Объективный (алфавитный) подход к измерению информации

Лабораторная работа №3. Измерение количества информации

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Научиться решать задачи на количественное измерение информационного объема текстовой информации.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

В связи с разными подходами к определению информации выделяют два подхода к измерению информации.

Субъективный (содержательный) подход

При данном подходе информация – это сведения, знания, которые человек получает из различных источников. Таким образом, сообщение информативно (содержит ненулевую информацию), если оно пополняет знания человека.

При субъективном подходе информативность сообщения определяется наличием в нем новых знаний и понятностью для данного человека (определение 1). Разные люди, получившие одно и тоже сообщение, по-разному оценивают количество информации, содержащееся в нем. Это происходит оттого, что знания людей об этих событиях, явлениях до получения сообщения были различными. Сообщение информативно для человека, если оно содержит новые сведения, и неинформативно, если сведения старые, известные. Таким образом, количество информации в сообщении зависит от того, насколько ново это сообщение для получателя и определяется объемом знаний, который несет это сообщение получающему его человеку.

При содержательном подходе возможна качественная оценка информации: достоверность, актуальность, точность, своевременность, полезность, важность, вредность…

С точки зрения информации как новизны мы не можем оценить количество информации, содержащейся в новом открытии, музыкальном стиле, новой теории развития.

Субъективный подход основывается на том, что получение информации, ее увеличение, означает уменьшение незнания или информационной неопределенности (определение 2).

Единица измерения количества информации называется бит (bit – binary digit), что означает двоичный разряд.

Количество информации – это количество бит в сообщении.

Сообщение, уменьшающее информационную неопределенность (неопределенность знаний) в два раза, несет для него 1 бит информации.

Что же такое «информационная неопределенность»?

Информационная неопределенность о некотором событии – это количество возможных результатов события.

Пример_1: Книга лежит на одной из двух полок – верхней или нижней. Сообщение о том, что книга лежит на верхней полке, уменьшает неопределенность ровно вдвое и несет 1 бит информации.

Сообщение о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, несет 1 бит информации.

Пример_2: Нестеров живет на Ленинградской улице. Мы получили сообщение, что номер его дома есть число четное, которое уменьшило неопределенность. После получения такой информации, мы стали знать больше, но информационная неопределенность осталась, хотя и уменьшилась в два раза.

Пример_3: Ваш друг живет в 16-ти этажном доме. Сколько информации содержит сообщение о том, что друг живет на 7 этаже.

Решение: Информационная неопределенность (количество возможных результатов события) равна 16. Будем задавать вопросы, на которые можно ответить только «да» или «нет». Вопрос будем ставить так, чтобы каждый ответ приносил 1 бит информации, т.е. уменьшал информационную неопределенность в два раза.

Задаем вопросы: - Друг живет выше 8-го этажа?

- Нет.

После этого ответа число вариантов уменьшилось в два раза, следовательно, информационная неопределенность уменьшилась в два раза. Получен 1 бит информации.

- Друг живет выше 4-го этажа?

- Да.

Число вариантов уменьшилось еще в два раза, получен еще 1 бит информации.

- Друг живет выше 6-го этажа?

- Да.

После данного ответа осталось два варианта: друг живет или на 7 этаже, или на 8 этаже. Получен еще 1 бит информации.

- Друг живет на 8-м этаже?

- Нет.

- Все ясно. Друг живет на 7-м этаже.

Каждый ответ уменьшал информационную неопределенность в два раза. Всего было задано 4 вопроса. Получено 4 бита информации. Сообщение о том, что друг живет на 7-м этаже 16-ти этажного дома несет 4 бита информации.

Научный подход к оценке сообщений был предложен в 1928 году американским инженером Ральфом Хартли.

Пусть в некотором сообщении содержатся сведения о том, что произошло одно из N равновероятных событий (равновероятность обозначает, что ни одно событие не имеет преимуществ перед другими). Тогда количество информации, заключенное в этом сообщении, - x бит и число N связаны формулой:

2^x = N

где x – количество информации или информативность события (в битах);

N – число равновероятных событий (число возможных выборов).

