Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.
Теорема.Пусть функция непрерывна на отрезке и — любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.
Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .
Тогда справедливо следующее равенство
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
где .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .
|
|
Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 169; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!