Вибіркове середнє квадратичне відхилення:

. (8.6.7)

Приклад 8.6.1 У результаті тестування група з 25 чоловік набрала бали: 3, 2, 4, 3, 2, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4.

а) Скласти таблицю розподілу частот і відносних частот.

б) Побудувати полігон частот.

в) Знайти емпіричну функцію й побудувати її графік.

г) Обчислити числові характеристики .

Розв’язання. Проранжуємо вихідний ряд:

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5.

а) Об'єм вибірки n = 25. Підрахуємо частоти , частості варіант . Складемо таблицю розподілу:

x_i	2	3	4	5
n_i	9	9	5	2
w_i	0,36	0,36	0,2	0,08

Перевірка (згідно (8.6.1)): , .

б) Побудуємо полігон частот:

Рис. 8.6.1 – Полігон частот

в) Емпірична функція варіаційного ряду будується аналогічно інтегральній функції розподілу дискретної випадкової величини (приклад 8.2.1 в); замість ймовірностей беремо відносні частоти ). Одержимо:

Рис. 8.6.2 – Графік емпіричної функції

г) Обчислимо числові характеристики . Вибіркове середнє за формулою (8.6.3): , дисперсія , де (за формулами (8.6.6)). Об'єм вибірки є непарним числом, тому медіана згідно (8.6.4) (13-те значення в ранжованому ряду). Найбільша частота відповідає двом варіантам, значить, варіаційний ряд є двомодальным й мода . Розмах за формулою (8.6.5) .

Література: [4, с. 606 – 616], [18], [21].

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1

Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія

1.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методами:

· оберненої матриці,

· Крамера,

· Гаусса.

1.1.1.	1.1.2.	1.1.3.
1.1.4.	1.1.5.	1.1.6.
1.1.7.	1.1.8.	1.1.9.
1.1.10.	1.1.11.	1.1.12.
1.1.13.	1.1.14.	1.1.15.
1.1.16.	1.1.17.	1.1.18.
1.1.19.	1.1.20.	1.1.21.

1.1.22.	1.1.23.	1.1.24.
1.1.25.	1.1.26.	1.1.27.
1.1.28.	1.1.29.	1.1.30.

1.2. За координатами вершин піраміди засобами векторної алгебри знайти:

· довжину сторони ,

· косинус кута між ребрами і ,

· об’єм піраміди ,

· роботу сили, що є рівнодіючою сил і , під дією якої тіло переміщується прямолінійно з точки в точку .

1.2.1.	, ,
1.2.2.	, ,
1.2.3.	, ,
1.2.4.	, ,
1.2.5.	, ,
1.2.6.	, ,
1.2.7.	, ,
1.2.8.	, ,
1.2.9.	, ,
1.2.10.	, ,
1.2.11.	, ,
1.2.12.	, ,
1.2.13.	, ,
1.2.14.	, ,
1.2.15.	, ,
1.2.16.	, ,
1.2.17.	, ,
1.2.18	, ,
1.2.19.	, ,
1.2.20.	, ,
1.2.21.	, ,
1.2.22	, ,
1.2.23	, ,
1.2.24	, ,
1.2.25	, ,
1.2.26	, ,
1.2.27	, ,
1.2.28	, ,
1.2.29	, ,
1.2.30	, ,

1.3. За координатами вершин трикутника знайти:

· рівняння лінії ,

· рівняння висоти ,

· довжину висоти .

1.3.1. А(-5;2), В(2;-1), С(1;-2)	1.3.2. А(1;1), В(-5;4), С(-2;5)
1.3.3. А(0;3), В(2;4), С(-8;-1)	1.3.4. А(-1;1), В(-7;4), С(-4;5)
1.3.5. А(1;-3), В(3;-5), С(-5;7)	1.3.6. А(1;-1), В(-5;2), С(-2;3)
1.3.7. А(2;-1), В(4;2), С(5;1)	1.3.8. А(-1;-1), В(-7;2), С(-4;3)
1.3.9. А(9;6), В(-7;-6), С(0;18)	1.3.10. А(1;0), В(7;3), С(4;4)
1.3.11. А(1;1), В(7;4), С(4;5)	1.3.12. А(7;1), В(-5;-4), С(-9;-1)
1.3.13. А(-1;1), В(5;4), С(2;5)	1.3.14. А(-2;1), В(-18;-11), С(-11;13)
1.3.15. А(1;-1), В(7;2), С(4;5)	1.3.16. А(10;-1), В(-2;-6), С(-6;-3)
1.3.17. А(-1;-1), В(5;2), С(2;3)	1.3.18. А(-12;6), В(12;-1), С(-6;23)
1.3.19. А(0;1), В(6;4), С(3;5)	1.3.20. А(8;0), В(-4;-5), С(-8;-2)
1.3.21. А(6;2), В(30;-5), С(12;19)	1.3.22. А(3;-5), В(4;1), С(5;-2)
1.3.23. А(4;3), В(-12;-9), С(-5;15)	1.3.24. А(-2;7), В(3;-3), С(2;5)
1.3.25. А(-1;7), В(11;2), С(17;10)	1.3.26. А(11;4), В(-1;-1), С(5;7)
1.3.27. А(1;1), В(-15;11), С(-8;13)	1.3.28. А(21;5), В(-3;-2), С(-7;11)
1.3.29. А(-14;10), В(10;3), С(-8;27)	1.3.30. А(20;5), В(-4;12), С(-8;9)

1.4. Привести рівняння кола до канонічного виду, знайти центр кола та його радіус:

1.4.1.	1.4.2.
1.4.3.	1.4.4.
1.4.5.	1.4.6.
1.4.7.	1.4.8.
1.4.9.	1.4.10.
1.4.11.	1.4.12.
1.4.13.	1.4.14.
1.4.15.	1.4.16.
1.4.17.	1.4.18.
1.4.19.	1.4.20.
1.4.21.	1.4.22.
1.4.23.	1.4.24.
1.4.25.	1.4.26.
1.4.27.	1.4.28.
1.4.29.	1.4.30.

1.5. За координатами точок із завдання 1.2.х. знайти:

· рівняння площини ,

· рівняння площини, що проходить через паралельно ,

· довжину висоти .

Модуль 2 . Вступ в математичний аналіз

2.1. Знайти границі:

2.1.1.		,	,
		,	.
2.1.2.	,	,	,
	,	,	.
2.1.3.	,	,	,
	,	,	.
2.1.4.		,	,
	,		.
2.1.5.	,	,	,
	,	,	.
2.1.6.	,	,	,
	,	,	.
2.1.7.	,	,	,
	,	,	.
2.1.8.	,	,	,
	,	,	.
2.1.9.	,	,	,
	,	,	.

2.1.10.	,	,	,
	,	,	.
2.1.11.	,	,	,
	,	,	.
2.1.12.	,	,	,
	,	,	.
2.1.13.	,	,	,
	,	,	.
2.1.14.	,	,	,
	,	,	.
2.1.15.	,	,	,
	,		.
2.1.16.	,	,	,
	,	,	.
2.1.17.	,	,	,
	,	,	.
2.1.18.	,	,	,
	,	,	.
2.1.19.	,	,	,
	,	,	.
2.1.20.	,	,	,
	,	,	.
2.1.21.	,	,	,
	,	,	.
2.1.22.	,	,	,
	,	,	.
2.1.23.	,	,	,
	,	,	.
2.1.24.	,	,	,
	,	,	.
2.1.25.	,	,	,
	,	,	.
2.1.26.	,	,	,
	,	,	.
2.1.27.		,	,
	,	,	.
2.1.28.	,	,	,
	,	,	.
2.1.29.		,	,
	,	,	.
2.1.30.	,	,	,
	,	,	.

2.2. Знайти похідну функцій:

2.2.1.	,	,	.
2.2.2.	,	,	.
2.2.3.	,	,	.
2.2.4.	,	,	.
2.2.5.	,	,	.
2.2.6.	,	,	.
2.2.7.	,	,	.
2.2.8.	,	,	.
2.2.9.	,	,	.
2.2.10.	,	,	.
2.2.11.	,	,	.
2.2.12.	,	,	.
2.2.13.	,	,	.
2.2.14.	,	,	.
2.2.15.	,		.
2.2.16.	,	,	,
2.2.17.	,	,	.
2.2.18.	,	,	.
2.2.19.	,	,	.
2.2.20.	,	,	.
2.2.21.	,	,	.
2.2.22.	,	,	.
2.2.23.	,	,	.
2.2.24.	,	,	.
2.2.25.	,	,	.
2.2.26.	,	,	.
2.2.27.	,	,	.
2.2.28.	,	,	.
2.2.29.	,	,	.
2.2.30.	,	,	.

