Приложение дыферэнцыяльнах уравнений в физике. Вынужденные коллебания

Рассмотрим уравнение

y² + w²y = F_в(t)                                         (1)

Пусть внешняя сила является синусоидальной F_в(t) = Dsinqt.

Обозначим  = H и получим уравнение

y² + w²y = Hsinqt.                                                 (2)

Это ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Его общее решение состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного (исходного): y(t) = y_а(t) + ỹ(t).

Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид y² + w²y = 0.

В § 22 мы уже рассматривали это уравнение. Его ХР

l² + w² = 0,                                               (3)

с корнями l_1,2 = ± iw.

Общее решение однородного уравнения

y_а(t) = Asin(wt + a).

Сейчас найдём частное решение неоднородного уравнения.

Правая часть уравнения (2) имеет специальный вид

f(t) = Hsinqt = He^0tsinqt,

и определяет комплексное число 0 + iq.

Вид частного решения ỹ(t) будет зависить от того, совпадёт ли число iq с корнем ХР (3) (l_1,2 = ± iw).

Другими словами, совпадёт ли собственная частота w системы с частотой q внешней силы.

Рассмотрим случай, когда частоты не совпадают (q ¹ w).

Тогда частное решение уравнения (2) ищем в виде

ỹ(t) = Mcosqt + Nsinqt.

Найдём производные

ỹ¢(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt, ỹ²(t) = – Mq²cosqt – Nq²sinqt

и подставим в (2)

– Mq²cosqt – Nq²sinqt + w²Mcosqt + w²Nsinqt = Hsinqt

Рассмотрим коэффициенты,

возле cosqt : – Mq² + w²M = 0,   M(w² – q²) = 0, M = 0;

возле sinqt : – Nq² + w²N = H,    N(w² – q²) = H, .

Общее решение уравнения (2) имеет вид

y(t) = Asin(wt + a) + sinqt.

Движение состоит из двух коллебаний с разными частотами.

Если w ® q, амплитуда второго коллебания растёт. Это надо избегать в механических системах и использовать в радиоприёмниках при настройке частоты.

2º. Явление резонанса

Будем считать, что q = w — собственная частота w системы совпадает с частотой q внешней силы.

Тогда уравнение (11) имеет вид

y² + q²y = Hsinqt.                                                 (4)

и число iq является корнем ХР (3).

Частное решение уравнения (4) ищем в виде

ỹ(t) = t(Mcosqt + Nsinqt).

Снова находим производные

ỹ¢(t) = Mcosqt + Nsinqt – tMqsinqt + tNqcosqt,

ỹ²(t) = –Mqsinqt + Nqcosqt – Mqsinqt + Nqcosqt – tMq²cosqt – tNq²sinqt =

= – 2Mqsinqt + 2Nqcosqt – tMq²cosqt – tNq²sinqt.

Подставляем в (4)

– 2Mqsinqt + 2Nqcosqt – tMq2cosqt – tNq2sinqt + + q2t(Mcosqt + Nsinqt) = Hsinqt.

 

Рассмотрим коэффициенты,

возле cosqt : 2Nq – tMq² + q²tM = 0, 2Nq = 0, N = 0;

возле sinqt : – 2Mq – tNq² + q²tN = H, .

Общее решение имеет вид

y(t) = Asin(wt + a) tcosqt.

Движение состоит из двух коллебаний одинаковой частоты, но амплитуда второго коллебания неограничено растёт.

Определение. Явление, когда при t ® ¥ амплитуда коллебания неограничено растёт, называется явлением резонанса.

3º. Вынужденные коллебания в среде с сопротивлением

Считаем, что внешняя сила синусоидальная и рассмотрим уравнение

y² + 2py¢ + w²y = Hsinqt.                                     (5)

Считаем также, что сопротивление среды мало p < w.

Общее решение состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного (исходного):

y(t) = y_а(t) + ỹ(t).

Решение y_а(t) мы уже получали в § 22:

y_а(t) = Ae^{– pt}sin(w₁t + a),

где .

Число iq из правой части уравнения (5) не совпадает с корнями соответствующего ХР.

Частное решение ỹ(t) надо искать в виде

ỹ(t) = Mcosqt + Nsinqt.

Находим производные

ỹ¢(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt,   ỹ²(t) = – Mq²cosqt – Nq²sinqt

и подставляем в (5)

– Mq2cosqt – Nq2sinqt – 2pMqsinqt + 2pNqcosqt + + w2Mcosqt + w2Nsinqt = Hsinqt

 

Рассмотрим коэффициенты,

возле cosqt : – Mq² + 2pNq + w²M = 0,  (w² – q²)M + 2pqN = 0,

возле sinqt : – Nq² – 2pMq + w²N = H, – 2pqM + (w² – q²)N = H,

,

Общее решение уравнения (5) имеет вид

y(t) = Ae^{– pt}sin(w₁t + a) – R(2pqcosqt – (w² – q²)sinqt),

где .

Преобразуем выражение 2pqcosqt – (w² – q²)sinqt.

Можна найти j такое, что

cosj = , sinj = .

Аналогично (см § 22): 2pqcosqt – (w² – q²)sinqt =

= (cosjcosqt – sinjsinqt) =

= cos(qt + j).

Окончательно получаем

y(t) = Ae^{– pt}sin(w₁t + a) – cos(qt + j).

Если t достаточно большое, собственные коллебания можно не учитывать. Но, если сопротивление среды p очень мало, а частоты w и q близкие, то амплитуда коллебания может быть очень большой.

 

---

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 180; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая234567891011

---

Мы поможем в написании ваших работ!