Осевое растяжение (сжатие). Перемещения, деформации, закон Гука

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Основные понятия и допущения в сопротивлении материалов

Сопротивление материалов – наука о прочности и жесткости механических конструкций и методах их расчета.

Все машины и сооружения состоят из отдельных деталей (элементов), на которые в процессе эксплуатации действуют внешние силы (нагрузки). Под действием сил элементы конструкции изменяют свои размеры и форму – деформируются.

Деформации, исчезающие после снятия нагрузки, называют упругими (рис.22.1,а); деформации, остающиеся в теле после снятия нагрузки – остаточными или пластическими(рисунок 22.1,б).

Рисунок 22.1 – Виды деформаций

Задачи сопротивления материалов

1) Расчет элементов конструкций на прочность

Прочность – способность конструкции выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

2) Расчет элементов конструкций на жесткость

Жесткость – способность конструкции сопротивляться упругим деформациям.

3) Расчет элементов конструкции на устойчивость

Устойчивость – способность конструкции (или отдельного ее элемента) сохранять первоначальную форму упругого равновесия.

Виды элементов конструкций

Брус – это тело, один из размеров которого (длина) значительно больше двух других (рисунок 22.2 , а).

Оболочка – это тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина) значительно меньше двух других размеров (рисунок 22.2, б).

Пластина – тело, ограниченное двумя плоскостями, расстояние между которыми (толщина) значительно меньше двух других размеров (рисунок 22.2, в).

Массив – тело, все три размера которого имеют один порядок (рисунок 22.2, г).

а) б ) в) г)

Рисунок 22.2

Основные допущения

1) О свойствах материалов:

· Материал однороден;

· Материал представляет сплошную среду;

· Материал изотропен;

· Материал обладает идеальной упругостью.

2) О характере деформирования элементов конструкций:

· Принцип начальных размеров: перемещения точек и сечений весьма малы по сравнению с размерами тела;

· Принцип линейной деформируемости тел: перемещения точек и сечений упругого прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения;

· Принцип независимости действия сил: результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности.

Основные виды деформаций. Метод сечений.

Чтобы правильно рассчитать конструкцию на прочность или на жёсткость, необходимо уметь определять внутренние силы по нагрузке. Для этого в сопротивлении материалов широко применяют метод сечений:

Пусть тело находится в равновесии и нагружается внешними силами. Рассечём его плоскостью на две части и и отбросим часть .

Рисунок 23.1

Чтобы сохранить равновесие оставшейся части , заменим действие на неё отброшенной части системой сил, которые являются внутренними для целого бруса и внешними по отношению к отсечённой части.

а) б)

Рисунок 23.2

В результате приведения этой системы сил к центру тяжести сечения получим главный вектор и главный момент .

Если главный вектор и главный момент внутренних сил разложить на ось стержня и главные центральные оси сечения и , то на каждой стороне получим шесть внутренних силовых факторов:

Рисунок 23.3

;

| | |

В.С.Ф.

– продольная сила; , - поперечные силы; - крутящий момент; - изгибающие моменты.

Классификация видов нагружения бруса:

1. В сечении возникает только продольная сила Это деформация растяжения (если сила направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила . В этом случае это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент . В этом случае это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент . В этом случае- это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент и поперечная сила , то изгиб называется поперечным.

Практически метод сечений сводится к выполнению следующих операций:

1) разрезаем брус на две части

2) отбрасываем одну из частей (часть, на которую действует большее число внешних сил или заделку)

3) заменяем действия отброшенной части на оставшуюся шестью внутренними силовыми факторами

4) определяем значения ВСФ из условий равновесия для отсечённой части бруса

5) устанавливаем вид нагружения.

Осевое растяжение (сжатие). Перемещения, деформации, закон Гука

Растяжением (сжатием) называется вид деформации бруса, при котором в любом поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила.

Прямой брус, работающий на растяжение (сжатие), называется стержнем.

Рисунок 24.1

Правило знаков для определения продольной силы: проекции внешних сил на ось бруса, направленных от сечения, положительны, проекции внешних сил на ось бруса, направленных к сечению, отрицательны. Если в результате алгебраического сложения N>0, то продольная сила направлена от сечения и брус испытывает растяжение, если N<0, продольная сила направлена к сечению и брус сжат.

Рисунок 24.2

Напряжения в поперечных сечениях

Нормальное напряжение в любой точке сечения определяется по формуле:

где σ – расчетные нормальные напряжения при растяжении (сжатии), Н/мм²;

N – продольная сила, Н;

А – площадь поперечного сечения, мм².

Размерность: , .

Перемещения и деформации

Рисунок 24.4

Δ𝓁 – абсолютное удлинение, Δd – абсолютное поперечное сужение.

При растяжении бруса его первоначальная длина 𝓁 увеличивается на Δ𝓁, а первоначальный поперечный размер d уменьшается на Δd.

Закон Гука при растяжении (сжатии):

Нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению

σ=Е·ε ,

где Е – модуль упругости (характеризует жесткость материала).

Единицы измерения: [Е]=[Па], [МПа].

Для стали Е=2·10⁵ МПа, для меди технической Е=1,2·10⁵ МПа, для бронзы оловянистой Е=1·10⁵ МПа.

Удлинение (укорочение) бруса определяется по формуле:

Правила построения Э « N » и Э «σ», определение Δ 𝓁 .

Пример 25.1:

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F ₁ =15 кН, F ₂ =10 кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение бруса, приняв Е=2 · 10⁵ МПа, если площади ступеней равны А₁=1,5 см², А₂=2,9 см². Длины ступеней заданы на рисунке в мм.

Решение: