ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 1(продолжение)

Выбор варианта осуществляется по табл. 1. Задачи № 1-10

Для заданного бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений в поперечном сечении бруса, проверить прочность бруса на каждом участке, приняв [σ]_ρ =160МПa

[σ]_c =120 МПa а также определить удлинение (укорочение) бруса, если модуль продольной упругости Е=2 ·10⁵ МПа. Вес бруса не учитывать (рис. 10, табл.7).

Таблица 7

№ задачи	F1	F2	А1	А2
№ задачи	кН	кН	см	см
1	12	30	0,8	1,5
2	22	4	1,4	1,2
3	20	3	1,65	1,4
4	11	29	0,9	1,2
5	19	43	1,55	1,9
6	26	46	2,2	1,7
7	23	4	2,2	1,9
8	15	35	1,3	1,5
9	19	36	1,4	1,7
10	35	10	2,4	2,1

Рис. 10

^ Задачи №№ 31-40

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать сечение балки, составленное из двух швеллеров, если [σ] = 160 МПа (рис. 13, табл. 10).

Таблица 10

№ задачи	F₁	F₂	М
№ задачи	кН	кН	кН·м
31	25	20	15
32	40	25	20
33	30	50	20
34	15	45	30
35	50	60	10
36	65	10	35
37	40	50	30
38	55	15	25
39	60	20	15
40	55	20	15

Рис.13

^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

По выполнению контрольной работы № 1

Приступая к контрольной работе № 2, в которой изучаются в основном способы расчета деталей и конструкций на прочность и жесткость, необходимо повторить из раздела «Статика» методику определения реакций связей и способ определения положения координат центра тяжести плоских сечений.

Изучив соответствующий учебный материал, следует особое внимание обратить на метод сечений для определения внутренних силовых факторов (ВСФ), которые являются причиной потери прочности.

Легко запомнить все пункты метода сечений, если записать их словом «РОЗУ».

Каждая буква этого слова означает содержание определенной операции этого метода (рис. 14):

Р - разрезаем тело плоскостью на две части;

О - отбрасываем одну часть;

3 - заменяем действие отброшенной части внутренними силами;

У - уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

В общем случае нагружения тела внутренние силы, возникающие в поперечном сечении нагруженного бруса, могут быть заменены их статическими эквивалентами - главным вектором и главным моментом. Если последние разложить по осям координат (рис. 14), то получим шесть составляющих с общим названием «внутренние силовые факторы»:

N - продольная сила;

Q_x, Q_y - поперечные силы;

Т_к - крутящий момент;

М_их, М_иу - изгибающие моменты.

Виды ВСФ

N - продольная сила

Q - поперечная сила

М_и - изгибающий момент

Т_к - крутящий момент

Вид нагружения	Внутренние силовые факторы (ВСФ)	Распределение напряжений по поперечному сечению
Растяжение Сжатие
Кручение
Изгиб

Рис. 14

	Геометрическая характеристика прочности сечения (ГХП)	Расчетное напряжение, равное ВСФ/ГХП	Условие прочности
Любая точка сечения	Площадь А
Любая точка контура сечения	Полярный момент сопротивления Wp
Точки контура сечения, максимально удаленные от нейтральной оси	Осевой момент сопротивления W

Шесть внутренних силовых факторов вместе с внешними силами (к внешним силам относятся как активные так и реактивные) на оставшейся части бруса образуют уравновешенную систему сит, для которой можно составить шесть уравнений равновесия. В каждое из этих уравнений входит один из неизвестных внутренних силовых факторов. Решая уравнение найдем:

По виду ВСФ устанавливают вид напряжения, возникающего в точках.

Нормальное напряжение а - следствие возникновения продольной силы N или изгибающих моментов М_их и М_иу; касательные напряжения т - следствие возникновения поперечных сил Q_x и Q_y или крутящего момента Т_к.

Величина напряжения в поперечных сечениях тела зависит не только от величины силовых факторов, но и от размеров поперечного сечения - от соответствующей геометрической характеристики прочности сечения.

Условием прочности при расчете по допускаемому напряжению называется неравенство вида а σ ≤ [σ] или τ ≤ [τ], где [σ] и [τ] - допускаемые напряжения, т.е. максимальные значения напряжений, при которых гарантируется прочность детали (Рис. 14).

где σ_пред - предельное напряжение для материала рассчитываемой детали;

[n] - допускаемый коэффициент запаса прочности детали, зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчета и других факторов.

Задачи №№ 1-10

В конструкциях подвижного состава имеются элементы, работающие на растяжение или сжатие (иногда попеременно растяжение-сжатие). К ним относятся автосцепка, поводок буксы, элементы подвески экипажной части локомотивов, поршень и шток в цилиндре дизеля и др.

