ИЗУЧЕНИЕ ОШИБОК КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ, НА ПРИМЕРЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА И ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический институт им. А.Д. Сахарова БГУ Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра общей и медицинской физики

Лабораторная работа № 2

Минск

2018

Цель работы: ознакомиться с понятиями: прямые и косвенные измерения; случайная и систематическая ошибки, промахи, полная (суммарная) погрешность измерений; научиться находить среднее значение физической величины при косвенном измерении; случайную, систематическую и полную погрешность в определении параметров, среднеквадратичную ошибку косвенного измерения, в зависимости от явного вида функции, связывающей параметры.

Приборы и оборудование: штангенциркуль, набор параллелепипедов из стали и текстолита, электронные весы.

Теоретическая часть

Основные понятия и определения.

Неотъемлемой частью всякого исследования является эксперимент. В научных экспериментах и теоретических исследованиях, при решении задач и выполнении лабораторных работ по физике мы встречаемся с различными значениями физических величин. Они определяются в результате расчетов или измерений, находятся из таблиц или графиков. В большинстве случаев эти значения приближенные.

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения делятся на прямые и косвенные.

Прямым измерением называется такое измерение, при котором значение интересующей нас величины находится непосредственно из отсчета по прибору. Например, измерение длины линейкой, времени секундомером, тока амперметром, мощности дозы фонового излучения дозиметром. В первой лабораторной работе проводились как раз прямые измерения.

Косвенное измерение - это измерение, при котором значение физической величины находится как функция других величин. Например: плотность вещества определяют по массе и объему тела ( ); сопротивление резистора - по напряжению и силе тока в нем ( ).

Вычисление объема тела относится к косвенным измерениям, т.к. искомая величина задается как некоторая функция других величин, определяемых путем прямых измерений. В случае параллелепипеда - при измерении параметров: длины , высоты и ширины , объем находим по формуле:

. (1)

Качество измерений определяется их точностью. При прямых измерениях точность опытов устанавливается из анализа точности метода и приборов, а также из повторяемости результатов измерений. Точность косвенных измерений зависит как от надежности используемых для расчета данных, так и от структуры формул, связывающих эти данные с искомой величиной.

Точность измерений характеризуется их погрешностью. Абсолютной погрешностью измерений называют разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины. Относительной погрешностью измерений - отношение абсолютной погрешности к истинному значению физической величины. Погрешность измерения является количественной мерой неизвестной экспериментатору ошибки.

Для того, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность измерений, опираясь на их определение, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать неизвестное заранее значение физической величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках (которые редко удается провести с точностью лучше 20–30%) учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов.

Ошибки делятся на случайные, систематические и промахи.

Промахи – грубые погрешности, возникающие вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Случайными называют погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту. Случайные погрешности могут быть связаны с сухим трением (из-за которого стрелка прибора вместо того, чтобы останавливаться в правильном положении, «застревает» вблизи него), с люфтами в механических приспособлениях, с тряской, которую в городских условиях трудно исключить, с несовершенством объекта измерений или его статистическим свойствами.

Случайные погрешности эксперимента исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких опытах, поставленных в одинаковых условиях. Два-три измерения следует производить всегда. Если результаты совпали, то на этом следует остановиться. Если же они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения. Часто она связана с тем, что прибор неисправен, ненадежно закреплен или плохо смазан, что электрические контакты не пропаяны или недостаточно зажаты. В этом случае, прежде всего, нужно попытаться исправить аппаратуру. Если устранить причину не удается, нужно произвести несколько измерений и записать все полученные результаты.

В качестве наилучшего значения для измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов:

(2)

А случайную погрешность оценивают по формуле:

(3)

Систематические ошибки имеют одинаковые не изменяющиеся от опыта к опыту величину и знак. Оценку систематических погрешностей экспериментатор производит, анализируя особенности методики, паспортную точность приборов и производя контрольные опыты. Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимально возможное значение погрешности. Шкалы электроизмерительных приборов обычно изготовляют так, что одно деление шкалы приблизительно равно максимальной погрешности прибора.

Для количественной оценки систематической погрешности можно пользоваться следующим простым правилом: чтобы оценить среднеквадратичную погрешность измерений электроизмерительными приборами, следует погрешность, определяемую классом точности прибора, разделить на два, следовательно, взять половину минимальной цены деления прибор.

Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0,05 мм, а сантиметровые – не хуже, чем с точностью 0,1 мм. Погрешность измерений, производимых с помощью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз. Деревянными или пластиковыми линейками лучше не пользоваться: их погрешности неизвестны и могут оказаться неожиданно большими. Исправный микрометр обеспечивает точность 0,01 мм, а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т. е. точностью нониуса (у штангенциркулей цена делений нониуса составляет обычно 0,1 или 0,05 мм).

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и: случайные ошибки. Пусть они характеризуются стандартными: погрешностями и .

Полная (суммарная) погрешность находится по формуле:

(4)

Обратим внимание на важную особенность формулы (4). Пусть одна из ошибок, например , в 2 раза меньше другой – в нашем случае , тогда ее вклад в полную ошибку будет ~ 12 %

Как мы уже говорили, погрешности редко удается оценить с точностью лучше 20%. Но в нашем примере с точностью 12% = . Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Этот вывод очень важен. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы втрое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 3–5 раз, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

1.2 Методика обработки результатов косвенных измерений:

1.2.1. Если исследуемая величина равна сумме или разности двух измеренных величин

то наилучшее значение величины (среднее арифметическое) равно сумме (или разности) наилучших значений (средних арифметических) слагаемых:

(5)

Среднеквадратичная полная погрешность величины , если величины и независимы, находится по формуле:

, (6)

где и - полные среднеквадратичные погрешности прямых измерений величин и , соответственно.

1.2.2. В случае, когда искомая величина равна произведению или частному двух других,

или ,

то искомая наилучшая величина равна произведению или частному средних значений, измеренных величин.

(7)

Относительная среднеквадратичная полная погрешность произведения или частного независимых величин находится по формуле:

, (8)

где и - полные среднеквадратичные погрешности прямых измерений величин и , соответственно, отсюда следует:

. (9)

1.2.3. Приведем расчетные формулы для случая, когда

Наилучшее значение связано с наилучшими значениями той же формулой (10), что и каждое конкретное значение.

(10)

Относительная среднеквадратичная погрешность величины при независимых величинах ... находится по формуле:

(11)

1.2.4. Наконец, приведем общую расчетную формулу. Пусть

где – произвольная функция величин ит. д. Тогда в качестве наилучших значений величин принимаем их средние значения

(12)

Формула (12) справедлива как в том случае, когда и т. д. непосредственно измерены, так и в том случае, если они сами найдены по измеренным значениям других величин.

Стандартная полная погрешность находится по формуле:

(13)

Обозначение имеет обычный смысл частной производной функции по переменной , т. е. производной, при вычислении которой все остальные аргументы, кроме (в нашем случае аргументы и т.д.), считаются постоянными. Аналогичный смысл имеют частные производные по . Значения частных производных следует вычислять при наилучших значениях аргументов и т. д. Все приведенные в этой методичке формулы являются частными случаями (12) и (13).

При нахождении частных производных тригонометрических функций следует иметь в виду, что табличные значения производных приведены для случаев, когда углы выражены в радианах. Поэтому во избежание ошибок углы, измеренные в градусах, и их погрешности рекомендуется переводить в радианы.

Напомним:

Þ Значащими цифрами являются все записанные цифры числа кроме нулей, а также нули, стоящие после других значащих цифр.

Þ При записи погрешности следует округлять ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях.
Так, правильно писать ±3; ±0,2; ±0,08; ±0,14 и не следует писать ±3,2; ±0,23; ±0,084.

