Изучение статистических ошибок, на примере измерения мощности дозы фонового излучения в лаборатории.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический институт им. А.Д. Сахарова БГУ Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра общей и медицинской физики

Лабораторная работа № 1

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОШИБОК, НА ПРИМЕРЕ ИЗМЕРЕНИЯ МОЩНОСТИ ДОЗЫ ФОНОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛАБОРАТОРИИ.

Минск

2018

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОШИБОК, НА ПРИМЕРЕ ИЗМЕРЕНИЯ МОЩНОСТИ ДОЗЫ ФОНОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛАБОРАТОРИИ.

Цель работы: ознакомиться с понятиями: флуктуирующая физическая величина, гистограмма, погрешность измерения, систематическая ошибка измерения, случайная ошибка измерения, статистическая ошибка, среднее значение физической величины; научиться находить среднее значение физической величины, среднеквадратичную ошибку отдельного измерения и среднеквадратичную ошибку в определении среднего значения, относительную ошибку отдельного измерения и относительную ошибку определения среднего значения.

Приборы и оборудование: Дозиметр ДБГ-06Т.

1. Теоретическая часть:

В любой физической лаборатории всегда присутствует радиоактивное излучение. Источником излучения являются космические лучи и распад радиоактивных веществ, которые в небольших количествах имеются всюду, в том числе в физических приборах и в помещениях. Это излучение является радиоактивным фоном, с которым складывается излучение других источников, если они присутствуют.

В данной работе для измерения уровня фонового излучения используется дозиметр ДБГ-06Т. Дозиметр предназначен для измерения мощности экспозиционной дозы на рабочих местах. Время измерения в режиме работы «Измерение» составляет около 40 секунд.

В данном дозиметре для регистрации ионизирующих частиц используется счетчик Гейгера-Мюллера.

При любом физическом измерении результат, получаемый на опыте, несколько отличается от действительного значения измеряемой величины. Погрешность измерений складывается из ошибок, связанных с несовершенством методики измерений и неточностью калибровки приборов. Эти ошибки принято называть систематическими. Систематические ошибки имеют одинаковую величину и знак, не изменяющиеся от опыта к опыту. И из случайных ошибок эксперимента, изменяющих свою величину и знак от опыта к опыту. Частным случаем случайных ошибок являются так называемые статистические ошибки. Эти ошибки вызываются флуктуациями (случайными отклонениями) самой измеряемой величины.

К числу флуктуирующих величин (физических величин, случайных по своей природе, принимающих определенное значение из всего спектра своих значений случайным образом, например: при хаотическом тепловом движении координаты и скорости частиц изменяются случайным образом, число космических частиц, попадающих за определенный промежуток времени в детектор, случайно) - относится мощность экспозиционной дозы излучения. Пусть при некотором измерении за сорок секунд зарегистрирована экспозиционная доза миллирентген в час (по показаниям прибора). Из этого отнюдь не следует, что в любые следующие сорок секунд будет регистрироваться именно миллирентген в час. В силу случайных причин при этом можно получить любое другое, вообще говоря, не слишком сильно отличающееся от значение.

В этом случае, как и всегда при измерении флуктуирующих величин, физический смысл имеет не столько результат отдельного измерения, сколько средний результат опыта, в нашем примере – среднее количество миллирентген в час, измеряемых дозиметром. Так как в качестве оценки значения физической величины мы принимаем ее среднее значение.

Чтобы определить среднюю экспозиционную дозу, следует несколько раз измерить мощность экспозиционной дозы, результаты просуммировать и разделить полученное число на количество измерений. Строго говоря, средняя мощность равна пределу, к которому стремятся получаемые таким образом числа при беспредельном увеличении количества измерений.

Отдельные измерения, проведенные в течение некоторого времени, позволяют определить искомую среднюю мощность экспозиционной дозы излучения не вполне точно, а с некоторой ошибкой, величина которой тем меньше, чем больше число измерений.

Рассмотрим более внимательно опыт по определению мощности экспозиционной дозы излучения. При небольших размерах установки и не очень большом времени, которое можно использовать для опыта, все ошибки оказываются пренебрежимо малыми по сравнению со статистическими флуктуациями, поэтому никаких других отклонений, кроме статистических, мы рассматривать не будем. Проведем ряд опытов по измерению мощности экспозиционной дозы излучения. Сравнив полученные результаты, мы увидим, что найденные значения заметно отличаются друг от друга, хотя среди них встречаются и одинаковые.

Построим график, откладывая по оси абсцисс мощность экспозиционной дозы излучения, зарегистрированную при измерениях, а по оси ординат - долю случаев , в которых была зафиксирована данная мощность. Здесь - число случаев, в которых было зарегистрировано данное значение мощности экспозиционной дозы, а - общее количество проведенных измерений (опытов).

Построенный график содержит дискретно расположенные точки, которые для наглядности обычно соединяются между собой. Лучше всего это делать, представляя график в виде совокупности вертикально стоящих прямоугольников, как это изображено на рис. 1.

На этом графике прямоугольник, расположенный между 5 и 6, характеризует случаи, в которых регистрировались значения от 5 до 6 мкР/ч (микрорентген в час, включая 5 и не включая 6); прямоугольник, расположенный между 6 и 7 - значения от 6 до 7 мкР/ч и т.д. Высота прямоугольника определяет долю наблюдаемых случаев . Подобного рода график принято называть гистограммой.

Мы получим, таким образом, гистограмму распределения результатов опыта, который обнаруживает максимум в области искомого среднего значения, хотя среди результатов попадутся и такие, которые сильно отличаются от среднего. Доля случаев, в которых происходит некоторое событие (например, обнаруживается данное значение), называется вероятностью этого события.

Построенный график (гистограмма), таким образом, характеризует распределение вероятности зарегистрировать мощность экспозиционной дозы мкР/ч в зависимости от величины . Обозначим среднюю (вообще говоря, нам неизвестную) мощность излучения мкР/ч.

В самом деле, многократные измерения производятся редко. Наибольший интерес представляет ожидаемое отличие результата, полученного при одиночном измерении, от истинного значения. При однократном измерении отклонение результата от истинного в зависимости от случая может быть большим или меньшим, но чаще всего оно по порядку величины равно полуширине кривой распределения (1/2 ширины гистограммы на уровне половины высоты), поэтому полуширина гистограммы характеризует точность однократного измерения.

Для аналитической оценки точности измерений обычно применяют величину, называемую дисперсией. Дисперсией случайной величины называется среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения:

Сама величина ( корень квадратный из дисперсии) называется среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения или стандартным отклонением. Она дает количественную оценку ожидаемого отличия любого из от .

В теории вероятностей существует правило трёх : оно гласит, что чаще всего для экспериментов в 68 случаях из 100 (т.е. с вероятностью 68%) истинное среднее значение отличается от результатов измерения не более чем на одну среднеквадратичную ошибку ( ); с вероятностью 95% - не более чем на две среднеквадратичные ошибки ( ) и с вероятностью 99,7% - не более чем на три среднеквадратичные ошибки ( ).

Поскольку показания дозиметра пропорциональны количеству частиц, попавших на счетчик Гейгера, то из теории следует также, что среднеквадратичная ошибка единичного измерения пропорциональна корню от числа частиц и, следовательно, корню из значения мощности экспозиционной дозы: .

Обратимся теперь к следующему важному вопросу. Пусть мы провели серию из N измерений, в результате которой получены значения мощности n ₁ , n ₂ ,..., n_N_.Эти результаты мы до сих пор использовали для того, чтобы определить, как отличаются друг от друга значения, полученные в разных измерениях. Как уже отмечалось, этот вопрос важен главным образом для выяснения того, насколько достоверен результат, полученный в одном измерении. Но если было проведено несколько измерений, их результаты могут быть использованы и с другой целью: они позволяют определить среднее значение измеряемой величины точнее, чем это можно сделать, если произведено всего одно измерение. При N измерениях среднее значение мощности экспозиционной дозы излучения равно, очевидно,

, (1)

а стандартная ошибка отдельного измерения, по определению, равна

, (2)

Величина из формулы (1), полученная путем усреднения результатов по серии из N опытов, конечно, тоже не вполне точно совпадает с истинным средним значением , и сама является случайной величиной, но отклонение величины от , вообще говоря, существенно меньше, чем .

Теория вероятностей показывает, что стандартная ошибка отклонения от может быть определена по формуле:

, (3)

Так же представляет интерес и относительная точность измерений. Для рассмотренной серии из N измерений относительная ошибка отдельного измерения (т.е. ожидаемое отличие любого из от ) равна

. (4)

Аналогичным образом относительная ошибка в определении среднего по всем измерениям значения равна

. (5)

Следовательно, относительная точность измерения определяется полным числом значений . Этого, конечно, и следовало ожидать, так как все измерения вместе составляют одно более продолжительное измерение. Как мы видим, относительная точность измерения постепенно улучшается с увеличением числа экспериментов.

Таким образом, проделав серию измерений, флуктуирующей физической величины мы сможем записать окончательный результат для отдельного измерения и среднего значения в виде:

, при относительной ошибке (6)

а для измеренного среднего значения:

, при относительной ошибке (7)

При записи окончательного результата учитываются правила записи окончательного результата.

Правила записи окончательного результата: При записи окончательного результата измерений сначала округляется стандартная ошибка измерений – до одной значащей цифры, если первая значащая цифра - 2,3,4,5,6,7,8,9 и – до двух значащих цифр, если первая значащая цифра в записи погрешности – 1. Затем округляется среднее значение – до того же минимального разряда, что и минимальный разряд в округленном значении погрешности.

Отметим также, что при измерениях, при расчетах и при записи промежуточных результатов, кроме надежно известных значащих цифр, всегда указывается одна лишняя, а при окончательной записи результат округляется до того количества знаков после запятой, что и округленная полная (суммарная) погрешность.

2. практическая часть:

1. Ознакомьтесь с устройством дозиметра ДБГ-06Т:

Þ Включите дозиметр, для чего установите левый верхний переключатель диапазонов в положение мР/ч, а правый верхний переключатель режимов работы в положение КОНТР.

Þ Осуществите сброс показаний нажатием кнопки СБРОС. На цифровом табло при правильном функционировании счетных устройств дозиметра и пригодности источника питания должно устойчиво отображаться число 0515 (без учета запятых). Прибор готов к работе.

Þ Установите правый верхний переключатель режимов работы в положение ИЗМЕР.

Þ Произведите сброс показаний нажатием кнопки СБРОС.

Þ В режиме работы «Измерение» на цифровом табло отображаются нули во всех разрядах, и мигает запятая в младшем разряде. Отсчет показаний производится в конце цикла измерения (через 40 сек.) в момент прекращения мигания запятой младшего разряда. Показания на цифровом табло сохраняются до момента нажатия кнопки СБРОС. Нажатие кнопки СБРОС одновременно запускает дозиметр на новый цикл измерения.

2. Проведите N = 100 измерений мощности экспозиционной дозы излучения. Запишите показания дозиметра в таблицу результатов (таблица 1.).

таблица 1

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90

3. Результаты опытов представьте в виде таблицы удобной для построения гистограммы (таблица 2). В первую строку таблицы заносятся различные значения - зарегистрированной мощности экспозиционной дозы. Во вторую строку заносится число случаев , в скольких регистрировалось каждое конкретное значение . В третью строку заносится соответствующее значение доли случаев . Для расчетов используем формулу , где - число случаев, в которых было зарегистрировано данное значение мощности экспозиционной дозы, а - общее количество проведенных измерений (опытов).

таблица 2

(мкР/ч)

4. Постройте гистограмму. Для этого по оси абсцисс отложите последовательные значения , а по оси ординат - долю случаев , в которых показание дозиметра равнялось .

5. Определите - среднюю мощность экспозиционной дозы излучения по формуле (1) и - среднеквадратичную ошибку отдельного измерения по формуле (2), относительная ошибка отдельного измерения по первому равенству формулы (4). Для этого результаты опыта представьте в виде таблицы, удобной для проведения промежуточных расчетов таблица 3.

таблица 3

(мкР/ч)




…
Итого S	å	å

Все расчеты удобно проводить в таблицах программы Exel .

6. Запишите полученный результат в виде (6), с учетом правил записи окончательного результата, и отметьте на гистограмме среднее значение мощности экспозиционной дозы , а также значения .

7. Измерьте по гистограмме полуширину распределения , т.е. 1/2 ширины гистограммы на уровне половины высоты. Сравните полученное значение с величиной в процентном соотношении, используя формулу . Сделайте вывод.

8. Определите долю случаев, когда отклонения от среднего значения превышают по формуле , где - число случаев, когда отклонение от среднего значения превышает ,
- полное число измерений.

Определите долю случаев, когда отклонения от среднего значения превышают 2 по формуле , где - число случаев, когда отклонение от среднего значения превышает 2 ,
- полное число измерений. Данные занесите в таблицу 4. Сравните найденную из опыта долю таких случаев с теоретическими оценками.

