Производная и правила дифференцирования
1. Пусть функция 
= 
получила приращение 
, соответствующее приращению аргумента 
.
Определение . Если существует предел отношения приращения функции 
к вызвавшему его приращению аргумента 
, при , стремящимся к нулю, т. е. 
, то он называется производной функции 
по независимой переменной 
и обозначается 
, или 
, или 
.
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.
Задача 1. Используя определение, найти производные функций
а) 
, б) 
.
Решение: а) Дадим аргументу приращение и найдем соответствующее значение функции 
= 
, теперь найдем 
и составим отношение 
.
Осталось вычислить 
, 
.
б) пусть аргумент получил приращение , новому значению аргумента соответствует значение функции 
.
Найдем приращение . 
.
Тогда 
, 
.
Основные правила дифференцирования
Если 
=соnst, а функции 
, 
дифференцируемы, то
1. 
4. 
;
2. 
; 5. 
;
3. 
; 6. 
.
Таблица производных основных элементарных функций
1. 
; 10. 
;
2. 
, 
; 11. 
;
3. 
; 12. 
;
4. 
; 13. 
;
5. 
; 14. 
;
6. 
; 15. 
;
7. 
; 16. 
;
8. 
; 17. 
;
9. 
; 18. 
.
Правило дифференцирования сложной функции
Если 
и 
, т. е. 
, где и 
имеют производные, то 
. Здесь 
– промежуточный аргумент. Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Задача 2. Найти производные функций:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
Решение: а) представим функцию в табличной форме как сумму степенных функций и затем только найдем производную.
,
.
б) введем промежуточный аргумент и затем воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
, 
, 
=3 
;
в) пусть 
, где 
, тогда 
,
= 
= 
.
Окончательно: 
, 
;
г) правило 4 можно распространить на любое число сомножителей, если перемножаемые функции дифференцируемы.
, 
, в данном случае
, 
, 
, 
,
, 
,
.
Дифференцирование сложной показательно-степенной функции 
. Логарифмическое дифференцирование
Пусть 
и 
– дифференцируемые функции. Чтобы найти производную функции 
предварительно прологарифмируем ее по основанию 
: 
, теперь воспользуемся правилом 3 и 6
, откуда 
(1)
Задача 3. Найти производные функций а) 
, б) 
Решение: а) воспользуемся формулой (1): Пусть 
, 
, найдем 
, 
и подставим в формулу (1):
б) сначала прологарифмируем 
. Дифференцируя левую и правую части равенства, получим:
, теперь найдем 
= 
.
Метод, основанный на предварительном логарифмировании функции, не требует запоминания формулы и имеет более широкий спектр применения, в частности при дифференцировании большого количества сомножителей.
Задача 4. Найти производные функций:
а) 
, б) 
.
Решение: а) воспользуемся свойствами логарифмической функции:
, 
, 
, 
.
Итак, 
, 
,
.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Если зависимость функции и аргумента 
задана посредством параметра 
: 
, то 
, или 
. (2)
Пример 1. Найти 
, если 
, 
. Это параметрические уравнения окружности 
с центром в начале координат и радиуса 
.
Решение. Находим 
и 
.
Отсюда 
.
Пример 2. Найти 
от функции: 
, 
.
Решение: 
, 
,теперь по формуле (2)
найдем 
.
Производная неявной функции
Пусть уравнение 
не разрешено относительно функции 
, т.е. функция 
задана неявно. Чтобы найти производную 
, надо продифференцировать левую и правую часть уравнения, учитывая, что есть функция аргумента 
. Рассмотрим это правило на примерах.
Пример 1. Найти , если а) 
, б) 
.
Решение: а) 
, выразив , получим 
. 
;
б) дифференцируя обе части этого уравнения, получим уравнение относительно : 
, 
;найдем теперь 
.
 |
Геометрический смысл производной
Здесь 
– угол наклона касательной к графику функции 
и точке 
. Через две точки 
и 
кривой 
проведем секущую 
, ее угловой коэффициент 
. Двигая точку 
по кривой к точке 
, мы будем поворачивать секущую вокруг точки 
, в результате секущая стремится занять положение касательной, проведенной к графику в точке, а угол 
стремится к углу – наклона касательной, т.е. 
,
где 
– угловой коэффициент касательной. Известное уравнение прямой 
используем как уравнение касательной, проведенной к графику функции 
в точке 
, с угловым коэффициентом 
. Тогда уравнение касательной примет вид
(3)
Задача. Найти уравнение касательной к графику функции
а) 
в точке 
, б) 
, 
в точке 
.
Решение. а) Сначала вычислим ординату точки касания 
. Затем производную в точке 
,
. Это угловой коэффициент касательной.
Подставим найденные параметры в уравнение (3)
– искомая касательная;
б) кривая задана параметрически; найдем координаты точки касания, подставив значение параметра в уравнение кривой: 
, 
. Для отыскания углового коэффициента воспользуемся формулой 
, 
, теперь запишем уравнение касательной 
, или 
.
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 175; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!