Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.
Теорема.Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и 
— любая первообразная для 
на 
. Тогда определенный интеграл от функции 
на 
равен приращению первообразной 
на этом отрезке, т.е.
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную 
для подынтегральной функции 
; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.
Теорема. Пусть функция 
имеет непрерывную производную на отрезке 
, 
, 
и функция 
непрерывна в каждой точке 
вида 
, где 
.
Тогда справедливо следующее равенство
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на отрезке 
. Тогда
где 
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
Пусть функция 
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь 
под кривой 
на 
численно равна определенному интегралу 
, т.е. 
.
Теорема. Пусть на отрезке 
заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
. Тогда площадь 
фигуры, заключенной между кривыми 
и 
, на отрезке 
вычисляется по формуле
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 172; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!