Пример 5. Решить заданное дифференциальное уравнение
Практическое занятие №1
Тема: Математическое описание систем с помощью дифференциальных уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений.
Цель: Получение практических навыков описания систем с помощью дифференциальных уравнений
Исходные теоретические сведения
Подобие описания систем различной природы. Мир технических систем разнообразен. Однако математика и физика выявили простые параллели в этом сложном мире. Можно выделить ряд энергетических доменов, которым принадлежат те или другие системы или их модули. Это электрический, магнитный, термальный, гидравлический, акустический, механический и ротационный домены. Так же существуют два фундаментальных постулата. Первый постулат гласит, что материя не может появиться ни откуда и не может исчезнуть в никуда. Второй постулат утверждает то же самое в отношении энергетического потенциала. Эти постулаты имеют частные формулировки для каждого энергетического домена. Например, для электрического домена это первый и второй законы Кирхгофа. Каждый из энергетических доменов характеризуется двумя физическими величинами первого и второго рода. В случае электрического домена - это электрические ток и напряжение соответственно. Эти парные физические величины, в каждом энергетическом домене, связаны между собой законом Ома в соответствующей формулировке (существуют: электрическое, магнитное, термальное, гидравлическое, акустическое, механическое и ротационное сопротивления). Так же следует отметить, что произведение физических величин первого и второго рода всегда есть мощность.
|
|
|
Представленная система параллелей позволяет понять, что математическое описание процессов движения координат систем принадлежащих разным энергетическим доменам подобно, и может быть предметом изучения одной науки, которая называется "Теория систем автоматического регулирования". Более того, в последние годы, приобретен успешный опыт применения методов этой теории при решении задач управления в экономических, финансовых и других нетехнических системах.
Способы описания систем. Современная теория автоматического управления оперирует преимущественно с моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения модели исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1, а).
|
|
|
Рис.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде "черного ящика"
Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.
1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Входные переменные – это модели внешних сигналов, подразделяемых обычно на две группы:
– воздействия среды, в которой находится система;
– управляющие сигналы.
Переменные первой группы – это возмущения среды, вызванные внешними по отношению к системе управления причинами. Примерами таких возмущений могут быть порывы ветра – для летящего самолета, течение воды – для плывущего корабля, изменение поля тяготения вблизи больших масс небесных тел – для космического корабля и т.д. Если закон изменения такого возмущения известен (например, изменение давления воздуха с высотой полета самолета), то это возмущение можно учесть в виде переменной второй группы.
Переменные второй группы – это так называемые, контролируемые возмущения. Их можно разделить на учтенные возмущения внешней среды и управляющие воздействия. Последние из них являются результатом сравнения выходной информации системы с заданием и выработки управляющего сигнала на коррекцию поведения системы на основе результатов сравнения .
|
|
|
Входные переменные характеризуются вектором входа.
,
где s − число входов.
2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия и возмущения внешней среды. Представляются вектором выхода
,
где m − число выходов.
3. Промежуточные (внутренние) переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, − переменные состояния, представляются вектором
,
где n − число переменных состояния.
Совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа U, совокупность выходов как вектор Y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, – как вектор состояния X (см. рис. 1.26, б).
Собственно система, ее входы и выходы − это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.
В качестве математических средств описания и исследования систем управления используются:
− дифференциальные уравнения;
|
|
|
− преобразование Лапласа;
− преобразование Фурье.
Описание многомерных систем обычно достаточно сложно и связано с большим объемом вычислений, поэтому при дальнейшем рассмотрении систем управления мы ограничимся элементами, а затем и системами с одним входом и одним выходом. При этом в качестве элементов систем будем рассматривать электрические схемы. Правомерность такого подхода определяется следующими соображениями:
1. Из всех возможных видов систем они для нас наиболее известны.
2. Протекающие в них процессы зависят от одной, наиболее существенной для нас переменной – времени.
3. Уравнения протекающих в них процессов можно линеаризовать.
Поскольку задача математического описания системы состоит в определения соотношения «вход-выход», то мы и рассмотрим ее решение для простейших электрических схем, которые будем рассматривать как элементы для построения систем.
Простейшие элементы линейных систем управления (с одним входом и одним выходом) могут быть описаны одним дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Составив и решив дифференциальное уравнение, описывающее систему, можно определить характер изменения входного сигнала и его значение в любой момент времени.
Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами обычно записывается так:
(1)
Обычно оно дополняется начальными условиями: f(0), f ¢(0),…, f(n-1) (0).
Если 
, то уравнение называется однородным.
Полным решением (1) называется сумма общего решения соответствующего ему однородного линейного уравнения и любого частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка представляется функцией
,
зависящей от n произвольных постоянных 
и обращающей уравнение (1) в тождество при любых значениях этих постоянных.
Получение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка классическим методом производится следующим образом.
При замене 
из однородного уравнения получаем характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1)
. (2)
Если λ1, λ2,…, λn – корни характеристического уравнения (2), то любая функция 
является решением дифференциального уравнения (1). Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка представляет собой сумму следующих функций:
– 
, где λ i – простой действительный корень уравнения (2);
– 
, где λ i – k-кратный действительный корень уравнения (2);
– 
для каждой пары простых комплексно сопряженных корней уравнения (2);
– 
для каждой пары k-кратных комплексно сопряженных корней уравнения (2);
Частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая конкретная функция, являющаяся решением этого уравнения.
Существуют различные методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка, зависящие от вида правой части уравнения (1), т.е. от 
. Наиболее общим методом решения является метод вариации постоянных, состоящий в следующем.
Пусть
есть общее решение однородного уравнения, представляющего собой уравнение (1) с правой нулевой частью. Тогда решение неоднородного уравнения (1) ищется в виде
,
где функции 
определяются из системы
(3)
Работа в аудитории
2.1.Анализ примеров
Пример 1.Составить уравнение электрической системы, представленной на рис.1.
Рис. 1
Решение. На основании законов Ома и Кирхгофа имеем:
;
.
Тогда, выразив 
и подставив из одного уравнения в другое, получим:
.
или окончательно
, где 
.
Ответ: 
, где 
.
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение электрической системы, представленной на рис.2.
Рис. 2
Решение. На основании законов Ома и Кирхгофа имеем:
;
;
Тогда имеем:
Обозначив 
, окончательно получим:
.
Ответ: 
, где 
.
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение электрической системы, представленной на рис.3.
Рис. 3
Решение. На основании законов Ома и Кирхгофа имеем:
; (1)
; (2)
Тогда, продифференцировав второе уравнение, имеем:
Продифференцировав первое уравнение и подставив, второе в первое получим:
.
Окончательно, получим:
,
где 
.
Ответ: 
, где 
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
. (4)
Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
где 
и 
– некоторые произвольные постоянные.
Полное решение уравнения (3) будем искать в виде
. (5)
Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений вида (3)
Решая ее, получим
Теперь можно определить функции 
и 
, интегрируя полученные выражения
где 
и 
- постоянные интегрирования.
Подставляя найденные 
и 
в (5), получим полное решение уравнения (1) в форме (5)
,
Обозначив 
и 
, окончательно получим
.
Пример 5. Решить заданное дифференциальное уравнение
при 
классическим методом и построить график его решения.
Решение.
1) Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения.
Составляем характеристическое уравнение:
Найдем корни данного квадратного уравнения:
,
, 
, 
.
Таким образом, общее решение представим в виде:
,
где 
неизвестные константы, определяемые на основании начальных условий.
2) Найдем частное решение дифференциального уравнения.
Частное решение будем искать в виде:
.
Возьмем первую и вторую производные от частного решения:
.
Подставим производные и само выражение частного решения в исходное дифференциальное уравнение, получим:
.
Приведем подобные и произведем необходимые сокращения:
, или 
.
Таким образом, частное решение представим в виде:
.
3). Найдем полное решение дифференциального уравнения.
.
.
С учетом начальных условий получим:
.
.
Найдем 
:
,
.
Отсюда получаем:
, т.е. 
и, следовательно, 
Таким образом, полное решение уравнения имеет вид:
.
4). Для построения графика найдем точки его начала и конца.
.
.
Найдем несколько промежуточных точек и выстроим график:
, 
, и т.д.
График решения представлено на рис. 4.
Рис. 4.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!