Примеры разложения в ряд Фурье реальных сигналов.



Nbsp; Лабораторная работа № 8  

Аппроксимация периодического сигнала рядом Фурье.

Цель работы: Изучение представления различных периодических сигналов рядом ортогональной системе тригонометрических функций  

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

В электроэнергетике и электротехнике предъявляются достаточно жёсткие требования к строго синусоидальному закону изменения токов и напряжений во времени. Но во многих областях радиотехники, автоматики, связи, электротехники, несинусоидальные, периодические сигналы (тока и напряжения) соответствуют нормальному режиму работы цепей и устройств. Нередко даже при синусоидальном входном воздействии выходная величина существенно отличается от гармонической, если в цепи содержатся наименьшие элементы (электронные или полупроводниковые приборы, катушки с ферромагнитным сердечником и др.). Поэтому методы анализа цепей с периодическими негармоническими воздействиями имеют большое значение при, разработке устройств весьма широкого применения.

Поскольку разновидностей периодических негармонических сигналов, в принципе, неограниченное множество, важнейшей задачей становится выбор такого метода анализа, который был бы применим к любой форме сигнала. Таковым оказался метод, основанный на использовании тригонометрического ряда Фурье и принципа суперпозиции, применимого к линейным энергетическим цепям.

 

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Представление периодических функций рядом Фурье.

Все периодические сигналы (напряжения, токи), отличаемые от гармонических, называются негармоническими. Они характеризуются периодом Т, формой и размахом напряжения или тока (Up или Ip_). Математически такой сигнал, как функция времени, удовлетворяет условию:

 

                                       

Если эта функция удовлетворяет ряду условий, называемых условиями Дирихле, (в пределах периода Т функция f ( x ) непрерывна, либо имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов), то такая функция может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье. Сумма этого ряда совпадает со значениями f ( t ) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва дает среднее арифметическое предельных значений функции при приближении к точке разрыва слева f ( t -) и справа f ( t +).

    Если обозначить w =2 p /Т (частота основной или первой гармоники), то ряд Фурье в тригонометрической форме можно записать:

                       (1)

где

              (2)

                             

- постоянная составляющая, an, в n  - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов ряда. Как следует из (1), ряд Фурье содержит только кратные основной частоте гармонические слагаемые, поскольку n принимает только целые значения, и называется номером гармоники. Все гармоники, кроме первой, называются высшими гармониками.

Можно показать, что значения an и в n   не зависят от выбора t 0. Поэтому, положив t 0.=0. Поэтому, положив t 0.=0 и введя новую переменную  с учетом, что  и , формулы (1) и (2) можно переписать:

                                       (3)

                      (4).

Если вспомнить соотношение из тригонометрии:

   (5)

откуда                      и

                                                                                                             (6)

                                 ,

то ряд Фурье запишется в виде:

                           .                                     (7)

либо                   ,                                     (8)

где                                                                                          (9)

Очень часто периодические функции электрических или магнитных величин обладают некоторым видом симметрии, что значительно укрощает разложение такой функции в ряд Фурье. Отметим некоторые виды симметрии:

1. Функция f ( a ) симметрична относительно оси ординат (рис.1).

                                                             f( a )

 

                                                                                                  t

                                                                                -2p

                                                   Рис. 1.

 В этом случае , т.е. функция четная. Из тригонометрических функций четной является только косинус, а синус – нечетная. Поэтому синусоиды не входят в состав ряда Фурье таких функций, т.е.

                       ,                                              (10)

т.е. четная функция может содержать только косинусоиды и постоянную составляющую. Важное свойство четных функций: для определения коэффициентов а n достаточно пользоваться кривой f ( a ) за половину периода, т.е.

                                                                 (11)

    2. Функция f ( a ) симметрична относительно начала координат (рис.2).

                                                   f ( a )

         
 

 


                                                             0                               a

                                                                                2p

     
 

 


                                                             Рис. 2

В этом случае выполняется условие f (- a )= - f ( a ). Такие функции называются нечетными. Этому условию не удовлетворяют постоянная составляющая и косинусоиды, поэтому при данном виде симметрии ряд содержит только синусоиды.

                       ,                                          (12)

т.е. нечетная функция может содержать только синусоиды. Здесь также для определения коэффициентов bn достаточно пользоваться кривой f ( a ) за половину периода, т.е.

                                                              (13)

    3. Функция f ( a ) симметрична относительно оси абсцисс, если её дополнить той же функцией, смещенной на полпериода (рис. 3).

Такая функция удовлетворяет условию: f ( a )= - f ( a + p ). Заменив f ( a ) по формуле (3), получим:

,

откуда для четных n получим:

              .

Это условие выполняется при произвольных значениях a только в том случае, когда a 0 =0 и an = bn =0 для четных n. То есть, при данном виде симметрии

              .                                (14)

Поэтому, функция с данным видом симметрии содержит только нечетные гармоники. Коэффициенты an и bn можно вычислять по формулам (11) и (13).

 

        

                           

                       p    2p                              a

 

                                                   Рис. 3

    При разложении периодической функции в ряд Фурье следует сначала проанализировать её на наличие каких-либо видов симметрии. Если они имеются, то этот факт позволяет предсказать, какие гармоники не войдут в разложение. Если, например, одновременно выполняются условия симметрии по п.п. 1 и 3, то в разложении будут только нечетные синусоиды.

    Часто для придания функции симметрии относительно оси ординат бывает необходимо перенести начало отсчета. На рис. 4 показана однополупериодная синусоида. Если сместить начало отсчета на отрезок b, то кривая становится симметричной относительно оси абсцисс.

 

                                          f( a )

 

 

                                            0   0’                                a

                                                   b

                                                   Рис. 4.

 

    Пусть для некоторой функции f ( a ) известно разложение в ряд Фурье, т.е. заданы коэффициенты an и bn:

              .

    Если сместить начало отсчета на отрезок b вправо или налево относительно исходного положения, то разложение функции в новой координатной системе получается заменой a на a 1 +b 1, где a 1 – абсцисса в новой системе координат; b >0 – соответствует смещению нового начала координат вправо, b <0 – влево.

      (15)

Используя известные соотношения для тригонометрических функций:

,

выражение под знаком суммы формулы (3) можно переписать:

Из формул (4) нетрудно определить, что an – четная функция n, а bn – нечетная, т.е. an = a - n; bn = - b - n. Кроме того, .

Поэтому ряд Фурье можно записать в следующем виде:

,                (16)

где                       (17)

называется комплексной амплитудой n-ой гармоники. Формула (16) – ряд Фурье в комплексной форме.

 

Примеры разложения в ряд Фурье реальных сигналов.

Приведем разложения в ряд Фурье некоторых, наиболее часто встречающихся периодических сигналов.

а). Сигнал на выходе однополупериодного выпрямителя (рис. 5)

 

                                 U

                                   Um

 

 

                                                                                t

                                 0   T

                                                   Рис. 5

           (18)

 

б). Сигнал на выходе двухполупериодного выпрямителя (рис. 6)

(19)

                                          U

                                   Um

 

 

                                                                                         t

                                     0   T

                                                   Рис. 6

 

в). Сигнал треугольной формы (рис. 7а, б)

 

U

 

 

                                                                      T

                                 T/2                                              t

                  

 

                                                   Рис. 7а

                  (20)

                                                   U

 

                                                   Um

                                 -T/2                                     T/2

                                                                                                            t

                                          -T/4 0    T/4

 

 

                                                   Рис. 7б

                                (21)

г). Сигнал прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр) (рис.8 а,б)

     
 


    U                                                                   U Um

Um

                                                                                    

    T                     t                         -                      t

 

                       а)                                                          б)

                                                   Рис. 8

 (n – целое, нечетное) (22)

                                            (23)

Сигналы рис. 8 а, б идеализированы, т.к. имеют фронты бесконечно малой длительности. Практически такие сигналы не существуют, в точках разрыва, как отмечалось, ряды (22) и (23) не сходятся, но в среднем сходимость ряда обеспечивается.

 

д). Сигналы трапецеидальной формы (рис. 9).

 

                                                                      U(t)

                                                   tф

                                                                      Um

                                   -T/2                                                  T/2

                                                                                                                     t

                                                   -T/4       T/4

 

 

                                                             Рис. 9

                          (24)

обычно t ф << Т, поэтому при малых n множитель . При этом амплитуды нескольких первых гармоник рядов (23) и (24) почти одинаковы. Нос ростом n амплитуды гармоник ряда (24) убывают быстрее, чем у ряда (23). Ряд Фурье для реального сигнала рис. 9 сходится быстрее.

 

е). Пилообразный сигнал (рис. 10).

    Такой формы напряжение используется в схемах развертки осциллографа, телевизора, монитора. Ряд Фурье этого сигнала:

                                         (25)

 

                                                   U

                                            Um

                                 -T/2 -T/4         T/4 T/2

                                                                                                            t

 

                                                   Рис. 10

ж). Последовательность коротких прямоугольных видеоимпульсов (рис.11)

                                          U

                                                     Um

                                 -T/2                       T/2

                                                                                                  t

                       -T          -              T

                                                   рис. 11

                 (26)

здесь  - скважность импульса.

з). Амплитудно-модулированный (АМ) сигнал при гармоническом законе модуляции.

,         (26/)

где  - частота несущего колебания,  - частота гармонического сообщения.

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 5906; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!