Формы и размеры этих элементов конструкций определяются необходимостью обеспечить их прочность при действии растягивающих или сжимающих усилий, возникающих в процессе работы подвижного состава.

К решению задач №№ 1-10 следует приступать после изучения темы 4.2 "Растяжение, сжатие" и внимательного изучения примера 9.

Растяжением (сжатием) называют такое нагружение бруса, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N.

Продольную силу определяем при помощи метода сечений.

Продольная сила N в любом поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставшуюся часть бруса.

Правило знаков: условимся внешние силы, растягивающие брус, считать положительными, а сжимающими его - отрицательными.

По известной продольной силе N и площади поперечного сечения А можно определить напряжения в этом сечении:

Удлинение (укорочение) бруса или отдельных его участков определяется по формуле Гука

Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид

где σ, N - соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном сечении (т.е. в сечении, где возникают наибольшие напряжения);

А - площадь поперечного сечения;

[σ] - допускаемое напряжение, т.е. максимальные значения напряжений, при которых гарантируется прочность детали. Исходя из условия прочности, можно решать три вида задач:

1) проверка прочности;

2.
подбор сечения

3.
определение допускаемой нагрузки [N] ≤ [σ] • А.

Пример 8

Для заданного на рис. 15 бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, проверить прочность на каждом участке, приняв [σ]_р=160 МПа, [σ]_с=120 МПа, а также определить удлинение (укорочение) бруса, если модуль продольной упругости Е=2·10⁵ МПа. Вес бруса не учитывать.

Рис. 15

Решение

1. Разделим брус на участки, границы которых определяются местами изменения поперечных размеров бруса и точками приложения внешних нагрузок.

Рассматриваемый брус имеет три участка.

Для закрепленного одним концом бруса расчет целесообразно вести со свободного конца, чтобы не определять опорной реакции.

2. Применяя метод сечений, определяем продольную силу
N, выражая ее через внешние силы F₁ и F₂.

Проводя в пределах каждого из участков сечение, будем отбрасывать левую закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения правую часть.

На участке I продольная сила равна

N₁=-F₁=-14kH.

На участке II продольная сила равна

N₂= -F₂=-14кН.

Отрицательное значение N показывает, что на участках I и II
- брус сжат. На участке III сила равна

N₃ = -F₁ +F₂= -14 + 40 = 26 кН.

Знак плюс показывает, что брус на III участке растянут.

По полученным из расчета данным строим эпюру N (рис. 15а).

Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию эпюры, откладываем перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значения N. В пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянная, а потому на эпюре изобразится прямой, параллельной базовой. Положительные значения будем откладывать вверх от базовой линии, а отрицательные - вниз. Эпюра штрихуется линиями, перпендикулярными оси бруса.

Эпюра продольных сил представляет собой график, выражающий закон изменения продольной силы во всей длине бруса.

Любая ордината эпюры продольных сил, измеренная в соответствующем масштабе, выражает величину продольной силы в данном поперечном сечении.

3. Для определения напряжений и в любом поперечном сечении значение продольной силы, действующей в данном сечении необходимо разделить на площадь этого сечения:

σ = .

Находим напряжения на каждом участке бруса и строим эпюру:

= = − = −116,7 МПа

= = − = −87,5 МПа

= = − = 162,5 МПа

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений (рис. 156).

При построении эпюр и проверке их правильности следует руководствоваться следующими правилами:

1. Скачки на эпюрах N имеют место в точках приложения сосредоточенных сил. Величина скачка равна внешней силе, приложенной в этом сечении.

2. На эпюре а скачки имеют место не только в точках приложения сосредоточенных сил, но и в местах изменения площади поперечного сечения.

3. Знаки на участках эпюры а должны совпадать со знаками на соответствующих участках эпюры N.

4. Выполняем проверку прочности бруса, т.е. расчетное напряжение (для каждого участка в отдельности) сравниваем с допускаемыми:

σ≤[ σ]

= 116,7 МПа < [σ]_с = 120 МПа

σ₂ = 87,5 МПа < [σ]_с = 120 МПа

σ₃ = 162,5 МПа> [σ]_р = 160 МПа

На участке I имеет место небольшая недогрузка - 2,8%, на участке III - перегрузка составляет 1,5%.

Величины превышений от допускаемых напряжений в пределах 5% в реальном проектировании считаются возможными.

Поэтому на I и на III участках сечение подобраны верно.

На участке II недогрузка составляет 27% - это говорит о том, что сечение на участке II выбрано не экономично, имеет место большой перерасход материала, (>10%).

1. Полное удлинение можно найти, воспользовавшись эпюрой N, представленной на рис. 15а, т.е. полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений его участков:

∆l = ∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃

Определим ∆l₁, ∆l₂, ∆l₃, используя формулу Гука:

∆l₁ = =

∆l₂ = =

∆l₃ = =

∆l = 0,08 0,035 + 0,146 =0,029 мм

Полученный в ответе знак плюс говорит о том, что в целом брус удлинился, т.е. свободный брус переместился, в нашем случае вправо.

