Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИПР
_______________ А.Ю. Дмитриев
«____»_____________2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1
Методические указания и индивидуальные задания
для студентов ИПР, обучающихся по направлению
080200 «Mенеджмент»
Составители
С.В. Рожкова
В.И. Рожкова
Г.А. Никольская
Г.М. Матвеенко
| Семестр | 1 |
| Кредиты | 4 |
| Лекции, часов | 8 |
| Практические занятия, часов | 8 |
| Индивидуальные задания | 2 |
| Самостоятельная работа, часов | 200 |
| Формы контроля | Экзамен |
Издательство
Томского политехнического университета
2012
УДК 517
ББК
Математический анализ 1: методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлению 080200 «Mенеджмент» / сост. С.В. Рожкова, В.И. Рожкова,
Г.М. Матвеенко, Г.А. Никольская; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.– 49с.
|
|
|
Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим
семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ______2011 года, протокол № ___.
Зав. кафедрой ВМ,
профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев
Рецензент
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры ВМ ФТИ
Э.М. Кондакова
© Составление.ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Рожкова С.В., Рожкова В.И.,
Матвеенко Г.М, Никольская Г.А., составление, 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011
Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Предел функции
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Число 
называется пределом функции 
при 
, стремящемся к , если для любого 
можно указать такое число 
, что для всех 
, отличных от и удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Если 
есть предел функции 
при стремящемся к то пишут
или 
при 
.
Число 
называется пределом функции в точке слева (пишут 
), если стремится к пределу при 
, стремящемся к числу так, что принимает только значения, меньшие 
. Если 
принимает только значения, большие , то пишут 
и называют 
пределом функции в точке справа.
|
|
|
При вычислении пределов функций используются следующие теоремы:
Если каждая из функций 
и 
имеет конечный предел при 
, то сумма, разность и произведение этих функций также имеет конечный предел, причем
Если, кроме того, 
, то и частное 
имеет конечный предел, причем 
.
Следствие:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
, где 
.
1) Если 
и 
− натуральное число, то
.
Кроме того, при вычислении пределов нужно обратить внимание на то, что элементарные функции непрерывны там, где они определены, т.е.
. (1)
Пример. Найти 
.
Решение.
Однако, бывают случаи, когда теоремы о пределах суммы, частного и произведения неприменимы, т.к. при вычислении пределов получаются неопределенности 
.
Для вычисления таких пределов функцию заменяют функцией 
, принимающей в окрестности точки те же значения, что и и определенной в точке . Пределы таких функций равны, т.е.
.
Рассмотрим простейшие приемы раскрытия неопределенностей и нахождения пределов функций.
|
|
|
Неопределенность 
.
Рассмотрим предел дробно-рациональной функции, когда при 
и числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю.
Пример. Найти 
.
Решение.
Непосредственный переход к пределу по формуле (1), дает неопределенность 
, т.е. функция в точке 
неопределена. Для решения задачи поступим следующим образом, разделим числитель и знаменатель дроби на 
, получим
.
Тогда 
.
Сформулируем правило.
Для того, чтобы найти предел дробно-рациональной функции в случае, когда при и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на 
и перейти к пределу 
в полученном выражении. Если и после этого неопределенность сохраняется, то надо произвести повторное деление на .
Пусть − дробь, содержащая иррациональные выражения.
Пример. Найти. 
.
Решение.
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 
. Тогда 
Пример. Найти 
Решение. 
Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, в случае, когда пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю, надо освободиться от имеющихся иррациональностей, после этого сделать необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение одинаковых множителей и т. п.) и перейти к пределу при 
в полученном выражении.
|
|
|
Замечание. В этом случае используются формулы сокращенного умножения
Неопределенность вида 
.
Рассмотрим предел при 
отношения двух многочленов
В данном случае теорема о пределе дроби неприменима, т.к. пределы числителя и знаменателя не существуют.
Преобразуем дробь следующим образом:
Очевидно, что 
и 
Тогда 
Правило. Чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при 
числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные бесконечности, надо числитель и знаменатель дроби разделить на 
в наибольшей степени, встречающейся в членах дроби, а затем прейти к пределу.
Пример. Найти 
Решение.
Пример. Найти 
Решение.
Пример. Найти 
.
Решение.
Пусть 
− дробь, содержащая иррациональности. При 
имеем неопределенность , которую раскрывают по правилу, указанному в предыдущем пункте, т.е. делят числитель и знаменатель дроби на в высшей степени, а затем переходят к пределу при .
Пример. Найти 
.
Решение.
Первый замечательный предел
Для раскрытия неопределенности 
от функций, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции используют первый замечательный предел
и следствия из него
.
Примеры.
Замечание. В этом примере использована формула тригонометрии
Второй замечательный предел
Для раскрытия неопределенностей вида 
используют предел
Пример. Найти 
.
Решение.
Очевидно, что 
Таким образом, имеем неопределенность . Воспользуемся вторым замечательным пределом, для этого преобразуем сначала выражение, стоящее в скобках, а именно, добавим и вычтем единицу
Теперь показатель степени 
домножим и разделим на дробь 
,
получим 
.
Перейдем к пределу при 
так как 
Непрерывность функций
Определение 1. Функция 
с областью определения 
называется непрерывной в точке 
, если выполнены следующие условия:
1) функция определена в точке , т.е. 
;
2) существует 
;
3) 
Условие пункта 2 эквивалентно существованию равных односторонних пределов функции в точке , т.е.
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1−3, то точка 
называется точкой разрыва функции .
При исследовании функции на непрерывность пользуются следующей теоремой:
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Определение 2. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала 
, где 
, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Следовательно, функция может иметь разрыв в точках, где она меняет способ своего задания или не определена.
Существуют следующие виды точек разрыва.
|
существует конечный
предел функции , но он не равен значению
функции в этой точке, т.е.
то такая точка называется точкой
разрыва I рода (устранимый разрыв).
2. Точка называется точкой разрыва I рода
|
, если
в этой точке существуют конечные
односторонние пределы функции
,
но они не равны между собой.
3.Точка 
называется точкой разрыва II рода или точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов функции 
в точке 
равен бесконечности 
.
Пример. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип:
а) 
Данная функция определена на всей числовой оси. Она задана двумя различными формулами для интервалов 
и 
и может иметь разрыв в точке 
, где меняется способ ее задания. Найдем односторонние пределы в точке :
так как слева от точки 
функция 
так как справа от точки функция 
.
Таким образом, в точке функция 
имеет конечные односторонние пределы, но они не равны между собой 
. Следовательно, - точка разрыва I рода (точка скачка). Во всех остальных точках числовой оси данная функция непрерывна, так как формулы, которыми она задана определяют элементарные непрерывные функции. Построим график этой функции.
б) 
Функция 
определена для всех значений кроме 
и 
. Эта функция элементарная, значит, она непрерывна во всей области своего определения 
. В точках и 
функция 
имеет разрывы, так как нарушается первое условие непрерывности. Чтобы определить характер разрыва в этих точках, найдем односторонние пределы
Поскольку все односторонние пределы равны бесконечности, функция 
терпит в точках и 
разрывы II рода. Построим график функции
в) 
.
Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки 
. Из этого следует, что в точке 
функция 
имеет разрыв. Найдем односторонние пределы
Так как предел справа в точке равен бесконечности, заключаем, что 
– точка разрыва II рода. Построим график функции 
Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1
Введение в анализ
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
1.1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.3. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.4. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.6. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.7. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.8. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.9. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.10. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.11. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.12. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.13. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.14. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.15. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.16. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.17. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.18. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.19. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.20. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
2. Исследовать функцию 
на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.
2.1. а) 
б) 
; в) 
;
2.2. а) 
б) 
; в) 
;
2.3. а) 
б) 
; в) 
;
2.4. а) 
б) 
; в) 
;
2.5. а) 
б) 
; в) 
;
2.6. а) 
б) 
; в) 
;
2.7. а) 
б) 
; в) 
;
2.8. а) 
б) 
; в) 
;
2.9. а) 
б) 
; в) 
;
2.10. а) 
б) 
; в) 
;
2.11. а) 
б) 
; в) 
;
2.12. а) 
б) 
; в) 
;
2.13. а) 
б) 
; в) 
;
2.14. а) 
б) 
; в) 
;
2.15. а) 
б) 
в) 
;
2.16. а) 
б) 
; в) 
;
2.17. а) 
б) 
; в) 
;
2.18. а) 
б) 
; в) 
;
2.19. а) 
б) 
; в) 
;
2.20. а) 
б) 
; в) 
;
Методические указания к выполнению
контрольной работы № 2
Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 238; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!