Данная формула является показательным уравнением относительно неизвестной x. Решая уравнение, получим формулу определения количества информации, содержащемся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, которая имеет вид:

x = log₂N

логарифм от N по основанию 2.

Если N = 2 (выбор из двух возможностей), то x = 1 бит.

Возвращаясь к примеру_3, если воспользоваться формулой для подсчета количества информации в сообщении о том, что друг живет на 7-м этаже 16-ти этажного дома, то x = log₂16 = 4 бита.

Пример_4: Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на июль?

Решение: В году 12 месяцев, следовательно, число равновероятных событий или число возможных выборов N = 12. Тогда количество информации x = log₂12. Чтобы решить это уравнение воспользуемся таблицей логарифмов или калькулятором.

Ответ: x = 3,58496 бита.

Пример_5: При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 8 бит информации. Чему равно N?

Решение: Для того, чтобы найти число, достаточно решить уравнение N=2^x, где x = 8. Поскольку 2⁸ = 256, то N = 256. Следовательно, при угадывании любого целого числа в диапазоне от 1 до 256 получаем 8 бит информации.

Ситуации, при которых точно известно значение N, редки. Попробуйте по такому принципу подсчитать количество информации, полученное при чтении страницы книги. Это сделать невозможно.

Формула для нескольких неравновероятных событий была выведена в 1948 году Клодом Шенноном и названа его именем (формула Шеннона). Она имеет следующий вид:

В этой формуле:

I - количество информации, которое несет сообщение.

N - количество возможных событий.

pi - вероятность отдельного события.

Для расчета вероятности отдельного события (pi) используют следующую формулу:

В этой формуле:

Ni - количество определенных событий.

pi - вероятность отдельного события.

N - количество возможных событий.

Существует формула для расчета количества информации об одном событии из множества:

В этой формуле:

Ii - количество информации об одном событии.

pi - вероятность отдельного события.

Объективный (алфавитный) подход к измерению информации

Теперь познакомимся с другим способом измерения информации. Этот способ не связывает количество информации с содержанием сообщения, и называется объективный или алфавитный подход.

При объективном подходе к измерению информации мы отказываемся от содержания информации, от человеческой важности для кого-то.

Информация рассматривается как последовательность символов, знаков (определение3).

Количество символов в сообщении называется длиной сообщения.

Основой любого языка является алфавит.

Алфавит – это набор знаков (символов), в котором определен их порядок.

Полное число символов алфавита принято называть мощностью алфавита. Обозначим эту величину буквой M.

Например, мощность алфавита из русских букв равна 33:

мощность алфавита из английских букв равна 26.

При алфавитном подходе к измерению информации количество информации от содержания не зависит. Количество информации зависит от объема текста (т.е. от числа знаков в тексте) и от мощности алфавита. Тогда информацию можно обрабатывать, передавать, хранить.

Каждый символ несет x бит информации. Количество информации x, которое несет один символ в тексте, зависит от мощности алфавита M, которые связаны формулой 2x = M. Следовательно x = log2M бит.

Количество информации в тексте, состоящем из K символов, равно K*x или

K* log2M, где x – информационный вес одного символа алфавита.

Удобнее измерять информацию, когда мощность алфавита M равна целой степени числа 2. Для вычислительной системы, работающей с двоичными числами, также более удобно представление чисел в виде степени двойки.

Пример_6, в 2-символьном алфавите каждый символ несет 1 бит информации (2x = 2, откуда x = 1 бит).

Если M=16, то каждый символ несет 4 бита информации, т.к. 24 = 16.

Если M=32, то один символ несет 5 бит информации.

При M=64, один символ «весит» 6 бит и т.д.

Пример_7: Племя “Обезьяны” пишет письма, пользуясь 32-символьным алфавитом. Племя “Слоны” пользуется 64-символьным алфавитом. Вожди племен обменялись письмами. Письмо племени “Обезьяны” содержало 90 символов, а письмо племени “Слоны” – 80 символов. Сравните объем информации, содержащейся в письмах.

Решение: Мощность алфавита племени “Обезьяны” равна 32, информационный вес одного символа алфавита log232 = 5 бит. Количество информации в тексте, состоящем из 90 символов, равно 90*log232 = 450 бит.

Рассуждая аналогично про племя “Слоны”, получим: 80*log264 = 480 бит.

Следовательно, объем информации в письме вождя племени “Слоны” больше объема информации, которую передал в письме вождь племени “Обезьяны”.

Есть алфавит, который можно назвать достаточным. Это алфавит мощностью 256 символов. Алфавит из 256 символов используется для представления текстов в компьютере. В этом алфавите можно поместить практически все необходимые символы: латинские и русские буквы, цифры, знаки арифметических операций, скобки, знаки препинания, знаки псевдографики. Поскольку 256=28, то один символ этого алфавита «весит» 8 бит.

8 бит информации присвоили свое название – байт.

Байт – поле из 8 последовательных бит. Байт широко используется как единица измерения количества информации.

1 байт = 8 бит

Компьютерные текстовые редакторы работают с алфавитом мощности 256 символов. Поскольку в настоящее время при подготовке книг используются текстовые редакторы, легко посчитать объем информации в тексте.

Если один символ алфавита несет 1 байт информации, то надо просто сосчитать число символов, полученное значение даст информационный объем текста в байтах.

В любой системе единиц измерения существуют основные единицы и производные от них.

Для измерения больших объемов информации используются производные от байта единицы:

1 килобайт = 1 Кб = 210 байт = 1024 байта

1 мегабайт = 1 Мб = 210 Кб = 1024 Кб = 1048576 байт

1 гигабайт = 1 Гб = 210 Мб = 1024 Мб = 1048576 Кб = 1073741824 байт

Пример_8: Книга, набранная с использованием текстового редактора, содержит 70 страниц, на каждой странице 38 строк, в каждой строке 56 символов. Определить объем информации, содержащейся в книге.

Решение: Мощность компьютерного алфавита равна 256 символов. Один символ несет 1 байт информации. Значит 1 страница содержит 38*56=2128 байт информации. Объем всей информации в книге 2128*70=148960 байт.

Если оценить объем книги в килобайтах и мегабайтах, то

148960/1024 = 145,46875 Кбайт.

145,46875/1024 = 0,142059 Мбайт.

Алфавитный подход является объективным способом измерения информации в отличие от субъективного, содержательного, подхода. Только алфавитный подход пригоден при использовании технических средств работы с информацией.

Найти источник данных и рассчитать вероятность того что конкретный житель России автолюбитель.

Через поисковую систему находим статистику количества водителей в России: в официальных источниках, прессе, научных исследованиях. Комбинируем слова для поиска: количество водителей в России, статистика и т.д. Аналогично находим число жителей в России. Печатаем скрины с сайтов, либо сохраняем гиперссылку, чтобы можно было продемонстрировать найденные данные. Сохраняем разные варианты поиска.

Вероятность рассчитываем, используя формулу

ЗАДАНИЕ по вариантам

1. В детской игре «Угадай число» первый участник загадывает целое число от 1 до 64. Второй участник задает вопросы: «Загаданное число больше числа ___?». Какое количество вопросов при правильной стратегии гарантирует угадывание?

Предположим, вероятность того, что вы получите за контрольную работу оценку “5”, равна 0,1; вероятность получения “4” равна 0,7; вероятность получения “3” - 0,2. Определите, сколько бит информации будет нести сообщение о результатах контрольной работы в каждом из возможных случаев.

Подсчитайте объем информации, содержащейся в романе А. Дюма "Три мушкетера", и определите, сколько близких по объему произведений можно разместить на одном лазерном диске? (590 стр., 48 строк на одной странице, 53 символа в строке).

Найти источники данных и рассчитать вероятность того что конкретный житель Ульяновска – программист.

Дать качественную оценку сообщению: Сегодня дождливо.

2. Яд находится в одном из 16 бокалов. Сколько единиц информации будет содержать сообщение о бокале с ядом?

В спорткомплексе занимаются 120 штангистов, 230 боксеров, 150 легкоатлетов, 75 баскетболистов. Какое количество информации мы получим, встретив одного из спортсменов?

Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100 процентов, которое записывается при помощи минимального возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем в битах результатов измерения.

Найти источники данных и рассчитать вероятность того что у конкретного человека в США глаза зеленого цвета.

Дать качественную оценку сообщению: Ульяновск – ИТ столица.

3. Проводят две лотереи: «4 из 32» и «5 из 64» Сообщение о результатах какой из лотерей несет больше информации?

Для записи результатов детской игры «Зарница» используется таблица, в каждой клетке которой записано либо количество баллов, полученных командой в соответствующем виде состязаний (1, 2, 3), либо прочерк (если команда в этом виде соревнований не участвовала). В «Зарнице» соревнуются 30 команд в 10 видах соревнований. Какое количество информации в битах содержит таблица?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того что абитуриент УлГТУ поступил на ФИСТ.

Дать качественную оценку сообщению: Ульяновск – ИТ столица.

4. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды в 32 карты достали «даму пик»?

После экзамена по информатике объявляются оценки («2», «3», «4» или «5»). Какое количество информации несет сообщение об оценке учащегося А, который выучил лишь половину билетов, и сообщение об оценке учащегося Б, выучившего все билеты?

В княжестве есть только черные, белые и серые автомобили. Белых автомобилей 18. Сообщение о том, что в аварию попал черный автомобиль, несет 7 бит информации. Сообщение о том, что в аварию попал не серый автомобиль, несет 5 бит информации. Сколько черных автомобилей в княжестве?

Считая, что один символ кодируется одним байтом, подсчитать в байтах количество информации, содержащееся в фразе: «Мой дядя самых честных правил, Когда не в шутку занемог, Он уважать себя заставил И лучше выдумать не мог.».

Найти источники данных и рассчитать вероятность того что абитуриент Ульяновска поступил в УлГТУ.

Дать качественную оценку сообщению: Юпитер вращается вокруг Солнца.

5. Шахматная доска состоит из 64 полей: 8 столбцов и 8 строк. Шашечная доска состоит из 100 полей: 10 столбцов и 10 строк. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования координат одного шахматного поля?

Эллочка-людоедка (в лексиконе которой, как известно, было 30 слов) произносит фразу, состоящую из 50 слов. Какое количество информации в битах сообщает Эллочка?

В воинской части служит 517 рядовых, 28 прапорщиков и 20 офицеров, работает 216 человек обслуживающего персонала. Какое количество информации мы получим, встретив кого-либо на территории части?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того что житель России имеет 2 телефонных номера.

Дать качественную оценку сообщению: Доступность поиска через Интернет создает иллюзию глубоких знаний.

6. Вася и Петя передают друг другу сообщения, используя синий, красный и зеленый фонарики. Это они делают, включая по одному фонарику на одинаково короткое время в некоторой последовательности. Количество вспышек в одном сообщении – 3 или 4. Между сообщениями – паузы. Сколько различных сообщений могут передавать мальчики?

Скорость информационного потока – 20 бит/сек. Сколько времени потребуется для передачи информации объемом в 10 килобайт?

Через AppStore скачано 360250 игр, 208310 обучающих программ, 107430 бизнес-приложений, 65140 утилит. Какое количество информации мы получим, выбрав одно из приложений?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что житель России любит есть картошку.

Дать качественную оценку сообщению: Доступность поиска через Интернет создает иллюзию глубоких знаний.

7. В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15)?

Подсчитать в килобайтах количество информации в тексте, если текст состоит из 600 символов, а мощность используемого алфавита – 128 символов.

В организации используется 620 ПЭВМ, 320 ноутбуков, 350 моноблоков, 40 серверов и 426 смартфонов. Какое количество информации мы получим, выбрав одно из средств вычислительной техники?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что житель России читает более 1 книги в месяц.

Дать качественную оценку сообщению: Павел Дуров окончил филологический факультет СПбГУ с отличием.

8. Для передачи 300 различных сообщений используют 5 последовательных цветовых вспышек. Цветовые лампы включаются на одинаково короткое время в некоторой последовательности. Лампы скольких различных цветов должно использоваться при передаче (минимальное количество)?

Информационное сообщение объемом 6 Кбайт содержит 3072 символа. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было записано это сообщение?

В книжном Интернет-магазине 307000 книг в твердом переплете, 153000 в мягком переплете, 136000 книг на цифровом носителе и 28000 аудиокниг. Какое количество информации мы получим, выбрав одну из книг?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что у человека русый цвет волос.

Дать качественную оценку сообщению: в 2050 году дизельный и бензиновый транспорт будет запрещен.

9. При игре в кости используется кубик с шестью гранями. Сколько бит информации получает игрок при каждом бросании кубика?

Считая, что каждый символ кодируется 7 битами, оцените информационный объём следующего предложения в кодировке КОИ-8 (в байтах): Сегодня метеорологи предсказывали дождь.

В университете учится 5200 бакалавров, 1300 магистрантов, 320 аспирантов, работает 410 преподавателей и 630 человек обслуживающего персонала. Какое количество информации мы получим встретив человека в здании университета?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что у жителя Ульяновской области есть личный автомобиль.

Дать качественную оценку сообщению: В 24 года Элон Маск бросил учебу в высшей школе Университета Стэнфорда, чтобы запустить свой первый бизнес — Zip2 Corporation.

10. Загадали число от 1 до 100. Загадавший человек на все вопросы отвечает «Да» или «Нет». Какое наименьшее количество вопросов нужно задать, чтобы гарантированно угадать число?

Для передачи секретного сообщения используют код, состоящий из десятичных цифр. При этом все цифры кодируются одним и тем же (минимально возможным) количеством бит. Определите информационный объем в битах такого сообщения длиной в 150 символов. 10. Считая, что каждый символ кодируется 16-ю битами, оцените информационный объём следующего предложения в кодировке Unicode (в байтах): Каждый символ кодируется восемью битами.

Автомобиль состоит из 36400 металлических деталей, 11340 из пластика, 9200 резиновых, 86 тканевых деталей. Какое количество информации мы получим, выбрав одну из деталей?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что человек в России регулярно смотрит телевизор.

Дать качественную оценку сообщению: греческие монахи Константин и Мефодий создали славянскую азбуку.

11. Сколько существует различных последовательностей из символов «а» и «б» длиной ровно в 11 символов?

Для хранения растрового изображения размером 128*128 пикселей отвели 4 килобайта памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Население Москвы 12,4 млн человек, Московской области 7,5 млн человек, Санкт-Петербурга 5,3 млн человек, 83 млн. население других городов РФ и 37,8 млн сельское. Какое количество информации мы получим, встретив соотечественника за границей?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретный гражданин РФ является автором изобретения в России.

Дать качественную оценку сообщению: Самым кассовым фильмом за всю историю кинематографа является «Аватар».

12. В зрительном зале две прямоугольные области зрительских кресел: одна 10х12, а другая 17х8. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования каждого места в автоматизированной системе?

На диске объемом 100 Мбайт подготовлена к выдаче на экран дисплея информация: 24 строчки по 80 символов, эта информация заполняет экран целиком. Какую часть диска она занимает?

В базе кинопоиска 29142 фильмов жанра драма, 16461 комедий, 10317 триллеров, 6347 ужасов, 5471 приключения, 3691 фантастика, 2286 документальных, 2159 мультфильм. Какое количество информации мы получим выбрав конкретный фильм из базы?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретный житель России регулярно занимается физкультурой.

Дать качественную оценку сообщению: роботизация вскоре сделает безработными всех занятых низкоквалифицированным трудом.

13. В библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил читателю, что нужная ему книга находится на пятом стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации библиотекарь передал читателю?

В велокроссе участвуют 119 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем в битах сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 70 велосипедистов?

На пришкольной территории растут 25 тополей, 43 липы, 72 березы, 16 рябин. Какое количество информации мы получим выбрав конкретное дерево?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретное дерево в России - береза.

Дать качественную оценку сообщению: Предприниматель из Ульяновска Антон Белов основатель компании Mobirate, входит в число самых молодых миллионеров России.

14. В коробке лежат 7 цветных карандашей. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали красный карандаш?

Измерьте информационный объем сообщения «Ура! Скоро Новый год!» в битах, байтах, килобайтах (Кб), мегабайтах (Мб).

В алфавите формального (искусственного) языка всего два знака-буквы («0» и «Х»). Каждое слово этого языка состоит всегда из пяти букв. Какое максимальное число слов возможно в этом языке?

В программном проекте выявлено 43 ошибки в интерфейсе, 17 ошибок с распределением памяти, 12 ошибок в требованиях, 46 в документации, 16 в логике. Какое количество информации мы получим выбрав какую-либо ошибку?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретный ИСЗ является Российским.

Дать качественную оценку сообщению: В 2012 году количество смартфонов в мире превысило миллиард штук.

15. Репетиционный экзамен в школе сдают 125 человек. Каждому из них выделяют специальный номер. При регистрации участника для записи его номера используют минимально возможное количество бит, одинаковое для каждого участника. Каков объем информации в битах, записанный устройством, после регистрации 60 участников?

Сообщение занимает 3 страницы по 25 строк. В каждой строке записано по 60 символов. Сколько символов в использованном алфавите, если все сообщение содержит 1125 байтов?

Среди покупок через Интернет из России 42 млн единиц составляет электроника и техника, 13 млн одежда и обувь, 10 млн автозапчасти, 6 млн. товары для дома и мебель, 4 млн товары для детей, 3 млн косметика, 2 млн книги и диски, 2 млн продукты питания. Какое количество информации мы получим выбрав какую-либо покупку?

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретный житель Ульяновска живет на 7 этаже.

Дать качественную оценку сообщению: В 11 странах свыше 90% жителей имеют доступ к Интернет.

16. Алфавит племени содержит всего 8 букв. Какое количество информации несет одна буква этого алфавита?

Юстасу необходимо передать следующее сообщение: «Дорогой Алекс! От всей души поздравляю с успешной сдачей экзамена по ТОИ. Желаю дальнейших успехов. Ваш Юстас». Пеленгатор определяет место передачи, если она длится не менее 3 минут. С какой скоростью (бит/с) Юстас должен передавать радиограмму? Имеется тест, объем которого 20 килобайт (на каждой странице теста 40 строк по 64 символа в строке, 1 символ занимает 8 бит). Определить количество страниц в тесте.

Найти источники данных и рассчитать вероятность того, что конкретный человек в России носит одежду красного цвета.

Дать качественную оценку сообщению: Количество извилин головного мозга у дельфина в два раза больше чем у человека.

3.4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Понятие информации.

2. Подходы к измерению количества информации.

3. Формулы расчета количества информации.

4. Физический смысл единиц измерения информации.

Для тех, у кого номер по списку больше 16 номер варианта определяется как остаток от деления по модулю 16 плюс 1, приведено в таблице:

№ варианта	№ по списку	№ по списку
1	1	17
2	2	18
3	3	19
4	4	20
5	5	21
6	6	22
7	7	23
8	8	24
9	9	25
10	10	26
11	11	27
12	12	28
13	13	29
14	14	30
15	15	31
16	16	32

Примечание:

Работа оформляется письменно с титульным листом.

Должно быть приведено пошаговое решение задач.

При сдаче необходимо устно ответить на контрольные вопросы.

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 756; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!