Þ Окончательный результат прямых или косвенных измерений имеет вид :

, при (14)

Þ Отметим также, что при измерениях, при расчетах и при записи результатов, кроме надежно известных значащих цифр, всегда указывается одна лишняя, а при окончательной записи результата среднее значение измеренной величины округляется до того же минимального разряда, что и округленная полная (суммарная) погрешность. Так, один и тот же результат, в зависимости от погрешности, запишется в виде: 1,2 ±0,2;
1,24 ±0,03; 1,243 ±0,012. Таким образом, последняя из указанных цифр (или даже две из них, как в последнем примере) оказывается сомнительной, а остальные – достоверными.

Сводная таблица формул

Наилучшее значение измеряемой величины
Оценка случайной погрешности измеряемой величины	(формула справедлива при п ≥ 4 или 5)
Сложение погрешностей (независимых) (случайная + систематическая)
Погрешность результата расчета
Допустимые масштабы	1:2; 1:5; 1:10; 1:20 и т. д., 2:1; 5:1; 10:1; 20:1 и т. д.
Проведение наилучшей прямой у = а+ b х	, , , ,
Проведение наилучшей прямой у = k х	,

2. практическая часть:

1. Прежде чем приступить к работе, ознакомьтесь с устройством штангенциркуля и принципом построения его нониусной шкалы.

Рис 1.

В технике нониусом называют вспомогательную шкалу (короткую линейку), с помощью которой производят отсчет долей делений основной шкалы, называемой масштабом. При любом положении нониуса относительно масштабной линейки одно из делений нониуса совпадает (или почти совпадает) с каким-либо делением масштаба.

На рис. 1 изображена шкала штангенциркуля с точностью нониуса 0,1 мм. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с нулевым штрихом масштабной линейки. При измерении ползунок смещается, и размеры отсчитываются с помощью нониуса так, нулевой штрих нониуса показывает целое число мм, а количество десятых долей мм указывает номер совпадающего штриха нониусной шкалы. На рис. 1 изображено показание штангенциркуля:

(мм).

Рис. 2. Штангенциркуль.

На рис. 2 показаны устройство и различные способы измерения толщины бруска, диаметра отверстия и высоты выступа. Нониусами снабжаются штангенциркули, теодолиты и многие другие приборы.

2. С помощью штангенциркуля измерьте линейные размеры параллелепипеда . Данные измерений занесите в соответствующую таблицу, удобную для проведения промежуточных расчетов. Таблицы 1.1, 1.2, 1.3.. Измерение каждого параметра (длины, высоты, ширины) проведете на 5 ¸10 различных участках параллелепипеда.

Таблица 1.1.

№ опыта	a, мм	, мм	, мм²
1.
2.
3.
4.
5.
å		-
Среднее значение		-	-
Случайная погрешность измерений		-	-
Систематическая погрешность (инструментальная)		-	-
Полная погрешность		-	-

Таблица 1.2.

№ опыта	b, мм	, мм	, мм²
1.
2.
3.
4.
5.
å		-
Среднее значение		-	-
Случайная погрешность измерений		-	-
Систематическая погрешность (инструментальная)		-	-
Полная погрешность		-	-

Таблица 1.3

№ опыта	с, мм	, мм	, мм²
1.
2.
3.
4.
5.
å
Среднее значение		-	-
Случайная погрешность измерений		-	-
Систематическая погрешность (инструментальная)		-	-
Полная погрешность		-	-

3. Вычислите по формуле (2) средние значения параметров , данные занесите в таблицу.

4. Вычислите по формуле (3) случайную погрешность измерений каждого из параметров , данные занесите в таблицу.

5. Оцените систематическую погрешность измерений параметров , данные занесите в таблицу.

6. Вычислите по формуле (4) полную погрешность измерений параметров, данные занесите в таблицу. Вычислите и относительную погрешность прямых измерений и запишите измеренное значение параметров в виде (14).

7. Вычислите объем параллелепипеда по формуле (1), с учетом формулы (7) и оцените точность полученного результата по формуле (8). Запишите полученный результат в виде (14).

8. Проведите измерение массы параллелепипеда на электронных весах, оцените погрешность измерения массы, запишите измеренное значение в виде (14).

9. Вычислите плотность материала, из которого изготовлен параллелепипед по формуле:

с учетом формулы (7). Оцените погрешность вычисления плотности по формуле (8). Запишите полученный результат в виде (14). Сделайте вывод о проделанной работе.

