Задания для самостоятельной работы
2.4.1 Компания R&M производит краску для внутренних и наружных работ из сырья 2-х типов: М1 и М2. Доход от реализации краски для внутренних работ составляет 5000 руб./т, краски для наружных работ – 4000 руб./т. Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т (из-за отсутствия надлежащего спроса), а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ не превышало более чем на 1 т ежедневный объём производства краски для наружных работ.
Требуется определить оптимальное соотношение между видами выпускаемой продукции для получения максимального ежедневного дохода. Варианты исходных данных и ограничений представлены в таблице 2.2.
Таблица 2.2 – Варианты исходных данных
| Варианты | Вид сырья | Расход сырья | |||
| на 1 т краски для наружных работ | на 1 т краски для внутренних работ | максимальный ежедневный | |||
| 1, 5, 9, | Сырьё М1, т | 6 | 4 | от 3 до 6 | |
| Сырьё М2, т | 1 | 2 | 6 | ||
| 2, 6, 10, | Сырьё М1, т | 6 | 4 | 24 | |
| Сырьё М2, т | 1 | 2 | 6 | ||
| Ежедневный объём производства краски для внутренних работ не может быть меньше ежедневного объёма производства краски для наружных работ. | |||||
| 3, 7, 11, | Сырьё М1, т | 6 | 4 | 24 | |
| Сырьё М2, т | 1 | 2 | 6 | ||
| Минимальный ежедневный общий объём производства краски обоих типов составляет 3 т.
| |||||
| 4, 8, 12, | Сырьё М1, т | 6 | 4 | 24 | |
| Сырьё М2, т | 1 | 2 | 6 | ||
| Отношение ежедневного объёма производства краски для внутренних работ к общему объёму производства краски обоих типов не должно превышать 0,5. | |||||
2.4.2 Решить одну из представленных ниже задач линейного программирования графо-аналитическим методом.
Вариант №1. При изготовлении изделий И1 и И2 используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется 400 и 170 станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 19 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется 248, 200, 20 и 17 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 646 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 12 руб., от единицы изделия И2 – 16 руб. Требуется определить структуру производства, обеспечивающую максимальную прибыль.
Вариант №2. Студент-вечерник собирается устроиться на завод на сокращённый рабочий день со сдельной оплатой. Его работа будет заключаться в обслуживании двух станков, причём на каждые 3 часа работы на первом станке будет приходиться не больше 5 часов работы на втором; кроме того, мастер участка требует, чтобы на втором станке он работал не менее 2-х часов в день. Оплата за час работы составляет соответственно 80 и 96 руб. Студенту необходимо зарабатывать не меньше 7,2 тыс. руб. в месяц (при 20 рабочих днях), однако он не может выделить для этой работы больше 6 часов в день. Сколько часов в день нужно работать студенту, чтобы суммарное время работы было минимальным? Сколько часов при этом он потратит на обслуживание 1-го станка? Сколько денег он заработает при выбранном графике работы?
|
|
|
Вариант №3. В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых пиломатериалов, необходимо израсходовать 5 м3 еловых и 3 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления листов фанеры по 100 м2 требуется 4 м3 еловых и 6 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 160 м3 еловых и 150 м3 пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести не менее 8 м3 пиломатериалов и 1400 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 200 руб., а со 100 м2 фанеры – вдвое больше. Требуется Составить план производства, обеспечивающий максимальный доход.
|
|
|
Вариант №4. Компания имеет возможность рекламировать свою продукцию по местному радио и телевидению. Бюджет на рекламу ограничен суммой 10500 долларов в месяц. Одна минута рекламного времени на радио стоит 25, а на телевидении – 300 долларов. Компания предполагает, что реклама на радио по времени должна превышать рекламу на телевидении не менее чем в два раза. Вместе с тем, известно, что нерационально использовать более 200 минут рекламы на радио в месяц. Последние исследования показали, что реклама на телевидении в 25 раз эффективнее рекламы на радио. Требуется разработать оптимальный бюджет рекламы исходя из условия достижения максимального эффекта.
