Порядок выполнения отчета по практической работе
Практическое занятие № 3
«Построение логических схем с использованием основных логических элементов»
Цель работы: изучить основы алгебры логики
Образовательные результаты, заявленные в ФГОС:
В результате выполнения работы студент должен:
1) знать:
– определения основных понятий (простое и сложное высказывания, логические операции, логические выражения, логическая функция);
– порядок выполнения логических операций;
– алгоритм построения таблиц истинности;
2) уметь:
– строить таблицы истинности.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Общие теоретические сведения Основные понятия алгебры логики
Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Пример: «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример: предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
|
|
|
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Пример: «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не»,
«и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Пример: высказывание «Число 6 делится на 2» - простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки
«и».
Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.
|
|
|
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пример: Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2»,
а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).
Таблица 1. Основные логические операции
| Обозначение операции | Читается | Название операции | Альтернативные обозначения |
| НЕ | Отрицание (инверсия) | Черта сверху | |
| Ù | И | Конъюнкция (логическое умножение) | ∙ & |
| Ú | ИЛИ | Дизъюнкция (логическое сложение) | + |
| → | Если … то | Импликация | É |
| ↔ | Тогда и только тогда | Эквиваленция | ~ |
| XOR | Либо … либо | Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2) | Å |
НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
|
|
|
Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда А=«Сегодня не пасмурно».
И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой
« · » (может также обозначаться знаками Ù или &). Высказывание А ∙ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» - ложно.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком Ú (или плюсом). Высказывание АÚВ ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» - ложно.
ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
|
|
|
Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.
РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда»,
«необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Пример. Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» - ложно.
ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или Å. Высказывание АÅВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.
Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.
Замечание. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
A→ B= A∨ B .
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
A↔ B=( A∨B )∧(B∨A) .
Исключающее ИЛИ можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
A XOR B= ( A∧B)∨(B&A)
Вывод . Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).
Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.
Пример. F ( A,B )=A&B∨A – логическая функция двух переменных A и B.
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.
Приведем таблицу истинности основных логических операций (табл. 2)
Таблица 2.
| A | B | A | A&B | A∨ B | A→ B | A ↔ B | A XOR B |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Опираясь на данные таблицы истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для более сложных формул.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:
1. Определить количество строк:
– количество строк = 2n + строка для заголовка,
– n - количество простых высказываний.
2. Определить количество столбцов:
количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;
– определить количество переменных (простых выражений);
– определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.
Пример 1. Составить таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: ( A&B) .
1. Определить количество строк:
На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =22+1=5.
2. Определить количество столбцов:
Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 3).
|
Подобным образом можно составить таблицу истинности для формулы ИЛИ–НЕ, которую можно записать так: ( A∨B ) .
|
Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают | ) или «антиконъюнкция»; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция».
Пример 2. Составить таблицу истинности логического выражения
C= A&B∨A& B . Решение:
1. Определить количество строк:
На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк=22+1= 5.
2. Определить количество столбцов:
Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и пяти логических операций (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 7.
Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 5).
Таблица 5. Таблица истинности для логической операции C= A&B∨A& B
| A | B | A | B | A&B | A& B | C |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Задания
1. Составить таблицу истинности логического выражения C. Варианты задания:
| № варианта | C |
| 1. | (( A&B)) ↔( A∨B ) XOR A |
| 2. | ( A&B) ↔(A&B) XOR B |
| 3. | ( A&B) ↔(B → A ) XOR A |
| 4. | ( A∨B ) ↔(A& B ) XOR B |
| 5. | ( A∨ B) ↔( A& B ) XOR B |
| 6. | ( A&B) ↔( A∨B ) XOR A |
| 7. | ( A→ B) ↔( A∨B ) XOR A |
| 8. | (A&B)↔( B→ A ) XOR B |
| 9. | ( A∨ B) ↔ ( B&A ) XOR A |
| 10. | (B&A ) ↔( A→B ) XOR B |
| 11. | (A∨ B )↔ (B&A ) XOR A |
| 12. | (B→ A) ↔( A∨B) XOR B |
| 13. | ( B∨ A) ↔( A→ B ) XOR A |
| 14. | (( A&B)) ↔( A→ B) XOR B |
| 15. | (A→B ) ↔( B&A ) XOR B |
| 16. | (A∨ B )↔ ( B∨ A) XOR A |
| 17. | (( A&B)) ↔( A∨B ) XOR A |
| 18. | ( A&B) ↔(A&B) XOR B |
| 19. | ( A&B) ↔(B → A ) XOR A |
| 20. | ( A∨B ) ↔(A& B ) XOR B |
| 21. | ( A∨ B) ↔( A& B ) XOR B |
| 22. | ( A&B) ↔( A∨B ) XOR A |
| 23. | ( A→ B) ↔( A∨B ) XOR A |
| 24. | (A&B)↔( B→ A ) XOR B |
| 25. | ( A∨ B) ↔ ( B&A ) XOR A |
Контрольные вопросы
1. Что такое высказывание (приведите пример)?
