	1093	529	1101

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и .

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Задание 2

Множественная регрессия

Обобщением модели парной регрессии является модель множественной регрессии. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где – зависимая переменная (результативный признак);

– независимые переменные (факторы).

Чаще всего используются линейные уравнения множественной регрессии:

. (2.1)

Используют также и нелинейные модели множественной регрессии, например:

и др.

Построение модели связано с выбором вида уравнения и отбором факторов модели. Факторы, включаемые в модель, должны удовлетворять требованиям:

- должны быть количественно измеримы;

- не должны находиться в функциональной связи;

- между факторами не должно быть высокой корреляционной связи (не должны быть мультиколлинеарны).

Для выявления мультиколлинеарных факторов можно использовать корреляционную матрицу :

где – оценки коэффициентов парной корреляции. При этом, если факторы некоррелированы, то , если между факторами линейная связь, то и чем ближе к нулю, тем сильнее мультиколлинеарность. Один из путей устранения мультиколлинеарности – исключение из модели одного или нескольких факторов.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии используют МНК, для чего необходимо решить систему линейных уравнений

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где – стандартизованные переменные;

– стандартизированные коэффициенты регрессии.

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентами описывается соотношениями:

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется формула

На основе уравнения (2.1) могут быть найдены частные уравнения регрессии:

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде:

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: .

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

где – число наблюдений, – число факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F -критерия Фишера:

Частный -критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

где – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии и определяется по формуле

Возможны случаи, когда в модель регрессии необходимо включить факторы, имеющие атрибутивные признаки, например, образование, тип изделия, профессия и т.д.

Чтобы использовать эти переменные им придают численные значения. Такие искусственно сконструированные переменные в эконометрике называются фиктивными или структурными переменными.

Фиктивные переменные могут вводиться как в линейные, так и в нелинейные модели.

Пример 2. Изучается влияние стоимости основных оборотных средств на величину валового доходаторговых предприятий.

Для этого по двенадцати торговым предприятиям получены данные, приведенные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Валовой доход (y), млн руб.	203	63	45	13	121	88	110	56	80	237	160	75
Среднегодовая стоимость основных фондов (x₁)	118	28	17	50	56	102	116	124	114	154	115	98
Среднегодовая стоимость оборотных средств (x₂)	105	56	54	63	28	50	54	42	36	106	88	46

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованной и естественной форме. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий и частные F-статистики Фишера.

4. По результатам расчетов сделать соответствующие выводы.

Решение. Результаты расчетов приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

	y	x₁	x₂	yx₁	yx₂	x₁x₂	x₁²	x₂²	y²
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	203	118	105	23954	21315	12390	13924	11025	41209
	63	28	56	1764	3528	1568	784	3136	3969
	45	17	54	765	2460	918	289	2916	2025
	113	50	63	5650	7119	3150	2500	3969	12769
	121	56	28	6776	3388	1568	3136	784	14641
	88	102	50	8976	4400	5100	10404	2500	7744
	110	116	54	12760	5940	6264	13456	2916	12100
	56	124	42	6944	2352	5208	15376	1764	3136
	80	114	36	9120	2880	4104	12996	1296	6400
	237	154	106	36498	25122	16324	23716	11236	56169
	160	115	88	18400	14080	10120	13225	7744	25600
	75	98	46	7350	3450	4508	9604	2116	5625
	1351	1092	728	138957	96004	71222	119410	51402	191387
Средн.	112,58	91	60,67	11579,75	80000,3	5935,2			15948,92
	57,219	39,457	24,549
	3273,985	1556,8	602,68

Рассматриваем уравнение вида:

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:

, где – стандартизированные переменные, – стандартизированные коэффициенты:

Коэффициенты определяются из системы уравнений:

, ;

;

, ;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

, .

Следовательно, при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов (x₁) на 1% валовой доход (y) увеличивается на 0,388% от своего среднего уровня. При повышении среднегодовой стоимости оборотных средств на 1% валовой доход повышается на 0,762% от своего среднего уровня.

2. Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения (2.1) определяются следующим образом:

Отличие коэффициентов частной корреляции не слабой межфакторной связью ( ).

Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

Коэффициент множественной детерминации .

3. , где - объем выборки, - число факторов модели. В нашем случае

Так как , то и потому уравнение значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

Так как , то следует вывод о целесообразности включения в модель фактора после фактора .

4. Результаты расчетов позволяют сделать вывод :

1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

2) о значимости фактора и целесообразности включения его в уравнение регрессии.

В результате значимой оказалась модель .

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 2

Задачи 11-15

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 2.3.

Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х₁), использованный капитал (х₂) в млрд у.е.

Таблица 2.3

Задача 11			Задача 12			Задача 13			Задача 14			Задача 15
у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂
5,5	53,1	27,1	6,6	6,9	83,6	3,6	16,2	13,3	1,5	5,9	5,9	3,0	18,0	6,6
2,4	18,8	11,2	3,0	18,0	6,5	1,5	5,9	5,9	5,5	53,1	27,1	3,3	16,7	15,4
3,0	35,3	16,4	6,5	107,9	50,4	5,5	53,1	27,1	2,4	18,8	11,2	3,6	16,2	13,3
4,2	71,9	32,5	3,3	16,7	15,4	2,4	18,8	11,2	3,0	35,3	16,4	5,5	53,1	27,1
2,7	93,6	25,4	0,1	76,6	29,6	3,0	35,3	16,4	4,2	71,9	32,5	3,0	35,3	16,4
1,6	10,0	6,4	3,6	16,2	13,3	4,2	71,9	32,5	2,7	93,6	25,4	2,7	93,6	25,4
2,4	31,5	12,5	2,4	18,8	11,2	2,7	93,6	25,4	1,6	10,0	6,4	2,4	31,5	12,5
3,3	36,7	14,3	3,0	35,3	16,4	1,6	10,0	6,4	2,4	31,5	12,5	1,8	13,8	6,5
1,8	13,8	6,5	1,8	13,8	6,5	2,4	31,5	12,5	3,3	36,7	14,3	1,6	30,4	15,8
2,4	64,8	22,7	2,4	64,8	22,7	3,3	36,7	14,3	1,8	13,8	6,5	0,9	31,3	18,9
1,6	30,4	15.8	1,6	30,4	15,8	1,8	13,8	6,5	2,4	64,8	22,7	6,5	107,9	50,4
1,4	12,1	9,3	1,4	12,1	9,3	2,4	64,8	22,7	1,6	30,4	15,8	3,6	16,2	13,3

Задачи 16-20

Имеются данные 12 месяцев по району города о рынке вторичного жилья, (у – стоимость квартиры, тыс. у.е., х₁ – размер жилой площади, м², х₂ – размер кухни, м². Данные приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Задача 16			Задача 17			Задача 18			Задача 19			Задача 20
у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂	у	х₁	х₂
13,0	37,0	6,2	13,2	46,0	5,8	23,0	22,8	5,0	22,5	37,2	7,6	22,7	28,8	5,4
16,4	60,9	10,0	15,9	54,1	8,5	26,8	27,7	5,2	25,5	58,0	9,4	25,8	36,2	7,2
17,0	60,0	8,5	16,2	50,6	8,0	28,0	34,5	6,0	19,2	60,2	9,5	20,8	28,9	5,6
15,2	52,1	7,4	15,4	43,8	5,2	18,4	26,4	5,1	13,6	52,0	8,1	15,2	32,4	6,4
14,2	40,1	7,0	14,2	78,6	12,0	30,4	19,8	4,8	25,4	44,6	7,4	25,4	49,7	7,5
10,5	30,4	6,2	11,0	60,2	7,2	20,8	17,9	4,5	17,8	31,2	6,3	19,4	38,1	6,7
20,0	43,0	7,5	21,1	50,2	7,0	22,4	25,2	5,4	18,0	26,4	5,9	18,2	30,2	6,2
12,0	32,1	6,4	13,4	54,7	7,3	21,8	20,4	4,9	21,1	20,7	5,5	21,0	32,6	6,4
15,6	35,1	7,0	15,6	42,8	5,5	18,5	20,7	5,0	16,5	22,4	5,7	16,4	27,5	5,5
12,5	32,0	6,2	12,8	60,4	7,3	23,5	21,4	5,2	23,0	35,4	6,8	23,5	39,0	6,9
13,2	33,0	6,0	14,5	47,2	5,8	16,7	19,6	4,5	16,2	28,4	6,5	18,8	27,5	5,4
14,6	32,5	5,8	15,1	40,6	5,2	20,4	24,5	4,9	17,2	22,7	6,0	17,5	31,2	6,3

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задание 3

Системы эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений (СОУ), в которых одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать и в роли результирующих показателей, и в роли объясняющих переменных.

Различают несколько видов систем уравнений:

- системы независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов (МНК);

- системы рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

- система совместных уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

(3.1)

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) .

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы .

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты и при переменных – структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:

(3.2)

где - коэффициенты приведенной формы модели.

Параметры приведенной системы могут быть оценены МНК. Оценки, полученные методом наименьших квадратов, могут быть использованы для оценивания структурных параметров (косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)).

При этом возможны следующие ситуации:

- однозначное выражение структурных коэффициентов через коэффициенты приведенной модели – идентифицируемость уравнения;

- структурный коэффициент допускает несколько различных оценок КМНК сверхидентифицируемость уравнения;

- структурный коэффициент не может быть выражен через коэффициенты приведенной модели – неидентифицируемость уравнения.

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

– уравнение идентифицируемо;

– уравнение неидентифицируемо;

– уравнение сверхидентифицируемо,

где – число эндогенных переменных в уравнении,

– число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, присутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, а ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных и неидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют числовые значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

- путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК;

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Замечание. Если в модели есть тождества, то их исключают перед статистическими исследованиями.

Пример 3. 1. Оценить структурную модель на идентификацию:

y₁= b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x₂,

y₂=b₂₁y₁+b₂₃y₃+a₂₂x₂,

y₃= b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₃x₃.

2. На основе приведенной модели

Y₁= 2x₁+4x₂+10x₃,

Y₂=3x₁-6x₂+2x₃,

Y₃= -5x₁+8x₂+5x₃.

Найти структурные коэффициенты модели.

1. Модель имеет три эндогенные (у₁у₂у₃) и три экзогенные переменные (х₁х₂х₃).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D=1 (x₃), H=2 (у₁,у₂), D+1=H - уравнение идентифицировано.

2-е уравнение: D=2 (х₁,х₃), H=3 (у₁,у₂,у₃), D+1=H - уравнение идентифицировано.

3-е уравнение: D=1 (x₂), H=2 (у₂,у₃), D+1=H - уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В первом уравнении нет переменных х₃, у₃

Строим матрицу:

	Х₃	У₃
2 ур.	0	b₂₃
3 ур.	а₃₃	-1

det M = det , rank M =2.

Во втором уравнении нет переменных х₁, х₃

Строим матрицу:

	Х₃	У₃
1 ур.	а₁₁	₀
3 ур.	а₃₁	а₃₃

det M = det , rank M =2.

В третьем уравнении нет переменных у₁, х₂

Строим матрицу:

	Х₃	У₃
1 ур.	-1	а₁₂
2 ур.	b₂₁	a₂₂

det M = det , rank M =2.

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2. Найдем структурные коэффициенты модели.

Для этого:

Запишем систему (3.1) в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:

y₁-b₁₂y₂=a₁₁x₁+a₁₂x₂,

-b₂₁y₁+y₂-b₂₃y₃=a₂₂x₂,

-b₃₂y₂+y₃=a₃₁x₁+a₃₃x₃.

откуда , и , , , .

Решаем систему относительно : . Найдем

, где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Поэтому

Сравнивая полученную систему с системой (3.2), получим систему из 9 уравнений с 9 неизвестными, после решения которой находим коэффициенты структурной формы.

В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы (3.2) и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы (3.1) примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы (3.2) находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы (3.1), получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы (3.1), получим .

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

Задание к задачам 21 - 30:

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Задача 21

Гипотетическая модель экономики:

С_t = a₁+b₁₁Y_t+b₁₂Y_t+e₁,

J_t = a₂+b₂₁Y_t-1+e₂,

T_t = a₃+b₃₁Y_t+e₃,

G_t = С_t+ Y_t,

где С_t – совокупное потребление в период t:

Y_t – совокупный доход в период t;

J_t – инвестиции в период t;

T_t – налоги в период t;

G_t – государственные доходы в период t.

Задача 22

Модель спроса и предложения на деньги:

R_t = a₁+b₁₁M_t+b₁₂Y_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+e₂,

где R – процентные ставки в период t;

Y – ВВП в период t;

М – денежная масса в период t.

Задача 23

Макроэкономическая модель:

С_t = a₁+b₁₂Y_t+b₁₃Т_t+e₁,

I_t = a₂+b₂₁Y_t+ b₂₄K_t-1+e₁,

Y_t = С_t+I_t,

где С – потребление;

I – инвестиции;

Y – доход;

T – налоги;

K – запас капитала.

Задача 24

Модель денежного и товарного рынков:

R_t = a₁+b₁₂Y_t+b₁₄M_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+ b₂₃I_t+ b₂₅G_t+e₂,

I_t = a₃+b₃₁R_t+e₃,

где R – процентные ставки;

Y – реальный ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции;

G – реальные государственные расходы.

Задача 25

Модель денежного рынка:

R_t = a₁+b₁₁M_t+b₁₂Y_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+ b₂₂I_t +e₂,

I_t = a₃+b₃₃R_t+e₁,

где R – процентные ставки;

Y – ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции/

Задача 26

Модель имеет вид:

Y₁ = a₁+b₁₂Y₂+e₁,

Y₂ = a₂+b₂₁Y₁+ C₂₁X₁ +e₂,

Y₃ = Y₁+ X₂.

Задача 27

Модель имеет вид:

Y₁ = a₁+b₁₁X₁+ b₁₂X₂+C₁₂Y₂+e₁,

Y₂ = a₂+b₂₂X₂+ C₂₁Y₁ +e₂,

Y₃ = a₃+b₃₁X₁ + b₃₃X₃₊e₃.

Задача 28

Модель имеет вид:

Y₁ = a₁+b₁₁X₁+ b₁₃X₃+C₁₂Y₂+e₁,

Y₂ = a₂+b₂₂X₂+ C₂₁Y₁ +e₂,

Y₃ = a₃+b₃₂X₂ + b₃₃X₃₊e₃.

Задача 29

Модель имеет вид:

Y₁ = b₁₂Y₂+a₁₁X₁+a₁₂X₂+e₁,

Y₂ = b₂₁Y₁+b₂₃Y₃+a₂₂X₂+e₂,

Y₃ = b₃₁Y₁+a₃₁X₁+a₃₃X₃+e₃.

Задача 30

Модель имеет вид:

Y₁ = b₁₂Y₂+a₁₁X₁+a₁₂X₂+e₁,

Y₂ = b₂₁Y₁+a₂₂X₂+a₂₃X₃+e₂,

Y₃ = b₃₁Y₁+a₃₃X₃+e₃.

Задание 4

Анализ временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называется моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической ( S ), случайной ( E ) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: ;

Мультипликативная модель: .

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений и для каждого уровня ряда.

Построение модели включает в себя следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты ;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели.

4) аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений Е с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений или ;

6) расчет абсолютных и (или) относительных ошибок.

Автокорреляцией уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

, (4.1)

где ; – коэффициент автокорреляции уровней ряда

первого порядка;

, (4.2)

где ; – коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

- линейная ;

- гипербола :

- экспонента ;

- степенная функция ;

- парабола второго и более высоких порядков .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона и расчет величины:

ПРИМЕР 4. Имеются данные об урожайности овощных культур в хозяйствах региона. Данные приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Год	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Урожайность, т/га	10,2	10,7	11,7	13.1	14,9	17,2	20,0	23,2

Для данного временного ряда требуется:

1. Обосновать тип уравнения тренда.

2. Рассчитать параметры тренда.

3. Дать прогноз на 1997 год.

Решение. Определим коэффициент корреляции между рядами и . Воспользуемся формулой (4.1), расчеты приведены в таблице 4.2:

Таблица 4.2

	год
	1	10,2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	2	10,7	10,2	-	-5,128	-3,771	26,2964	14,22044	-	-	-	-	19,33769	-
	3	11,7	10,7	10,2	-4,128	-3,271	17,0404	10,69944	-4,983	-2,767	24,83029	7,656289	13,50269	13,78796
	4	13,1	11,7	10,7	-2,728	-2,271	7,44198	5,157441	-3,583	-2,267	12,83789	5,139289	6,195288	8,122661
	5	14,9	13,1	11,7	-0,928	-0,871	0,86118	0,758641	-1,783	-1,267	3,179089	1,605289	0,808288	2,259061
	6	17,2	14,9	13,1	1,372	0,929	1,88238	0,863041	0,517	0,133	0,267289	0,017689	1,274588	0,068761
	7	20,0	17,2	14,9	4,172	3,229	17,4056	10,42644	3,317	1,933	11,00249	3,736489	13,47139	6,411761
	8	23,2	20,0	17,2	7,372	6,029	54,2464	36,34884	6,517	4,233	42,47129	17,91829	44,44579	27,58646
	36				0,004	0,003	125,274	78,47429	0,002	-0,002	94,58833	36,07333	99,03572	58,23667
Средн.	4,5

Результат говорит о тесной зависимости между урожайностью текущего и непосредственно предшествующего годов и наличии во временном ряде сильной линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле (4.2):

Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .

3. Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3


	1	10,2	1	104,04	10,2	-3,5	12,25	8,800	1,400	1,960
	2	10,7	4	114,49	21,4	-2,5	6,25	10,607	0,093	0,009
	3	11,7	9	136,89	35,1	-1,5	2,25	12,414	-0,714	0,09
	4	13,1	16	171,61	52,4	-0,5	0,25	14,221	-1,121	1,257
	5	14,9	25	222,01	72,5	0,5	0,25	16,028	-1,128	1,272
	6	17,2	36	295,84	103,2	1,5	2,25	17,835	-0,635	0,403
	7	20,0	49	400,00	140	2,5	6,25	19,642	0,358	0,128
	8	23,2	64	538,24	185,5	3,5	12,25	21,449	1,751	3,066
	36	121	204	1983,12	620,4	0,00	32,00			8,604
Средн.	4,5	15,125	25,5	247,890	77,55

Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции .

Расчетное значение критерия Фишера равно , , следовательно, уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.

Прогнозное значение (при ), , средняя ошибка прогноза вычислим по формуле

, где остаточная дисперсия рассчитывается по формуле

; .

Предельная ошибка прогноза ,

, .

Доверительный интервал прогноза .

Выполненный прогноз надежный и достаточно точный. Следовательно, применительно к рассмотренному временному ряду темпы роста урожайности за восемь рассмотренных лет изменялись от (т/га) со средним за год приростом, равным (т/га).

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 4

Задачи 31-35

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

День	Задача 31	Задача 32	Задача 33	Задача 34	Задача 35
День	Терапевти-ческое отделение	Хирургичес-кое отделение	Стоматологическое отделение	Глазное отделение	Отделение пласти-ческой хирургии
1	29	35	41	30	22
2	40	29	52	22	19
3	30	22	30	19	11
4	52	19	47	28	12
5	47	30	28	24	16
6	28	47	22	18	28
7	16	28	51	35	30
8	51	12	40	29	18
9	40	13	57	40	17
10	35	15	33	34	20
11	57	18	43	31	21
12	28	19	51	29	19
13	33	20	36	35	24
14	42	16	19	23	13
15	39	35	42	27	16

Задачи 36-40

Имеются данные за двенадцать лет по странам о годовом объеме продаж автомобилей. Данные приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Год Объем продаж 100 тыс.	Задача 36	Задача 37	Задача 38	Задача 39	Задача 40
Год Объем продаж 100 тыс.	Страна А	Страна В	Страна С	Страна Д	Страна Е
1986	3,8	4,1	5,2	2,8	4,2
1987	4,7	5,2	6,3	3,6	5,4
1988	3,9	4,3	4,5	2,7	4,0
1989	2,7	3,2	3,9	2,0	3,1
1990	2,9	3,0	3,8	1,8	2,9
1991	2,3	2,8	3,0	1,4	2,4
1992	3,0	4,2	4,8	2,1	3,7
1993	3,6	4,6	5,0	2,5	4,1
1994	2,9	3,7	4.6	2,1	1,4
1995	3,7	4,8	6,1	3,0	2,2
1996	4,5	5,6	6,7	3,7	2,9
1997	4,2	5,0	6,9	3,1	2,6

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Библиографический список

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.

4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.

6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Приложение 1

Таблица значений F -критерия Фишера при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	161,45	199,50	215,72	224,57	230,17	233,97	238,89	243,91	249,04	234,52
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,65	1,31
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Приложение 2

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 545; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!