Вариант №5. Для выработки электрического тока электростанция использует уголь. Агентство по защите окружающей среды установило следующие ограничения: концентрация выбрасываемого в воздух сернистого газа не должна превышать 0,002, количество выбрасываемых аэрозольных частиц не должно превышать 3 кг в час. Электростанция для генерации электрического тока использует пылевидный уголь двух сортов, С1 и С2. Перед сжиганием эти сорта угля смешиваются. Характеристика используемых сортов угля приведена в таблице. Требуется найти оптимальный состав смеси угля обоих сортов (долю угля С1 и долю угля С2), позволяющей произвести максимальное количество пара.
|
|
|
| Сорт угля | Концентрация серы, % | Количество выделяемых аэрозольных частиц, кг/час | Количество вырабатываемого пара, кг/час |
| С1 | 0,12 | 4 | 12000 |
| С2 | 0,21 | 1,5 | 9000 |
Вариант №6. Конвейер состоит из трёх последовательных линий для сборки двух видов радиоприёмников: HiFi-1 и HiFi-2. Время, необходимое для сборки одного приёмника на каждой линии, приведено в таблице. Ежедневные профилактические работы на соответствующих линиях составляют 10, 20 и 12,5 % от всего рабочего времени, которое для каждой линии не превышает 480 минут в смену. Требуется определить структуру выпускаемой продукции, при которой минимизируется время простоя всех трёх линий.
| Сборочная линия | Количество минут, затрачиваемых на сборку одного изделия | |
| HiFi-1 | HiFi-2 | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Вариант №7. С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице. Требуется найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.
| Характеристики парка вагонов | Тип вагона | ||||
| Багажный | Почтовый | Плацкартный | Купейный | Мягкий | |
| Число вагонов в поезде, шт. - курьерском - скором | 1 1 | – 1 | 5 8 | 8 5 | 3 1 |
| Вместимость вагонов, чел. | – | – | 58 | 40 | 32 |
| Наличный парк вагонов, шт. | 12 | 8 | 81 | 80 | 27 |
Вариант №8. Фармацевтическая фирма производит не менее 800 кг пищевой добавки – смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в таблице. Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30 % белка и не более 5 % клетчатки. Требуется определить рецептуру смеси минимальной стоимости с учётом требований диетологов.
| Мука | Белок | Клетчатка | Стоимость, |
| в кг на кг муки | |||
| кукурузная | 0,09 | 0,02 | 0,3 |
| соевая | 0,6 | 0,06 | 0,9 |
Вариант №9. Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны 2 варианта раскроя ткани. В таблице приведены характеристики вариантов раскроя 10 м2 ткани и комплектность, т. е. количество деталей определённого вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас для пошива изделий данного типа составляет 205 м2. В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий.
Необходимо построить математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.
| Вариант раскроя | Количество деталей, шт./отрез | Отходы, м2/отрез | ||||
| 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 | 45 | 0 | 10 | 30 | 90 | 0,05 |
| 2 | 6 | 60 | 36 | 20 | 0 | 0,25 |
| Комплектность, шт./изделие | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
Вариант №10. Компания производит два вида продукции, А и В. Объём продаж продукта А составляет не менее 80 % от общего объёма продаж продуктов А и В. Вместе с тем, компания не может производить более 100 единиц продукта А в день. Для производства этих продуктов используется одно и то же сырьё, поступление которого ограничено 240 кг в день. На изготовление единицы продукта А расходуется 2 кг сырья, а единицы продукта В – 4 кг. Цена единицы продуктов А и В составляет соответственно 200 и 500 руб. Требуется найти оптимальную структуру производства компании с целью получения максимальной прибыли.
Вариант №11. Инструментальное производство должно изготовить два вида токарных резцов: проходные и отрезные. На складе инструментального производства имеются 15 кг порошкового сплава ВК6М для изготовления твердосплавных пластин и 120 м прутка для изготовления корпусов. Из этих материалов можно изготовить проходные и отрезные токарные резцы по цене соответственно 270 и 90 руб. На данный момент потребность в проходных резцах не превышает 400 шт.; кроме того, известно, что спрос на проходные резцы превышает спрос на отрезные, но не более чем в два раза. Требуется сформировать план производства обоих видов инструмента, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
| Материал | Нормы расхода материалов на один резец | |
| отрезной | проходной | |
| Сплав ВК6М (порошок), г | 15 | 25 |
| Пруток из стали 45, мм | 200 | 80 |
Вариант №12. Завод может приобрести не более 30 каров, в том числе не более 8 каров грузоподъёмностью 3 т, остальные кары – грузоподъёмностью 1 т. На покупку каров завод может выделить не более 7,68 млн. руб. Сколько каров должен купить завод, чтобы их суммарная грузоподъёмность оказалась максимальной? Кар грузоподъёмностью 1 т. стоит 160 тыс. руб., кар грузоподъёмностью 3 т. стоит 640 тыс. руб.
Вариант №13. Завод производит два типа электрических двигателей, каждый на отдельной сборочной линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 двигателей в день. Двигатель 1-го типа использует 10 единиц некоего комплектующего, а двигатель 2-го типа – 8 единиц этого же компонента. Поставщик может обеспечить на день 8000 единиц этих деталей. Доходность изготовления двигателя 1-го типа составляет 6000, а второго – 4000 руб. Требуется определить оптимальную структуру ежедневного производства двигателей.