2.3. Засобами диференціального числення дослідити функцію та побудувати її графік.

2.3.1.	2.3.2.	2.3.3.
2.3.4.	2.3.5.	2.3.6.
2.3.7.	2.3.8.	2.3.9.
2.3.10.	2.3.11.	2.3.12.
2.3.13.	2.3.14.	2.3.15.
2.3.16.	2.3.17.	2.3.18.
2.3.19.	2.3.20.	2.3.21.
2.3.22.	2.3.23.	2.3.24.
2.3.25.	2.3.26.	2.3.27.
2.3.28.	2.3.29.	2.3.30.

2.4. Тіло рухається прямолінійно за законом , де ‑ час (у секундах), ‑ шлях (у метрах). Знайти в момент часу :

· миттєву швидкість,

· прискорення.

2.3.1.	2.3.2.	2.3.3.
2.3.4.	2.3.5.	2.3.6.
2.3.7.	2.3.8.	2.3.9.
2.3.10.	2.3.11.	2.3.12.
2.3.13.	2.3.14.	2.3.15.
2.3.16.	2.3.17.	2.3.18.
2.3.19.	2.3.20.	2.3.21.
2.3.22.	2.3.23.	2.3.24.
2.3.25.	2.3.26.	2.3.27.
2.3.28.	2.3.29.	2.3.30.

2.5. Для функції знайти:

· похідну функції за напрямом вектора в точці ,

· напрям найшвидшого зростання функції в точці ,

· найбільше та найменше значення похідних за напрямом в точці ,

· локальні екстремуми.

2.5.1.	2.5.2.
2.5.3.	2.5.4.
2.5.5.	2.5.6.
2.5.7.	2.5.8.
2.5.9.	2.5.10.
2.5.11.	2.5.12.
2.5.13.	2.5.14.
2.5.15.	2.5.16.
2.5.17.	2.5.18.
2.5.19.	2.5.20.
2.5.21.	2.5.22.
2.5.23.	2.5.24.
2.5.25.	2.5.26.
2.5.27.	2.5.28.
2.5.29.	2.5.30.

Модуль 3 . Невизначений і визначений інтеграли

3.1. Знайти невизначені та визначені інтеграли:

а) методом безпосереднього інтегрування,

б) методом заміни змінної (підстановки),

в) інтегруванням частинами,

г) від раціональної або ірраціональної функції шляхом виділення

повного квадрату у знаменнику,

д) способом перетворення добутків тригонометричних функцій у

суми.

3.1.1.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.2.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.3.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.4.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.5.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.6.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.7.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.8.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.9.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.10.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.11.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.12.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.13.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.14.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.15.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.16.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.17.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.18.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.19.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.20.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.21.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.22.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.23.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.24.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.25.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.26.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.27.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.28.	а) , б) , в) , г) , д) .
3.1.29.	а) , б) , в) , г) , д) .	3.1.30.	а) , б) , в) , г) , д) .

3.2. Дослідити на збіжність невласний інтеграл.

3.2.1.	3.2.2.	3.2.3.
3.2.4.	3.2.5.	3.2.6.
3.2.7.	3.2.8.	3.2.9.
3.2.10.	3.2.11.	3.2.12.
3.2.13.	3.2.14.	3.2.15.
3.2.16.	3.2.17.	3.2.18.
3.2.19.	3.2.20.	3.2.21.
3.2.22.	3.2.23.	3.2.24.
3.2.25.	3.2.26.	3.2.27.
3.2.28.	3.2.29.	3.2.30.

3.3. За допомогою інтегрального числення для обмеженої заданими лініями плоскої фігури :

· обчислити площу,

· знайти координати центра ваги, якщо густина маси ,

· обчислити об’єм тіла, що утворюється при обертанні фігури навколо вісі .

3.3.1.	3.3.2.
3.3.3.	3.3.4.
3.3.5.	3.3.6.
3.3.7.	3.3.8.
3.3.9.	3.3.10.
3.3.11.	3.3.12.
3.3.13.	3.3.14.
3.3.15.	3.3.16.
3.3.17.	3.3.18.
3.3.19.	3.3.20.
3.3.21.	3.3.22.
3.3.23.	3.3.24.
3.3.25.	3.3.26.
3.3.27.	3.3.28.
3.3.29.	3.3.30.