ОБРАБОТКА ХАРАКТЕРИСТИК, ИЗМЕРЕННЫХ В РАЗНЫХ ШКАЛАХ

Центральный филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Российский государственный университет правосудия» (г. Воронеж)

Кафедра правовой информатики, информационного права

И естественнонаучных дисциплин

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

к.т.н., доцент

А.В. Мишин

«____» _______ 2018 г.

ПЛАН

Лекционного занятия

Дисциплина: «СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»

Тема 6: «ОСНОВЫ ОЦЕНКИ СИСТЕМ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ШКАЛ ИЗМЕРЕНИЯ»

для студентов 5 курса очной формы обучения

по направлению подготовки (специальности) 40.05.03 – Судебная экспертиза

Профиль (специализация) Криминалистические экспертизы

Разработал:

профессор кафедры

д.т.н., доцент

Л.Е. Мистров

Материалы обсуждены и одобрены

на заседании кафедры ПИИПЕД

Протокол № от « » 2018 г.

Воронеж

2018

План

и методические указания студентам на лекционное занятие

Тема 6: «О сновы оценки систем. Основные типы шкал измерения»

Занятие 7. «Основы оценки систем. Основные типы шкал измерения»

Цели занятия

1. Дать общее представление об основных типах шкал измерения свойство сложных систем в системном анализе.

2. Ознакомить с подходами обработки характеристик свойств сложных систем, измеренных в разных шкалах.

Учебно-материальное обеспечение

1. План и методические указания студентам на занятие по данной теме.

2. Персональный компьютер, проектор.

ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

Учебные вопросы

Время, мин.

Вступительная часть ……………………………………………………. 1. Основные типы шкал измерения ……………………………….…... 1.1. Шкалы номинального типа …………………………………….. 1.2. Шкалы порядка ……………………………………………………… 1.3. Шкалы интервалов …………………………………………………. 1.4. Шкалы отношений …………………………………………………. 1.5. Шкалы разностей …………………………………………………… 1.6. Абсолютные шкалы …………………………………………………. 2. Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах ……….. Заключительная часть…………………………………………….………

5 5 5 5 5 10 10 40 5

Литература:

основная:

1. Спицнадель В. Н. Основы системного анализа: Учебное пособие– Санкт-Петербург, «Издательский дом «Бизнес-пресса», 2000 – 208 с.

2. Антонов А.В. Системный анализ: Учебное пособие для вузов. – М., Высшая школа, 2004. – 454 с.

3. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. – М., Финансы и статистика, 2002. – 368 с.

дополнительная:

4. Сурмин Ю.П. Теория систем и системный анализ: Учебное пособие. – Киев, МАУП, 2003. – 368 с.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ И МЕТОДИКА ЕГО ПРОВЕДЕНИЯ

Подготовительная часть. В часы самоподготовки студенты изучают рекомендованную литературу.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ШКАЛ ИЗМЕРЕНИЯ

Разработка сложных систем выявила проблемы, решение которых возможно на основе комплексной оценки различных по своей природе факторов, разнородных связей и внешних условий. В связи с этим в системном анализе выделился раздел «теория эффективности», связанный с определением качества систем и процессов, их реализующих.

Теория эффективности – научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качества характеристик и эффективности функционирования сложных систем.

В общем случае оценка сложных систем может проводиться для разных целей. Во-первых, для оптимизации – выбора наилучшего порядка (алгоритма) функционирования из нескольких, реализующих один закон функционирования системы. Во-вторых, для идентификации – определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях. В-третьих, для принятия решений по управлению системой. Общим во всех задачах является подход, основанный на разделении понятий «оценка» и «оценивание», которые рассматриваются раздельно и проводятся в несколько этапов. Под оценкой понимают результат, полученный в ходе процесса, который определен как оценивание. Принято считать, что с термином «оценка» сопоставляется понятие «истинность», а с термином «оценивание» – «правильность» или истинная оценка может быть получена только при правильном процессе оценивания.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем.

Этап 1. Определение цели оценивания – выделяют качественные и количественные типы целей. Качественной является цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или шкале порядка, а количественной – в количественных шкалах. Определение цели должно осуществляется относительно системы, в которой рассматриваемая система является элементом.

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание – все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативные варианты, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование их характеристик позволило установить, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, ,Y>, где X реальный объект, Y шкала, гомоморфное отображение X на Y.

В теории измерений определено:

– эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств , на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение . В процессе измерения необходимо каждому свойству поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы рассматриваются как альтернативные варианты, а отношение обеспечивает сравнение этих вариантов;

– знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой системе;

– гомоморфное отображение X на , устанавливающее соответствие между Х и так, что только тогда, когда .

Тип шкалы определяется по , множеству допустимых преобразований .

В соответствии с приведенными понятиями, измерение эмпирической системы X с отношением состоит в определении знаковой системы с отношением , соответствующей измеряемой системе.Предпочтения на множестве в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения на множестве .

Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам или их неразличимым группам присваивается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений.

Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.

Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.

На рис. 1 приведено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: , , , принадлежащих соответствующим множествам. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1,2,...,п и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение Ф ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы.

Рис.1. Измерение объектов в номинальной шкале

Особенности номинальных шкал.

- элементам с и d поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения, что означает, что при измерении эти элементы не различаются;

- при измерении в шкале наименований символы 1,2,3,...,п, используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и различия объектов.

Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности для исключения ошибочных выводов по оценке систем, не соответствующие действительности.

Шкалы порядка

Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование , которое удовлетворяет условию: если , то и для любых шкальных значений из области определения . Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Измерение в шкале порядка может применяться, например, в ситуациях:

• необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве – это ситуация, когда анализируют не сравнение степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимное пространственное или временное расположение этих объектов;

• нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

• какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примером шкалы порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, различные социологические шкалы и т.п.

Любая шкала, полученная из шкалы порядка с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.

Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются шкалы гиперпорядка. Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, т.е. преобразования , такие, что для любых и , только когда и принадлежат области определения и .При измерении в шкалах гиперпорядка сохраняется упорядочение разностей численных оценок.

Шкалы интервалов

Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида , где шкальные значения из области определения ; ; любое значение.

Основным свойством шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах: – отсюда и название типа шкалы.

Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур: переход от одной шкалы к эквивалентной, например, от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: . В качестве другого примера измерения может служить признак «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета (григорианский и мусульманский календари две конкретизации шкал интервалов).

Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение, как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов как номинальная и порядковая сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов, а также сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись означает, что расстояние между и в К раз больше расстояния между и и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохраняется. При этом отношения самих оценок не сохраняются.

Типичная ошибка – свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными. Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка (игнорирование этого факта часто приводит к неверным результатам).

Шкалы отношений

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия , , где – шкальные значения из области определения Y; а – действительные числа.

Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в одной шкале объектам и соответствуют шкальные значения и , а в другой и , где – произвольное действительное число, тогда: – данное соотношение объясняет название шкал отношений.

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах – другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется, то есть шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра . Такая фиксация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.

Шкалы разностей

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига , где – шкальные значения из области определения Y; действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если и – оценки объектов и в одной шкале, а и – в другой шкале, то имеем: .

Примерами измерений в шкалах разностей могут служить результаты измерения прироста продукции экспертов (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество раскрытых преступлений за год и т.д.

Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра , т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной.

Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

Абсолютные шкалы

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: , где . Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему, то есть для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала ; , , , и ее разновидность логарифмическая шкала ; , .

На рис. 2 для наглядности приведены соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал, где стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал (при этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе ).

Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.

ОБРАБОТКА ХАРАКТЕРИСТИК, ИЗМЕРЕННЫХ В РАЗНЫХ ШКАЛАХ

При проведении измерений необходимо отделять существенно несравнимые альтернативные варианты от несравнимых альтернатив, допускающих косвенную сравнительную оценку.

Так, например, если эксперт считает несравнимыми альтернативы и , но в то же время считает альтернативу более предпочтительной, а альтернативу менее предпочтительной, чем , то можно с определенными оговорками считать более предпочтительной, чем . Отношение при наличии несравнимых альтернатив является отношением частичного порядка. В этом случае вводится понятие квазишкалы.

Особенностью измерения и оценивания качества сложных систем является возможность применения для одной системы по разным частным показателям качества любых из типов шкал от самых слабых до самых сильных. При этом для получения надежного значения показателя может проводиться несколько измерений. Кроме того, обобщенный показатель системы может представлять собой некую осредненную величину однородных частных показателей.

При измерении и оценке физических величин обычно трудностей не возникает, так как перечисленные величины измеряются в абсолютной шкале. Отдельные показатели в процессе системного анализа уточняются, и, как следствие, появляется возможность от измерения и оценки в качественных шкалах перейти к оценке в количественных шкалах.

В любом случае при работе с величинами, измеренными в разных шкалах, необходимо соблюдать определенные правила, иначе неизбежны грубые просчеты при оценке систем. Рассмотрим широко распространенную ошибку при использовании балльной оценки. Пусть для экспертизы представлены две системы А и Б, оцениваемые по свойствам , , , . Качество каждой системы оценивается как среднеарифметическое по пятибалльной системе, но оценка в баллах является вследствие округления не совсем точной. Так, например, свойства, имеющие фактический уровень 2,6 и 3,4 балла, получат одинаковую оценку 3 балла. Результаты экспертизы приведены в табл. 1.

По фактическому качеству лучшей является система А, а по результатам экспертизы лучшей признают систему Б. Таким образом, способы измерения и обработки их результатов оказывают существенное влияние на результаты.

Таблица 1

Пример балльной оценки свойств систем

Свойство системы	Система А		Система Б
Свойство системы	истинная	в баллах	истинная	в баллах
	4,4	4	3,6	4
	3,3	3	3,7	4
	2,4	2	2,6	3
	4,4	4	2,6	3
Суммарная оценка	14,5	13	12,5	14

Избежать ошибок можно, используя результаты теории шкалирования, которые определяют правила и перечень допустимых операций осреднения характеристик:

- проводить осреднение допускается только для однородных характеристик, измеренных в одной шкале, то есть осредняются только такие значения , , которые представляют собой или оценки различных измерений одной и той же характеристики, или оценки нескольких различных однородных характеристик;

- каждое значение показателя может иметь для исследователя различную ценность, которую учитывают с помощью коэффициентов значимости , причем .

Для получения осредненного значения показателя наиболее часто применяют основные формулы осреднения, приведенные для примера в табл. 2.

Таблица 2

Основные формулы осреднения показателей

Наименование	Формула
Средневзвешенное арифметическое (СВА)
Среднеарифметическое (СА), частный случай СВА при равнозначности измерений ( )
Среднеквадратичное (СК)
Средневзвешенное геометрическое (СВГм)
Среднегеометрическое (СГм), частный случай СВГм при
Средневзвешенное гармоническое (СВГр)
Среднегармоническое (СГр)

Простые и взвешенные средние величины различаются не только по величине (не всегда), способу вычисления, но и своей роли в решении задач системного анализа. При этом средневзвешенные величины используются для сравнения систем с учетом вклада различных факторов в осредненную оценку.

Среднеарифметическое используется в случаях, когда важно сравнить абсолютные значения какой-либо характеристики нескольких систем. Например, скорость вывода на печать текстов (лист/мин.) для различных печатающих устройств.

Если при замене индивидуальных значений показателя на среднюю величину требуется сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин (измерение вариации характеристики в совокупности), то в качестве средней используют среднеквадратичное. Например, при определении местоположения источника радиоизлучения в радиоразведке вычисляется среднеквадратичное отклонение нескольких измерений.

Среднегеометрическое используют для определения относительной разности отдельных значений при необходимости сохранения произведения индивидуальных величин тогда, когда среднее значение качественно одинаково удалено от максимального и минимального значений, т.е. когда важны не абсолютные значения, а относительный разброс характеристик. Например, если максимальная производительность процессора на операциях с данными целочисленного типа составляет для сжатия текстового файла миллион условных единиц, а для сжатия изображений графических объектов сто, то какую величину считать средней? Среднеарифметическое (500 000) качественно однородно с максимальным и резко отлично от минимального. Среднегеометрическое по логике дает верный ответ: 10 000. В статистике среднегеометрическое находит применение при определении средних темпов роста.

Среднегармоническое используется, если необходимо, чтобы неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям характеристик. Пусть, например, в режиме обмена данными средняя скорость передачи данных по прямому каналу составляет 64 Кбайт/с, а средняя скорость по обратному каналу 2,4 Кбайт/с. Какова средняя скорость обмена данными? При замене индивидуальных значений скорости =64 и =2,4 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время передачи в обе стороны, иначе средняя скорость может оказаться любой. Таким образом, =2(1/64+1/2,4)^-1=4,8 Кбайт/с.

Приведенные примеры показывают, что в каждом конкретном случае требуется четкое определение допустимых условий применения средних величин.

Соотношение между разными типами средних величин определяется правилом мажорантности средних . Использование необоснованных способов определения средних величин может привести к искусственному завышению или занижению осредненного значения показателя качества системы.

Сводные данные по характеристикам разных шкал и перечень допустимых операций осреднения характеристик приведены в табл. 2, откуда следует, что для величин, измеренных в номинальной шкале, никаких осреднений производить не допускается.

Среднеарифметическое применимо для величин, измеренных в шкалах интервалов, разностей, отношений и абсолютной, но недопустимо для шкалы порядка.

Более устойчивой оценкой среднего является медиана (50-процентный квантиль), которая рекомендуется как основной показатель для шкал порядка, интервалов, разностей, отношений и абсолютной. Математическое ожидание допустимо для шкал интервалов, разностей, отношений и абсолютных, но не столь устойчиво, как медиана. Применение математического ожидания для величин, измеренных в шкале порядка, является некорректным. Среднегеометрическое является единственно допустимым средним для степенных и логарифмических шкал, а также одним из допустимых для шкалы отношений. Для шкалы отношений допустимы также средневзвешенное арифметическое, среднегармоническое и среднеквадратичное.

Средневзвешенное арифметическое, часто применяемое как обобщенный линейный критерий (аддитивная свертка при сведении векторной задачи к скалярной, при осреднении показателей и др.), допустимо использовать когда значения частных показателей можно представить мультипликативным метризованным отношением линейного порядка или, другими словами, когда они измерены в шкале отношений.

Таблица 2

Сводные данные по характеристикам разных шкал

Развитие теории шкалирования и ее применение для обеспечения измерения сложных систем связано с расширением понимания шкалы на основе использования понятий нечеткой и лингвистических переменных теории нечетких множеств путем перехода к понятию функции принадлежности . Это создает базу для введения более тонкой структуры измерения качественных характеристик и учета неопределенностей, свойственных сложным системам, на основе понятия нечеткой шкалы.

Пусть рассматриваемое нечеткое множество возраст людей. Нечеткими переменными (шкальными значениями), означающими возраст, являются лингвистические переменные «молодой», «средний», «старый» с приписанными им функциями принадлежности, которые можно определить так, как показано на рис. 3. При этом 20-летний человек относится к нечеткому подмножеству возраста «молодой» с

Рис. 3. Пример нечеткой шкалы

функцией принадлежности , и он же с функцией принадлежности относится к нечеткому подмножеству возраста «средний».

Вопросы для контроля

1. Что такое оценка и оценивание сложных систем? В чем существенная разница между этими понятиями?

2. Для каких целей проводится оценка сложных систем? Каковы основные этапы оценивания сложных систем?

3. Что называется шкалой в теории измерений? Как определяется тип шкалы?

4. Какие шкалы называются шкалами номинального типа?

5. Какая шкала называется ранговой (шкалой порядка)? Когда она применяется?

6. Какие шкалы относятся к шкалам типа интервалов? Когда они применяются?

7. Какая шкала называется шкалой отношений? Когда она применяется?

8. Какие шкалы относятся к шкалам типа разностей? Когда они применяются?

9. Какая шкала называется абсолютной шкалой? Где она применяется?

10. Какие правила надо соблюдать при работе с величинами, измеренными в разных шкалах?

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 1582; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!