Вариант №14. Магазин продаёт два вида велосипедов: для взрослых и для детей. Доход от одного взрослого велосипеда составляет 700 руб., от одного детского – 500 руб. В среднем магазин за месяц продаёт не более 50 велосипедов обоих видов. Менеджеры подсчитали, что продажи велосипедов для взрослых больше чем в два раза превышают продажи велосипедов для детей. Известно также, что в месяц продаётся не менее 10 детских велосипедов. Требуется определить сколько велосипедов обоих видов должен заказать магазин на начало месяца для получения максимального дохода.
Вариант №15. Магазин продаёт два вида детских колясок: обычные прогулочные и трансформеры. Доход от одной коляски-трансформера составляет 1400 руб., от обычной коляски – 1000 руб. В среднем магазин за месяц продаёт не более 45 колясок обоих видов. Менеджеры подсчитали, что на каждую проданную обычную коляску приходится не более двух колясок-трансформеров. Известно также, что в месяц продаётся не менее 12 обычных колясок. Требуется определить сколько колясок обоих видов должен заказать магазин на начало месяца для получения максимального дохода.
Вариант №16. Мебельная фабрика для сборки столов и стульев привлекает к работе на 10 дней четырёх столяров. Каждый столяр тратит 2 часа на сборку стола и 30 минут – на сборку стула. Покупатели обычно приобретают вместе со столом от 4 до 6 стульев. Доход от одного стола составляет 540 руб., и 250 руб. – от одного стула. На фабрике установлен 8-часовой рабочий день. Требуется определить структуру производства, которая позволяла бы получить наибольший доход.
Вариант №17. Мебельная фабрика изготавливает из готовых комплектующих два вида шкафов: обычные и дорогие. Обычный шкаф покрывается белой краской, а дорогой – лаком. Покраска и покрытие лаком производятся на одном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собирать не более 200 обычных шкафов и 150 дорогих. Лакирование одного шкафа требует вдвое больше времени, чем покраска. Если покрасочный участок занят только лакированием дорогих шкафов, то за день можно изготовить 180 таких шкафов. Фабрика оценивает доход от обычных и дорогих кухонных шкафов в 1000 и 1400 руб. соответственно. Требуется составить оптимальное расписание ежедневной работы участка.
Вариант №18. Фабрика производит два вида машинок для стрижки газонов. Производство машинок первого вида требует вдвое больше времени, чем производство машинок второго вида. Если фабрика будет производить только машинки второго вида, то она сможет изготавливать их в количестве 400 шт. в день. Рынок налагает ограничения на производство машинок: не более 150 машинок первого и 200 машинок второго типа. Доход от производства машинок составляет 800 руб. на производство первого и 500 руб. на производство второго вида. Требуется определить ежедневное производство машинок обоих видов для получения максимального дохода.
Вариант №19. Компания производит два продукта. Производство каждого продукта состоит из последовательного выполнения трёх процессов, каждый из которых производится на отдельном участке. Данные по этим продуктам и процессам приведены в таблице. Рабочее время 1 и 2 участка составляет 9 часов в день, 3-го – не менее 6 часов. Требуется определить оптимальную с точки зрения получения прибыли структуру производства.
| Продукт | Количество минут выполнения процесса на единицу продукта | Доход на единицу продукта, руб. | ||
| Процесс 1 | Процесс 2 | Процесс 3 | ||
| А | 4 | 8 | 4 | 360 |
| В | 8 | 6 | 5 | 450 |
Вариант №20. Швейная фабрика производит мужские сорочки и женские блузки и продаёт их в своём фирменном магазине. Производство изделия состоит из раскроя, пошива и пакетирования готового изделия. На участке раскроя работают 25 человек, на пошиве изделий – 35 человек, пакетируют готовые изделия 5 человек. Фабрика работает в одну смену (8 часов) 5 дней в неделю. Трудозатраты на выпускаемые фабрикой изделия и доход от них показаны в таблице. Требуется определить оптимальную структуру ежедневного производства, предполагая, что спрос на изделия не ограничен.
| Изделие | Количество минут выполнения процесса | Доход на изделие, руб. | ||
| Раскрой | Пошив | Пакетирование | ||
| Рубашка | 20 | 70 | 12 | 80 |
| Блузка | 60 | 60 | 4 | 120 |
Вариант №21. Завод бытовой химии производит два вида чистящих средств, А и В, используя при этом сырьё 1 и сырьё 2. Для производства чистящих средств ежедневно имеется 150 единиц сырья каждого вида. На получение одной единицы средства А используется 0,5 единиц сырья 1 и 0,6 единиц сырья 2. На производство одной единицы средства В используется 0,5 единицы сырья 1 и 0,4 единиц сырья 2. Доход на единицу средства А и В составляет соответственно 100 и 80 руб. Ежедневное производство средства А должно быть не менее 30 и не более 180 единиц. Для производства средства В аналогичные ограничения составляют 40 и 200 единиц. Требуется определить оптимальную структуру выпуска чистящих средств.