Задачи №№ 11-20

Большое число деталей двигателя и передач подвержено действию вращающих моментов, вызывающих в них деформации кручения. Это в первую очередь вал якоря тягового двигателя, коленчатого вала, оси колесных пар, валы зубчатых передач.

Размеры поперечных сечений таких деталей определяются из расчета на прочность и жесткость при кручении.

Задачи №№ 1-10 посвящены этим вопросам. К решению этих задач следует приступить после изучения темы 4.4 «Кручение» и разбора решения примера 9.

Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент Т_к.

С помощью метода сечений величина Т_к может быть выражена через внешние моменты, действующие на брус.

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть:

(имеется в виду, что плоскости действия всех внешних скручивающих моментов М перпендикулярны продольной оси бруса).

Рис. 16

^ Правило знаков при кручении (рис. 16)

Будем считать внешний момент, направленный по ходу часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения на оставшуюся часть), отрицательным, в противном случае внешний момент будем считать положительным.

^ Условия прочности:

где Т_к - крутящий момент, действующий в данном сечении;

W_p - полярный момент сопротивления этого сечения кручению;

[τ] - допускаемое касательное напряжение.

Для круглого сечения

^ Условия жесткости:

где J_p - полярный момент инерции сечения;

G - модуль упругости при сдвиге (для стали G=8·10⁴MПa);

[] - допускаемый угол закручивания сечения.

Для круглого сечения:

Пример 9

Для заданного на рис. 17 вала круглого сечения, постоянного по длине, построить эпюру крутящих моментов и определить диаметр, обеспечивающий его прочность и жесткость, если [τ]=30МПа, []=0,02рад/с, G=8·10⁴МПа.

Решение

Рис. 17

1. Используя метод сечений определим значение крутящего момента на каждом участке.

В ал имеет три участка, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты.

Теперь, по полученным из расчета величинам построим эпюру крутящих моментов. Для этого проведем базовую линию эпюры параллельно оси бруса, и, выбрав произвольный масштаб, отложим значения крутящих моментов в направлении, перпендикулярном базовой линии вверх от нее, если крутящие моменты имеют положительные значения, и вниз от нее, если крутящие моменты имеют отрицательные значения.

Так как в пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным, то эпюра на каждом участке ограничивается прямой параллельной базовой линии.

2. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

Так как диаметр вала одинаков по всей длине, то наибольшие напряжения возникают в сечениях, где действует наибольший крутящий момент

Определяем диаметр вала из условия прочности

Округляя до ближайшего стандартного значения (СТ СЭВ 514-77), получаем d=180 мм

Определяем диаметр вала из условия жесткости

Получаем d=120 мм.

Требуемый размер сечения получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный:

d = 180 мм.

Задачи №№21-40

Наиболее частым видом нагружения является изгиб. На изгиб работают большинство элементов кузова, рамы, передач и экипажной части подвижного состава. Прочность элемента, работающего на изгиб обеспечивается правильным подбором формы и размеров сечения.

Задачи №№ 21-40 следует решать после изучения темы 2.6 "Изгиб" по рекомендуемой литературе [2, гл. VII] и [3, гл. 6] и внимательного разбора примеров 10, 11.

Изгиб - это такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным. Если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Для нахождения опасного сечения строят эпюры Q и М_и.

Изгибающий момент М„ в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на оставшуюся часть, относительно центра тяжести сечения:

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставшуюся часть:

Правило знаков для поперечной силы

Внешние силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, считаем положительными, а силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения против часовой стрелки, считаем отрицательными (рис. 18а).

Правило знаков для изгибающих моментов.

Внешние моменты, изгибающие мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть бруса выпуклостью вниз, считаем положительными, а моменты, изгибающие отсеченную часть бруса выпуклостью вверх (рис. 18б) - отрицательными.

Е сли балку выполняют постоянного по длине поперечного сечения, то ее размеры подбирают только для опасного сечения - сечения с максимальным изгибом по абсолютному значению изгибающим моментом.

Условие прочности для балок, работающих на изгиб имеет вид:

где Wx - осевой момент сопротивления сечения изгибу относительно оси, перпендикулярной плоскости действия М.

4. Пример 11

Для балки (рис. 20) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы F₁=20 кН, F=35 кН, момент М=33 кНм. Подобрать сечение в виде сдвоенного швеллера [σ]=160 МПа.

Решение

В отличие от рассмотренной в предыдущем примере консольной балки расчет для балки опирающейся на две шарнирные опоры следует начать с определения опорных реакций, исходя из условия ее равновесия. Удобно это сделать, составив и решив уравнения: