Геометрический смысл теоремы Лагранжа

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

На основании формулы можно утверждать следующее.

Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке

и гладкий на интервале

, то на этом интервале найдется такая точка

, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).

2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядкас постоянными коэффициентами.Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения

зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения. Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции . Случай 1. Правая часть уравнения , где g- вещественное значение, - многочлен m-й степени. В этом случае частное решение уравнения ищется в виде ,где - многочлен m-й степени, s- степень кратности корня характеристического уравнения . Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0. Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид , где g и w- вещественные значения, и - многочлены степени и соответственно. В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде , - многочлены степени , s- кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом g в показателе степени в функции правой части уравнения. Если gв не совпадает с , то s = 0.

3. . Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбниц.Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю , то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению знакочередующегося ряда предполагается, что члены ряда положительные . Рассмотрим две частичные суммы ряда: с четным числом членов ряда и с нечетным числом членов . В сумме с четным числом членов сначала сгруппируем члены попарно следующим образом . Так как члены ряда монотонно убывают ( ), то разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2n. Теперь сгруппируем члены этой суммы следующим образом

. Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2n и не превосходит первого члена ряда . Следовательно, последовательность частичных сумм ряда с четным числом членов монотонно возрастает и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет некоторый предел . Найдем также предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов. . При нечетном числе членов ряда сумма также не превосходит первого члена ряда . . Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда . Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .

Билет 18.

Вывод формулы Тейлора

Теорема.Если в некоторой окрестности точки х = а функция имеет конечные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула