Определение устойчивости по критерию Гурвица

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство образования

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к выполнению практической работы

по дисциплине ,,Теория автоматического управления”

для студентов специальности 210100 всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2007

ВВЕДЕНИЕ

Одна из основных задач теории автоматического управления - это определение устойчивости системы. Только устойчивая САУ может выполнять возложенные на нее задачи.

Под устойчивостью понимают способность системы самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и снятия всех возмущающих воздействий.

В зависимости от характера переходного процесса линейной системы различают три основных случая поведения системы после возмущающего воздействия:

1) система не может восстановить равновесное состояние, значение управляемой переменной (выходной величины) все больше отклоняется от заданного; такой процесс называется расходящимся, а система - неустойчивой;

2) система возвращается в равновесное состояние, значение управляемой переменной отличается от заданного на величину статической ошибки, такой процесс называется сходящимся, а система - устойчивой;

3) система характеризуется установившимся периодическим движением, такой процесс называется колебательным, а система будет находиться на границе асимптотической устойчивости.

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями, то ее устойчивость не зависит от величины и вида возмущения, а зависит только от знака вещественной части корней характеристического уравнения.

Согласно теории устойчивости Ляпунова, если все корни характеристического уравнения отрицательны, то система устойчива. Если хотя бы один корень положителен, то система не устойчива.

Определение знаков корней характеристического уравнения 4-го и более высокого порядка путем его решения затруднительно, поэтому применяются косвенные методы анализа, или критерии устойчивости, которые позволяют определить знаки корней характеристического уравнения без решения этого уравнения.

Цель работы: научиться определять устойчивость по алгебраическим критериям Рауса, Гурвица, по частотному критерию Михайлова.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения. Система устойчивая при малых возмущениях будет устойчивой и при больших возмущениях, поэтому достаточно исследовать и определить устойчивость в малом, т.е. найти устойчивость на основе анализа уравнения, записанного в форме приращений. Допустим, что в установившемся состоянии регулируемая величина имеет некоторое значение x₀. Выведем систему из этого состояния при помощи какого-либо воздействия так, чтобы x₀ изменилась на . И после этого устраним причину, вызвавшую это изменение, тогда система будет устойчивой, если будет выполняться условие: .

В случае невыполнения этого условия система будет неустойчивой. Допустим, что изменение регулируемой величины в процессе регулирования описывается линейным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами, тогда отклонение также будет описываться дифференциальным уравнением этого порядка. Интегрируя полученное уравнение, находят закон изменения интересующей переменной по времени, согласно которому можно сделать заключение о характере переходного процесса (устойчивый, неустойчивый). Устойчивость системы определяют характером свободного движения системы, т.к. свободное движение системы описывается однородным дифференциальным уравнением (без правой части), то для нахождения условий устойчивости достаточно исследовать свойства решения однородного дифференциального уравнения. В общем случае для системы n-го порядка имеем дифференциальное уравнение, которое описывает поведение отклонения регулируемой величины:

где а₀, а₁, а_n- постоянные коэффициенты, величина которых зависит от параметров САУ.

Решение может быть представлено в виде: = , где A_i- постоянная интегрирования, определяется из начальных условий; - корни, характеризующие свободное движение и определяемые из характеристического уравнения: .

Исследуем характеристическое уравнение с точки зрения устойчивости системы. Согласно определению для устойчивости системы необходимо, чтобы отклонение при t , а это возможно только тогда, когда все составляющие уравнения с течением времени стремятся к 0. Поскольку все A_i=const, то, следовательно, характер поведения каждой составляющей зависит от . Если - положительное, вещественное число, то составляющая будет увеличиваться до бесконечности. При отрицательных вещественных корнях составляющая свободного движения при t монотонно убывает до 0.

Определение устойчивости по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны.По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а₁, а₂, а₃, ... ,а_n ), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.

Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а₃вверх записываются а₄, а₅ (индекс возрастает), а вниз - а₂, а₁, а₀. На остальные оставшиеся места вписываются нули.

Для проверки правильности заполнения определителя Гурвица необходимо учесть, что по строкам чередуются коэффициенты с нечётными и чётными индексами. Так первая строка - нечётные а₁ а₃ а₅ а₇..., вторая строка - четные а₀а₂ а₄ а₆ и т.д.

Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний определитель обычно не рассчитывается. В данном случае . Если выполняется первое необходимое условие устойчивости (все а>0), то при >0 всегда положителен.

Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а₆=0 >0 неравенства принимают вид:

Если необходимо определить устойчивость системы четвертого порядка, то неравенства принимают вид:

Для устойчивости системы третьего порядка достаточно

Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:

Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.

2. Составляется определитель Гурвица

Определяют значения миноров согласно неравенствам:

Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Для устойчивости систем необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Таблица Рауса составляется по правилам:

а) в первой строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а_0,а_2,а₄ ….;

б) во второй строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а_1,а_3,а₅ ….;

в) коэффициенты третьей строки таблицы Рауса вычисляются по формулам: