Спектральное представление случайных процессов.
Если , то можно вместо корреляционной функции использовать ее изображение – спектральную плотность.
Удобства спектральной плотности в том, что формулы описания преобразования случайных процессов упрощаются, и вместо интегрирования появляется операция умножения.
Спектральная плотность может быть введена и для нестационарных процессов, но наибольшую практическую значимость имеет описание стационарных процессов.
Спектральная плотность это изображение оригинала:
;
обратное преобразование:
;
Свойства спектральной плотности:
1. ;
2. - это условие для некоторых процессов (искусственно придуманных математиками например «белый шум» ), не подходит;
3. - дисперсия;
4. - для действительных функций;
5. ;
обычно спектральную плотность удваивают за счет симметричности для w>0;
6. Взаимно корреляционная функция имеет изображением взаимную спектральную плотность:
;
.
Пример:
Задано:
;
Находим спектральную плотность:
;
Белый шум.
С точки зрения физики таких процессов не бывает, но с точки зрения математики это удобно.
Белый шум имеет спектральную плотность: ;
- интенсивность белого шума
- подчеркивает что число положительное
Белый шум – это процесс, у которого спектральная плотность не зависит от частоты,
дисперсия равна бесконечности, а корреляционная функция: если , то
,
.
Многие формулы(в разных книгах) верны с точностью до коэффициента 2 и 4 2 , для решений практических задач это обычно не имеет значения.
|
|
Белым шумом можно назвать процесс имеющий постоянную спектральную плотность и этот процесс действует на систему у которой полоса пропускания гораздо меньше полосы действия сигнала.То есть реальную S(w) ,заменяем на S(w) (математическая абстракция)
Связь между спектральными плотностями случайных сигналов в линейной системе с импульсно переходной функцией k( )
;
Мы рассматриваем здесь все для стационарных систем.
x(t) y(t)
Выходной сигнал: ;
Математическое ожидание выходного сигнала: ;
Вычитаем:
Обозначаем:
;
;
тогда:
вычисляем математическое ожидания от обоих частей полученного выражения:
;
;
Домножаем:
;
вычисляем интеграл от обеих частей:
Пример:
Есть система:
На вход системы действует «белый шум»:ξ(t). Найти характеристики процесса y(t) на выходе системы.
|
|
Корреляционная функция «белого шума»:
;
- известное число
Спектральная плотность выходного сигнала:
|
|
;
Обозначения:
Имеем:
;
или
;
Прохождение случайных процессов в линейной системе, оценка ошибок.
Структура системы задана. Передаточная функция разомкнутой системы: W(S) - известна
U(t) – Изменяемый(входной, полезный) сигнал. Желательно чтобы U(t) преобразовывалось системной с передаточной функцией: H(s). (Известна : Su(ω))
Желательно чтобы n(t) преобразовывалась системой с передаточной функцией: 0.
n(t) – помеха.
h(t) – идеальный выходной сигнал.
y(t) – реальный выходной сигнал.
- ошибка(из-за помехи n(t) и искажения полезного сигнала u(t) реальной системой )
Запишем ошибку в области изображений(легче всего):
;
Спектральная плотность ошибки (как выходного сигнала) тогда будет:
;
где: - передаточная функция замкнутой системы (от u(t) и n(t) до y(t))
здесь они одинаковы.
Тогда дисперсия ошибки в работе системы:
;
Знание: позволяет оценить диапазон, в котором будет находиться ошибка: (строго это для гауссовых процессов). Обычно(но не всегда):
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!