2. Что такое составное высказывание (приведите пример)?
3. Как называются и как обозначаются (в языке математики) следующие операции: ИЛИ, НЕ, И, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЛИБО … ЛИБО?
4. Укажите приоритеты выполнения логических операций.
5. Составьте таблицу истинности для следующих операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
1.Учебно-методическая литература:
1. Архитектура ЭВМ и вычислительные системы : учебник / В.В. Степина. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2017. — 384 с. — (Среднее профессиональное образование).
2. Основы архитектуры, устройство и функционирование вычислительных систем: Учебник / В.В. Степина. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2017. — 288 с. — (Среднее профессиональное образование)
3. Партыка Т.Л. Вычислительная техника : учеб. пособие / Т.Л. Партыка, И.И. Попов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2017. — 445 с. : ил. — (Среднее профессиональное образование).
4. Периферийные устройства вычислительной техники: Учебное пособие / Т.Л. Партыка, И.И. Попов. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 432 с.: ил.; 60x90 1/16. - (Профессиональное образование). (п) ISBN 978-5-91134-594-5
5. Технические средства информатизации: Учебник / Зверева В.П., Назаров А.В. - М.:КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 256 с.: 60x90 1/16. - (Среднее профессиональное образование) (Переплёт 7БЦ) ISBN 978-5-906818-88-1
2. Справочная литература:
1. Новожилов, О. П. Архитектура ЭВМ и систем [Текст]: учеб. пособие. - М.: Юрайт, 2012.- 527 с.
2. Колдаев, В. Д. Архитектура ЭВМ [Текст]: учеб. пособие для ссузов / В. Д. Колдаев, С. А. Лупин. - М.: Инфра-М, 2014.- 384 с.: ил.- (Профессиональное образование).
3. Гребенюк, Е. И. Технические средства информатизации [Текст]: учебник для ссузов / Е. И. Гребенюк, Н. А. Гребенюк. - 6-е изд., перераб. и доп.. - М.: Академия, 2011.- 352 с.- (Среднее профессиональное образование).
Интернет ресурсы:
1. Википедия – Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] – режим доступа: http://ru.wikipedia.org (2001-2017)
2. Нетбуки. Планшеты. Сенсорные телефоны. Мобильные компьютеры. Гаджеты. Обзоры устройств. Технологии [Электронный ресурс] – режим доступа: http://hi-tech.mail.ru (1999-2017)
3. Оперативные новости, обзоры и тестирования компьютеров, видеокарт, процессоров, материнских плат, памяти и принтеров, цифровых фотоаппаратов и видеокамер, смартфонов и планшетов, мониторов и проекторов [Электронный ресурс] – режим доступа: http://www.ixbt.com (1997-2017)
4. Электронно-библиотечная система. [Электронный ресурс] – режим доступа: http://znanium.com/ (2002-2017)
Порядок выполнения отчета по практической работе
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Записать краткий конспект теоретической части.
3. Выполнить предложенное задание согласно варианту.
4. Продемонстрировать результаты выполнения предложенных заданий преподавателю.
5. Записать выводы о проделанной работе.
6. Ответить на контрольные вопросы.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 134; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!