Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1º. Характеристическое уравнение
Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка с постоянными действительными коэффициентами
y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) +… + pn – 1y¢ + pny = 0 " x Î R. (1)
Для нахождения общего решения ЛОДУ (1) надо найти систему n линейно независимых решений (1).
Обычно решения ЛОДУ (1) находят в форме
, (2)
где l — неизвестная константа.
Если подставить (2) в (1), получаем
lnelx + p1ln – 1 + p2ln – 2 +… + pn – 1l + pn = 0, | ¹ 0
ln + p1ln – 1 + p2ln – 2 +… + pn – 1l + pn = 0. (3)
Очевидно, что имеет место
Лемма 1. Для того, чтобы функция (2) была решением ЛОДУ (1) неабходимо и достаточно, чтобы l было корнем уравнения (3).
Определение. Уравнение (3) называется характеристическим уравнением (ХР) ЛОДУ (1).
Рассмотрим подробно ЛОДУ 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами
L(y) º y² + py¢ + qу = 0. (4)
Для ЛОДУ (4) ХР будет иметь иметь вид
l2 + pl + q = 0. (5)
Выводы, полученные для ЛОДУ (4), можно перенести на ЛОДУ (1) n-го порядка.
Известно, что уравнение (5) имеет два корня с учётом кратности.
Рассмотрим всевозможные случаи:
1) корни действительные и различные,
2) корни комплексные,
3) корень действительный, кратности 2.
2º. Случай различных действительных корней
Пусть l1, l2 Î R корни ХР (5) и l1 ¹ l2.
|
|
Тогда решения ЛОДУ (4) имеют вид
, . (6)
Они линейно независимые (§ 13, п. 2º,пример 3), поэтому образуют линейно независимую систему функций, т. е. фундаментальную систему решений (4).
Тогда общее решение ЛОДУ (4) имеет вид
.
Замечание. Аналогичный (6) вид имеют решения ЛОДУ (1) n-го порядка в случае различных действительных корней ХР.
3º. Случай комплексных корней
Пусть l1 = a + ib — комплексный корень ХР (5).
Поскольку коэффициенты ХР — действительные числа, ХР должно иметь второй комплексный сопряжённый корень l2 = a – ib.
Таким образом ЛОДУ (4) должно иметь два комплексных решения
, .
Убедимся в этом.
Определение. Фукция z(x) = u(x) + iv(x), где u(x) и v(x) — действительные функции от действительной переменной x, называется комплексной функцией от действительной переменной.
u(x) — называется действительной частью z(x), v(x) — мнимой частью, – мнимая единица.
Имеет место
Лемма 2. Если в формуле z(x) = u(x) + iv(x)
функции u(x) и v(x) действительные и n раз дифференцируемые, тогда
z(n)(x) = u(n)(x) + iv(n)(x). (7)
Без доказательства.
Найдём действительную и мнимую части комплексных функций y1, y2. Для этого воспользуемся формулой Эйлера, которая определяет e в комплексной степени
|
|
eix = cos x + isin x. (8)
Тогда
= = (cosbx + isinbx) = cosbx + i sinbx = u(x) + iv(x),
где u(x) = cosbx, v(x) = sinbx.
Аналагично
= cosbx – i sinbx.
Лемма 3. При любом комплексном a имеет место формула
(eax)¢ = aeax.
Без доказательства.
Легко убедиться, что функции
, .
являются рашениями ЛОДУ (4), причём являются комплексными сопряжёнными функциями.
Найдём соответствующие действительные решения ЛОДУ (4).
Имеет место
Теорема 1. Если ЛОДУ (4) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z(x) = u(x) + iv(x), тогда действительная и мнимая части этого решения являются решениями (4).
Доказательство. Воспользуемся линейностью оператора L. Пусть
L(z) = 0. Тогда L(z) = L(u + iv) = L(u) + iL(v) = 0, отсюда следует, што
L(u) = 0, L(v) = 0.
Теорема доказана.
Решения y1, y2 имеют практически одинаковую действительную и мнимую части, поэтому паре комплексных сопряжённых решений (4)
,
соответствует пара действительных решений
u(x) = cosbx, v(x) = sinbx. (9)
Лемма 4. Функции u(x) = cosbx, v(x) = sinbx образуют линейно независимую систему.
Доказательство. Надо определиться с подбором постоянных a1, a2 в равенстве a1 cosbx + a2 sinbx = 0.
|
|
Поскольку ¹ 0, то это равенство равносильно
a1cosbx + a2sinbx = 0.
Таким образом, линейная независимость системы функций cosax, sinbx эквивалентна линейной независимости системы функций cosax, sinbx.
Строим вронскиан = b ¹ 0.
Лемма доказана.
Общее решение ЛОДУ (4) в данном случае имеет вид
y(x) = (C1cosbx + C2sinbx).
Замечания
1). Если корни ХР (5) имеют вид l1,2 = ±ib (a = 0), то общее решение имеет вид y(x) = C1cosbx + C2sinbx.
2). Аналагичный (9) вид имеют решения ЛОДУ (1) n-го порядка в случае комплексных корней кратности 1.
4º. Случай кратного действительного корня
Теорема 2. Если l — корень ХР (5) кратности 2, тогда функции
, (10)
являются фундаментальной системой решений ЛОДУ (4).
Доказательство. Функция является решением (4) по Лемме 1.
Покажем (самостоятельно), что функция — также решение (4).
Проверяем линейную независимость. Надо определиться с постоянными a1, a2 в равенстве a1 + a2 = 0.
Поскольку ¹ 0, то это равенство равносильно равенству
a1×1 + a2×x = 0,
а линейную независимость системы функций 1, x мы доказали (§ 13, п. 1º, пример 2).
Теорема доказана.
В рассматриваемом случае общее решение ЛОДУ (4) имеет вид
|
|
y(x) = C1 + C2 .
Замечания
1). Если ХР ЛОДУ (1) n-го порядка имеет действительный корень l кратности k , то этому корню соответствуют k решений ЛОДУ вида
, , ... , .
2). Если ХР ЛОДУ (1) n-го порядка имеет комплексный корень
l = a + ib кратности k, то этому и сопряжённому корням соответствуют 2k решений ЛОДУ вида
cosbx, cosbx, ... , cosbx,
sinbx, sinbx, ... , sinbx.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!