Второй признак сравнения знакоположительных рядов
Теорема. Если отличен от нуля конечный предел отношения соответствующих членов двух знакоположительных рядов 
и 
, т. е. 
, то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. По определению предела по Коши на языке e-d существование предела отношения членов рядов означает:
.для любого n>N(e) справедливы неравенства
.
n =1. т. е. 
.
Тогда для частичных сумм рядов можно записать
, где 
, 
..
1. Ряд сходится. 
. 
, можно записать 
,
т. е. последовательность частичных сумм ряда ,являющаяся монотонно возрастающей, ограничена, ряд сходится.
2. Ряд расходится, т. е. 
. Тогда:
. Отсюда - предел частичных сумм второго ряда также неограничен
. Следовательно, ряд расходится.
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.Гамма-функция
Пусть в определенном интеграле пределы интегрирования и подынтегральная функция зависят от некоторого параметра a, т.е. интеграл имеет вид 
. Требуется найти производную интеграла 
по этому параметру a. Будем считать, что функции 
, 
- дифференцируемые функции по a. Рассмотрим отдельно три случая, когда в интеграле зависят от параметра либо подынтегральная функция, либо какой-то из пределов интегрирования. 1. Пусть 
. Найдем 
Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции, запишем 
, где 
. Тогда 
. Следовательно, 
. 1.Пусть от параметра зависит верхний предел интегрирования, т. е. 
. Найдем 
.По теореме о среднем 
, где 
.Тогда 
. Следовательно, 
|
|
|
Если верхний предел интегрирования сложная функция 
, то производная интеграла найдется как производная сложной функции, т. е. 
В практических задачах нередко требуется найти производную по x от интеграла 
. В этом интеграле x под интегралом – это переменная интегрирования, а верхний предел xявляется фактически параметром. Поэтому 
.3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то переставим верхний и нижний предел интегрирования и получим 
Используем формулы дифференцирования сложной функции нескольких переменных, получим производную интеграла, зависящего от параметра в общем случае 
или 
Данная формула называется формулой Лейбница. 
Данный интеграл называется гамма-функцией. Он часто используется в математической статистике и других прикладных разделах высшей математики. Найдем 
.При 
применим интегрирование по частям. Получим 
так как 
. Таким образом 
. Получим формулу для нахождения 
при n целом. Так .как. 
, то 
, 
, 
и т. д. 
Билет 19.
1.Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.Найти экстремум функции 
,x и yудовлетворяют уравнению 
. задает неявно функцию 
, подставим в ф-циюz, 
. Находим критические точки (в них производная = 0). 
, 
. Решаем систему:
|
|
|
|
 
|
, 
, следовательно
, решаем систему вместе с , что образует систему уравнений для нахождения критических точек, которые надо проверить на наличие в них экстремума (достаточный признак). Метод множителей Лагранжа.Левые части уравнения – частые производные ф-ции: 
(ф-ция Лагранжа). Система для нахождения крит.т.:
, 
(в случае n переменных): 
Ф-ция Лагранжа: 
.
,крит. Т. 
.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 309; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!