таблица 4

Ошибка	Число случаев	Доля случаев	Теоретическая оценка
± =			1-0,68=0,32
± 2 =			1-0,95=0,05

При сравнении теоретических оценок с экспериментальными данными следует помнить, что при конечном, а тем более при небольшом числе опытов, точного согласия между ними быть не может. Экспериментальные данные содержат в себе элемент случайности, которого нет в теоретических оценках. Согласия экспериментальных результатов с теоретическими оценками следует ожидать лишь по порядку величины.

9. Определите стандартное отклонение величины , используя всю совокупность измерений по формуле (3). Найдите относительную ошибку этого результата по первому равенству формулы (5). Отметьте на гистограмме значения

10. Запишите окончательный результат в виде (7), с учетом правил записи окончательного результата. Сделайте вывод о результатах измерения мощности экспозиционной дозы.

11. Обменяйтесь результатами измерений с тремя другими подгруппами (таблица 2).

12. Выполните все расчеты в соответствии с пунктами 3 - 10 данной инструкции для серии из измерений.

13. Сравните все полученные результаты для серии из 100 и 400 опытов. Сделайте вывод.

14. Оформите отчет о проделанной работе.

Контрольные вопросы.

1.Что такое гистограмма?

2. График зависимости, каких величин представляет гистограмма?

3. Что характеризует высота гистограммы?

4. Как изменится высота гистограммы, если сделать не 100 измерений, а 400?

5. Чему равна дисперсия случайной величины?

6. Что характеризует среднеквадратичная ошибка отдельного измерения?

7. Что характеризует полуширина гистограммы?

8. Как изменится полуширина гистограммы, если сделать не 100 измерений, а 400?

9. Как найти среднее значение флуктуирующей физической величины?

10. Как изменится среднее значение физической величины, если сделать не 100 измерений, а 400?

11. Чему равна стандартная ошибка отклонения отдельного измерения от ?

12. Как изменится стандартная ошибка отклонения отдельного измерения от , если сделать не 100 измерений, а 400?

13. Чему равна стандартная ошибка отклонения от ?

14. Как изменится стандартная ошибка отклонения от , если сделать не 100 измерений, а 400?

15. Чему равна относительная погрешность определения среднего значения величины в серии из опытов?

16. Как изменится стандартная ошибка нахождения среднего значения величины в серии из опытов, если сделать не 100 измерений фона, а 400?

17. Сформулируйте правила записи окончательного результата.

18. Сформулируйте правил трёх .

Рекомендуемая литература.

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.- М.: Наука, 1979.

2. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, 560 с.

3. Методическое пособие по обработке результатов измерений, Мн., МГЭУ, 2005, 36 с.

Литература, использованная при подготовке пособия.

1. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, 560 с.

2. Элементарный учебник физики: Учебное пособие. т.3/ под ред. Г.С.Ландсберга,-М.: «Шрайк», 1995 – 608 с.

3. Лабораторный практикум по общей физике: Учебное пособие. т.1/ А.Д.Гладун, Д.А.Александров, Ф.Ф.Игошин и др., под ред. А.Д.Гладуна. -М.: МФТИ, 2004 – 316 с.

4. Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевнч, А. С. Боровик-Романов и др.- М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. Аронова – Бома эффект – Длинные линии. 1988. 704 с, ил.

Составители:

Борботко Е.П. – ст. преподаватель кафедры общей и медицинской физики;

Федоренчик Е.В. - ст. преподаватель кафедры общей и медицинской физики.

Образец теста для контроля

Тест 1 к лабораторной работе № 1

Изучение статистических ошибок, на примере измерения мощности дозы фонового излучения в лаборатории.

1. Гистограмма представляет график зависимости

a) вероятности зарегистрировать среднюю мощность экспозиционной дозы мкР/ч в зависимости от количества измерений ;

b) доли случаев, в которых зарегистрировано значение экспозиционной дозы мкР/ч в зависимости от величины мощности экспозиционной дозы ;

c) вероятности зарегистрировать мощность экспозиционной дозы мкР/ч в зависимости от величины мощности экспозиционной дозы ;

d) количества случаев, в которых зарегистрировано значение мощности экспозиционной дозы мкР/ч в зависимости от величины мощности экспозиционной дозы .

2. Если сделать не 100 измерений фона, а 400, то высота гистограммы

a) увеличится примерно в 4 раза;

b) увеличится примерно в 2 раза;

c) примерно не изменится;

d) уменьшится примерно в 4 раза;

e) уменьшится примерно в 2 раза.

3. Дисперсия случайной величины равна

a) ;