Вариант №22. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П1 и П2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 единицы продукта П1 – 2,5 руб., П2 – 3 руб. Требуется определить оптимальную структуру питания, имеющего минимальную стоимость и обеспечивающего при этом необходимое количество питательных веществ для организма.
Вариант №23. Завод производит два вида ленточных транспортёров – наклонные и горизонтальные. Производство наклонных транспортёров требует вдвое больше времени, чем производство горизонтальных. Если фабрика будет производить только горизонтальные транспортёры, то она сможет изготавливать их в количестве 400 шт. в день. Рынок налагает ограничения на производство транспортёров: не более 150 наклонных и не более 200 горизонтальных. Доход от производства составляет 800 руб. на производство наклонных и 500 руб. на производство горизонтальных транспортёров. Требуется определить ежедневное производство транспортёров обоих видов для получения максимального дохода.
Вариант №24. Предприятие производит два вида изделий – А и В, каждое из которых проходит три этапа производства: получение заготовок, механическую обработку и сборку. При этом цена изделия А составляет 3 тыс. руб., изделия В – 15 тыс. руб. Известно время, которое требуется каждому из подразделений на выпуск изделий (Т1 – для заготовительного подразделения, Т2 – для механообрабатывающего, Т3 – для сборочного), см. таблицу 1. Все подразделения работают в 2 смены по 8 часов, количество рабочих дней в году равно 250.
Требуется построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество изделий каждого вида нужно производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
| Изделие | Затраты времени на изготовление | Цена | Спрос на | ||
| Т1 | Т2 | Т3 | |||
| А | 2 | 1 | 1,6 | 3 | 1,75 |
| В | 2 | 4 | 3,2 | 15 | 1 |
Контрольные вопросы
1) Какие основные элементы включает в себя задача математического программирования?
2) В чём характерная особенность задач линейного программирования?
3) Что такое целевая функция?
4) Какие исходные данные необходимы для решения задачи линейного программирования?
5) Может ли задача иметь более одного допустимого решения? Более одного оптимального решения?
6) В чём преимущество графо-аналитического метода решения задач линейного программирования?
7) С какой целью строится вектор градиентного направления целевой функции?
8) Можно ли графо-аналитически решить задачу с более чем двумя неизвестными?
3 Расчёты с использованием
теории массового обслуживания
Цель работы – освоить некоторые классические задачи теории массового обслуживания.
Введение
Теория массового обслуживания (ТМО) составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели. Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены в период между 1908 и 1922 годами сотрудником Копенгагенской телефонной компании, учёным Агнером Эрлангом (1878-1929) – датским математиком, статистиком и инженером, основателем научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания. Перед Эрлангом стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.
Теорию массового обслуживания иногда называют теорией очередей. Появление очередей возможно не только при обслуживании в магазинах или в работе телефонной станции, но имеются очень частые случаи возникновения очередей в производственных условиях. Так, детали скапливаются перед станком в ожидании обработки, заявки от требующих обслуживания станков встают в очередь к оператору-многостаночнику, наладчику, ремонтникам. Примером возникновения очередей может быть:
- поступление транспортных средств, требующих технического обслуживания, на ремонтную базу, когда, в зависимости от численности технического персонала, ремонтная база может одновременно обслуживать одно или несколько транспортных средств;
- прибытие пациентов на приём к врачу, когда даже при наличии системы предварительной записи по целому ряду причин число ожидающих может флуктуировать, и, таким образом, возможно образование очереди;
- попытки дозвониться по телефону, когда набирающие телефонные номера абоненты нуждаются в обслуживании в виде телефонных разговоров;
- возникновение очереди у железнодорожной кассы.
Основными элементами систем массового обслуживания (МО) являются заявки (требования) на обслуживание и механизм их обслуживания. Для моделей МО характерно, что поступление заявок и/или обслуживание по времени имеют вероятностный характер.
Важной характеристикой для систем МО является механизм (дисциплина) обслуживания. Наиболее часто имеет место дисциплина обслуживания по правилу «первым пришёл – первым обслужен». Нередко заявки группируются по принципу приоритетности. Например, при разработке плановых заданий и их реализации предпочтение сначала отдают срочным и опаздывающим заявкам на выпуск деталей, далее запускаются детали, срок выпуска которых приходится на данный планируемый период. И в последнюю очередь планируются к запуску детали для задела, срок выпуска которых приходится на очередные плановые периоды.
Результаты этого научного направления весьма эффективно используются в экономических расчётах, в теориях принятия решений, надёжности и т. д.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1272; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!