Наибольшее и наименьшее значение функции.
Теорема Вейерштрасса . Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на нем наибольшее и наименьшее значения. Эти значения находятся либо на концах промежутка, либо в экстремальных точках.
Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции
1. Найти первую производную и все критические точки , принадлежащие .
2. Вычислить значения .
3. Вычислить значения функции на концах промежутка.
4. Сравнить все полученные значения функции , , и выбрать среди них наибольшее и наименьшее.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Решение. Необходимое условие экстремума , поэтому , а корни уравнения являются критическими точками, но промежутку принадлежит только . Найдем теперь и на концах промежутка и . Среди них самое большое 23, самое меньшее 7.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Пусть кривая задана функцией .
Определение 1. Кривая называется выпуклой вверх (вниз) на отрезке , если все точки кривой находятся ниже (выше) любой касательной к графику функции.
Определение 2 . Точка , отделяющая вогнутую часть от выпуклой, называется точкой перегиба графика функции .
Теорема . Если функция дважды дифференцируема на некотором промежутке, причем для любого из этого промежутка, то на этом промежутке график функции выпуклый, если , то график вогнутый.
Из теоремы следует, что для нахождения промежутков (выпуклости) вогнутости надо найти вторую производную функции и определить промежутки, где она положительна (отрицательна). Необходимым условием существования точки перегиба является обращение в нуль второй производной или ее отсутствие в точке , то есть условие или .
В случае выполнения одного из этих условий точка называется критической точкой второго рода.
|
|
Достаточным условием того, что точка - точка перегиба является смена знака второй производной при переходе через критические точки второго рода.
Правило нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба функции.
1. Указать область определения функции.
2. Найти критические точки второго рода, принадлежащие области определения функции.
3. Определить знак второй производной в каждом интервале области определения между соседними критическими точками.
4. По знаку установить интервалы выпуклости, вогнутости и по смене знака второй производной в окрестности точки – наличие или отсутствие точки перегиба.
Асимптоты графика функции
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или .
|
|
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
1. Вертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой, если при хотя бы один из односторонних пределов в точке бесконечен, т.е. или т. е. в точке функция терпит разрыв второго рода.
Задача. Найти вертикальные асимптоты функции .
Решение. При и функция не определена. Найдем односторонние пределы при .
, ; , .
Следовательно, , вертикальные асимптоты графика.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 140; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!