Типы неопределенностей и их раскрытие

Все пределы можно условно разделить на несколько типов, каждый из которых имеет свой способ решения.

I тип. Пределы, содержащие дробно-рациональные или иррациональные функции и дающие неопределенность вида вычисляются путем деления числителя и знаменателя на х в старшей степени дроби.

Пример 4.18.

= (при подстановке вместо х бесконечно большой величины получим неопределенность вида ; а так как х³старшая степень всей дроби, то поделим на нее и числитель, и знаменатель)

Пример 4.1 9 .

Пример 4. 20 .

Пример 4.2 1 .

то старшая степень будет х¹) =

Можно вывести общее правило для этого типа пределов: если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов, стоящих при этих степенях; если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю.

II тип. Пределы, содержащие дробно-рациональные функции и дающие неопределенность при х х₀, решаются делением и числителя, и знаменателя на выражение (х – х₀).

Пример 4.22.

–

2х² – х –1 х – 1 x³+ 2x²– x – 2 x – 1

2х² –2х 2х + 1 x ³ – x ² x²+ 3x + 2

–

х – 1 3x² – x

х – 1 3x² –3x

–

0 2x – 2

2x – 2

Пример 4.23.

= .

–

x² + 2x – 3 x + 3 x³ + 4x² + 3x x + 3

x² + 3x x – 1 x³ + 3x²x² + x

–

– x – 3 x² + 3x

– x – 3 x²+ 3x

0 0

III тип. Пределы, содержащие иррациональные функции и дающие неопределенности или ( ), вычисляются домножением и числителя, и знаменателя на сопряженное выражение, приводящее к формулам разности квадратов, или разности (сумме) кубов.

Пример 4.2 4 .

Пример 4.2 5 .

Пример 4.2 6 .

IV тип. Таблица эквивалентных функций при .

1) sinx ~ x,

2) tgx ~ x,

3) arcsinx ~ x,

4) arctgx ~ x,

5) ln(1+x) ~ x,

Следствие. log_a(1+x) ~ xlna.

6) a^x –1 ~ xlna,

Следствие. e^x –1 ~ x,

7) (1+ x)^m –1 ~ mx.

Пример 4.27.

Пример 4.28.

Пример 4.29.

Пример 4.30.

Пример 4.3 1 .

Непрерывность функций

Определение 4.4.1. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если одновременно выполняются следующие условия:

1) существует значение функции в этой точке ;

2) существуют односторонние пределы функции в этой точке и они равны между собой ;

3) значение функции в этой точке равно односторонним предельным значениям .

Исходя из определения предела функции, можно получить два варианта определения непрерывности в точке:

«по Коши» ,

«по Гейне» .

Введем обозначения:

приращение аргумента ,

приращение функции .

Тогда определение непрерывности в точке х₀ может звучать так: при малых приращениях аргумента малым становится и приращение функции.

Теорема 4.4.1.

Пусть функции и непрерывны в точке х₀. Тогда функции , непрерывны в точке х₀. Если , то функция также непрерывна в точке х₀.

Доказательство.

Оно сразу же следует из теоремы 4.3.3 «предел и арифметика для функций».

Определение 4.4.2. Пусть f – некоторая функция, – её область определения. Назовём функцию f непрерывной на интервале , если f непрерывна в любой точке этого интервала.

Назовём функцию f непрерывной на отрезке , если f непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

Примеры непрерывных функций:

1) непрерывна на всей числовой прямой.

Доказательство.

Пусть и произвольна, тогда .

2) непрерывна на всей числовой прямой.

Доказательство.

Пусть и произвольно, тогда из условия нужно получить . Пусть e>0 и произвольно. Выберем , d –искомое.

3) многочлен непрерывен на всей числовой прямой.

Доказательство следует из теоремы 4.4.1.

4) непрерывна на всей числовой прямой.

Доказательство.

Пусть и произвольно.

Если .

Аналогично можно доказать непрерывность на .

5) непрерывна на всей числовой прямой.

6) – непрерывны на области определения.

Определение 4.4.3. Если хотя бы одно из условий в определении непрерывности нарушается, то точка х₀ называется точкой разрыва.

Классификация точек разрыва:

1. Если существует конечный предел f(x) при х → х₀, но не равный f(x₀), точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 0 рода или устранимый разрыв (рис.4.21). Так как в этом случае возможно переопределение функции в точке х₀ так, чтобы она стала непрерывной.

Рис. 4.21. х₀ – точка устранимого разрыва

2. Говорят, что х₀ – точка разрыва I рода, если функция не определена в точке х_0,значения функции не равно предельному или односторонние пределы не равны между собой (рис.5.22).

Рис. 4.22. х₀ – точка разрыва I рода

3. Если нарушается первое условие в определении непрерывности и хотя бы один из односторонних пределов не существует (равен ), то говорят, что х₀ – точка разрыва II рода (рис.5.23).