Примеры разложения в ряд Фурье реальных сигналов.

Nbsp; Лабораторная работа № 8

Аппроксимация периодического сигнала рядом Фурье.

Цель работы:

Изучение представления различных периодических сигналов рядом ортогональной системе тригонометрических функций

1. ВВЕДЕНИЕ

В электроэнергетике и электротехнике предъявляются достаточно жёсткие требования к строго синусоидальному закону изменения токов и напряжений во времени. Но во многих областях радиотехники, автоматики, связи, электротехники, несинусоидальные, периодические сигналы (тока и напряжения) соответствуют нормальному режиму работы цепей и устройств. Нередко даже при синусоидальном входном воздействии выходная величина существенно отличается от гармонической, если в цепи содержатся наименьшие элементы (электронные или полупроводниковые приборы, катушки с ферромагнитным сердечником и др.). Поэтому методы анализа цепей с периодическими негармоническими воздействиями имеют большое значение при, разработке устройств весьма широкого применения.

Поскольку разновидностей периодических негармонических сигналов, в принципе, неограниченное множество, важнейшей задачей становится выбор такого метода анализа, который был бы применим к любой форме сигнала. Таковым оказался метод, основанный на использовании тригонометрического ряда Фурье и принципа суперпозиции, применимого к линейным энергетическим цепям.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Представление периодических функций рядом Фурье.

Все периодические сигналы (напряжения, токи), отличаемые от гармонических, называются негармоническими. Они характеризуются периодом Т, формой и размахом напряжения или тока (U_p или I_p_). Математически такой сигнал, как функция времени, удовлетворяет условию:

Если эта функция удовлетворяет ряду условий, называемых условиями Дирихле, (в пределах периода Т функция f ( x ) непрерывна, либо имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов), то такая функция может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье. Сумма этого ряда совпадает со значениями f ( t ) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва дает среднее арифметическое предельных значений функции при приближении к точке разрыва слева f ( t -) и справа f ( t +).

Если обозначить w =2 p /Т (частота основной или первой гармоники), то ряд Фурье в тригонометрической форме можно записать:

(1)

где

(2)

- постоянная составляющая, a_n, в _n - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов ряда. Как следует из (1), ряд Фурье содержит только кратные основной частоте гармонические слагаемые, поскольку n принимает только целые значения, и называется номером гармоники. Все гармоники, кроме первой, называются высшими гармониками.

Можно показать, что значения a_n и в _n не зависят от выбора t ₀. Поэтому, положив t ₀.=0. Поэтому, положив t ₀.=0 и введя новую переменную с учетом, что и , формулы (1) и (2) можно переписать:

(3)

(4).

Если вспомнить соотношение из тригонометрии:

(5)

откуда и

(6)

то ряд Фурье запишется в виде:

. (7)

либо , (8)

где (9)

Очень часто периодические функции электрических или магнитных величин обладают некоторым видом симметрии, что значительно укрощает разложение такой функции в ряд Фурье. Отметим некоторые виды симметрии:

1. Функция f ( a ) симметрична относительно оси ординат (рис.1).

f( a )

-2p

Рис. 1.

В этом случае , т.е. функция четная. Из тригонометрических функций четной является только косинус, а синус – нечетная. Поэтому синусоиды не входят в состав ряда Фурье таких функций, т.е.

, (10)

т.е. четная функция может содержать только косинусоиды и постоянную составляющую. Важное свойство четных функций: для определения коэффициентов а _n достаточно пользоваться кривой f ( a ) за половину периода, т.е.

(11)

2. Функция f ( a ) симметрична относительно начала координат (рис.2).

f ( a )

0 a

Рис. 2

В этом случае выполняется условие f (- a )= - f ( a ). Такие функции называются нечетными. Этому условию не удовлетворяют постоянная составляющая и косинусоиды, поэтому при данном виде симметрии ряд содержит только синусоиды.

, (12)

т.е. нечетная функция может содержать только синусоиды. Здесь также для определения коэффициентов b_n достаточно пользоваться кривой f ( a ) за половину периода, т.е.

(13)

3. Функция f ( a ) симметрична относительно оси абсцисс, если её дополнить той же функцией, смещенной на полпериода (рис. 3).

Такая функция удовлетворяет условию: f ( a )= - f ( a + p ). Заменив f ( a ) по формуле (3), получим:

откуда для четных n получим:

Это условие выполняется при произвольных значениях a только в том случае, когда a ₀ =0 и a_n = b_n =0 для четных n. То есть, при данном виде симметрии

. (14)

Поэтому, функция с данным видом симметрии содержит только нечетные гармоники. Коэффициенты a_n и b_n можно вычислять по формулам (11) и (13).

p 2p a

Рис. 3

При разложении периодической функции в ряд Фурье следует сначала проанализировать её на наличие каких-либо видов симметрии. Если они имеются, то этот факт позволяет предсказать, какие гармоники не войдут в разложение. Если, например, одновременно выполняются условия симметрии по п.п. 1 и 3, то в разложении будут только нечетные синусоиды.

Часто для придания функции симметрии относительно оси ординат бывает необходимо перенести начало отсчета. На рис. 4 показана однополупериодная синусоида. Если сместить начало отсчета на отрезок b, то кривая становится симметричной относительно оси абсцисс.

f( a )

0 0’ a

Рис. 4.

Пусть для некоторой функции f ( a ) известно разложение в ряд Фурье, т.е. заданы коэффициенты a_n и b_n:

Если сместить начало отсчета на отрезок b вправо или налево относительно исходного положения, то разложение функции в новой координатной системе получается заменой a на a ₁ +b ₁, где a ₁ – абсцисса в новой системе координат; b >0 – соответствует смещению нового начала координат вправо, b <0 – влево.

(15)

Используя известные соотношения для тригонометрических функций:

выражение под знаком суммы формулы (3) можно переписать:

Из формул (4) нетрудно определить, что a_n – четная функция n, а b_n – нечетная, т.е. a_n = a _- _n; b_n = - b _- _n. Кроме того, .

Поэтому ряд Фурье можно записать в следующем виде:

, (16)

где (17)

называется комплексной амплитудой n-ой гармоники. Формула (16) – ряд Фурье в комплексной форме.

Примеры разложения в ряд Фурье реальных сигналов.

Приведем разложения в ряд Фурье некоторых, наиболее часто встречающихся периодических сигналов.

а). Сигнал на выходе однополупериодного выпрямителя (рис. 5)

U_m

0 T

Рис. 5

(18)

б). Сигнал на выходе двухполупериодного выпрямителя (рис. 6)

(19)

U_m

0 T

Рис. 6

в). Сигнал треугольной формы (рис. 7а, б)

T/2 t

Рис. 7а

(20)

U_m

-T/2 T/2

-T/4 0 T/4

Рис. 7б

(21)

г). Сигнал прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр) (рис.8 а,б)

U U U_m

U_m

T t - t

а) б)

Рис. 8

(n – целое, нечетное) (22)

(23)

Сигналы рис. 8 а, б идеализированы, т.к. имеют фронты бесконечно малой длительности. Практически такие сигналы не существуют, в точках разрыва, как отмечалось, ряды (22) и (23) не сходятся, но в среднем сходимость ряда обеспечивается.

д). Сигналы трапецеидальной формы (рис. 9).

U(t)

t_ф

U_m

-T/2 T/2

-T/4 T/4

Рис. 9

(24)

обычно t _ф << Т, поэтому при малых n множитель . При этом амплитуды нескольких первых гармоник рядов (23) и (24) почти одинаковы. Нос ростом n амплитуды гармоник ряда (24) убывают быстрее, чем у ряда (23). Ряд Фурье для реального сигнала рис. 9 сходится быстрее.