10. По заданию преподавателя проделайте п.п. 2-9 для параллелепипеда из другого материала.

11. Оформите отчет о проделанной работе.

Контрольные вопросы.

1. Что такое измерение?

2. Что такое прямые измерения?

3. Что такое косвенные измерения?

4. Что такое промахи?

5. Что такое систематическая ошибка?

6. От чего зависит систематическая ошибка измерений?

7. Как определить систематическую погрешность измерений?

8. Что такое случайная ошибка измерений?

9. Как определить случайную ошибку измерений?

7. Что такое полная ошибка измерений?

8. По какой формуле находится полная погрешность величины , если и - соответственно случайная и систематическая погрешности измерения величины ?

9. Если , то для оценки какой величины можно применять эту формулу, дайте определение величин, входящих в неё?

10. Если , то по какой формуле можно оценить полную среднеквадратичную погрешность измерений величины , дайте определение величин, входящих в неё?

11. Если , то по какой формуле можно оценить величину , дайте определение всех величин, входящих в эту формулу?

12. Если , то по какой формуле можно оценить полную стандартную погрешность измерений , дайте определение всех величин, входящих в эту формулу?

13. Выберите верные из приведенных окончательных записей результатов измерений

a) ; b) ; c) , d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

Рекомендуемая литература.

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.- М.: Наука, 1979.

2. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, 560 с.

3. Методическое пособие по обработке результатов измерений, Мн., МГЭУ, 2005, 36 с.

Литература, использованная при подготовке пособия.

1. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, 560 с.

2. Элементарный учебник физики: Учебное пособие. т.3/ под ред. Г.С.Ландсберга,-М.: «Шрайк», 1995 – 608 с.

3. Лабораторный практикум по общей физике: Учебное пособие. т.1/ А.Д.Гладун, Д.А.Александров, Ф.Ф.Игошин и др., под ред. А.Д.Гладуна. -М.: МФТИ, 2004 – 316 с.

4. Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевнч, А. С. Боровик-Романов и др.- М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. Аронова – Бома эффект – Длинные линии. 1988. 704 с, ил.

Составители:

Борботко Е.П. – ст. преподаватель кафедры общей и медицинской физики;

Федоренчик Е.В. - ст. преподаватель кафедры общей и медицинской физики.

Образец теста для контроля

Тест 2 к лабораторной работе № 2

1. Прямое измерение представляет собой:

a) измерение скорости движения по известному пройденному пути и потраченному на этот путь промежутку времени ;

b) измерение длины стола, с помощью рулетки;

c) измерение площади стола с помощью рулетки:

d) измерение объема параллелепипеда, погружением в жидкость;

e) измерение объема параллелепипеда с помощью штангенциркуля.

2. Косвенное измерение представляет собой:

a) измерение скорости движения по спидометру;

b) измерение массы тела, с помощью весов;

c) измерение массы тела, с помощью безмена;

d) измерение массы тела, с помощью известного значения плотности и измерений объема;

e) измерение площади стола с помощью рулетки:

f) измерение объема параллелепипеда с помощью штангенциркуля

3. Промах представляет собой

a) грубую, большую по величине ошибку, допущенную из-за недосмотра экспериментатора;

b) среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения;

c) значение измеренной физической величины, очень сильно отличающееся от других значений этой же величины, полученных в результате проведенных измерений;

d) корню квадратному из среднеквадратичной ошибки;

e) квадрату стандартного отклонения величины от ее среднего значения.

4. Систематическая ошибка представляет собой:

a) неизвестную ошибку, которая не меняет величину, а меняет знак от опыта к опыту;

b) неизвестную ошибку, которая меняет величину и знак от опыта к опыту;

c) неизвестную ошибку, которая меняет величину и не меняет знак от опыта к опыту;

d) неизвестную ошибку, которая не меняет величину и знак от опыта к опыту.

5. Систематическую ошибку можно оценить:

a) проделав серию из большого количества измерений по формуле по формуле ;