Длительность переходного процесса
Теоретически затухает бесконечно долго .
Практически считается, что переходный процесс заканчивается за четыре постоянных времени (4 ), .
При времени : .
Через время равное :
Рис 1.25 |
Свободная функция через время равное составляет 1.8% от первоначального значения, т.е. уменьшается в .
Определяемая ею переходная функция, будет составлять от установившейся величины.
Поэтому считают, что время переходного процесса равно: .
5.В цепи порядка постоянные времени различны для каждой экспоненты. Длительность переходного процесса оценивается по наибольшей постоянной времени. Для комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения постоянная времени определяется по действительной их части .
Переходный процесс в цепи первого порядка
1.Если цепь описывается уравнением первого порядка, то свободная составляющая имеет одну слагаемую экспоненту, и полное решение:
Для определения единственной постоянной интегрирования нужны только начальные значения функций .
2.Определим постоянную интегрирования в общем виде.Для этого в решение подставим начальные условия :
,
отсюда следует, что:
.
Постоянная интегрирования для любой функции в цепи первого порядка равна начальному значению ее свободной составляющей.
Можно записать:
.
3.Содержание расчета переходного процесса в цепи первого порядка.
|
|
Для составления решения рассматривается ряд задач, в результате чего определяются все компоненты искомой функции.
Рис.1.26 |
4.Для иллюстрации характера переходного процесса в цепи первого порядка рассмотрим два элементарных примера с одноконтурными схемами при постоянном и синусоидальном источниках.
Пример 1: Включение цепи на постоянное напряжение .
Конденсатор предварительно зарядим до напряжения .
Рис. 1.27 |
СУР: ; ; .
НУ: ; .
НУР: ; ; .
ПИ: .
Характеристическое уравнение и его корень:
; .
Полное решение для напряжения :
.
Ток из дифференциальной связи :
.
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от начальных условий (рис. 1.28).
Рис. 1.28 |
Рис. 1.29 |
В цепи с постоянными источниками , а для - экспонента. Значит, переходная функция представляет собой кривую, которая от значения монотонно и асимптотически приближается к новому установившемуся режиму . Это обстоятельство позволяет качественно представить переходный процесс, для чего необходимо рассчитать только старый установившийся режим, начальные условия и новый установившийся режим (рис. 1.29).
Пример 2: Включение нагрузки на синусоидальное напряжение.
|
|
Рис. 1.30 |
СУР: ; ; .
НУ: ; .
НУР: ;
.
ПИ: .
Характеристическое уравнение и его корень: ; .
Полное решение:
Напряжение на индуктивности найдем из дифференциальной связи:
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от момента включения источника и соотношения параметров.
Рис. 1.31 |
На синусоидальный ток нового установившегося режима накладывается свободная экспонента (рис. 1.31), начальное значение которой определяется двумя независящими друг от друга факторами. С одной стороны это начальная фаза , зависящая от момента включения. Это случайный фактор. С другой стороны это угол сдвига фаз нового установившегося режима, зависящим от соотношения параметров схемы. Теми же параметрами определяется и постоянная времени , от которой зависит скорость установления принужденного режима. В какие-то моменты максимальное значение тока может превышать амплитуду . Его называют ударным значением .
Два крайних случая (рис. 1.32).
В одном крайнем случае, когда и , постоянная интегрирования превращается в нуль, переходный процесс будет отсутствовать и сразу после включения наступит новый установившийся режим: .
|
|
На левом рисунке сохранены параметры, угол сдвига остался тем же, что и в первом варианте, где рассматривался общий случай. Изменен только момент включения.
На правом рисунке представлен вариант, приближенный к другому крайнему случаю. Соотношение параметров таково, что
угол приближен к , что затягивает затухание свободной функции вследствие увеличения постоянной времени . Момент включения подобран так, чтобы и . Тогда максимально возможное начальное значение свободной функции за полпериода практически не затухает и ударное значение тока приближается к двойному амплитудному значению. Таким образом: .
Среднестатистическое отношение наблюдается в пределах от 1,3 в низковольтовых до 1,8 в высоковольтовых цепях.
Рис. 1.32 |
5.Далее изложенный материал иллюстрируется решением нескольких задач по расчету переходного процесса в цепи первого порядка.
Примеры решения задач в цепи
Первого порядка.
Задача 1. Цепь с постоянным источником ЭДС (рис.1.33).
Рис. 1.33 |
( В ); ( Г );
( Ом ); ( Ом ).
Определить мгновенные значения токов, напряжение на катушке и сопротивлении .
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
Источник отключен: ; .
|
|
В конце СУР: ; ; ; .
2. Зафиксируем ННУ: .
3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для (рис. 1.34):
Рис. 1.34 |
;
;
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.35):
Рис. 1.35 |
как напряжение короткого замыкания;
;
;
Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень:
Рис. 1.36 |
;
;
.
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с), (с).
Рис. 1.37 |
6. Определим постоянные интегрирования:
.
7. Запишем общее решение в виде:
.
Расчет сведем в таблицу:
СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
0 | 4 | 6 | -2 | ||
0 | 4 | 0 | 4 | ||
0 | 0 | 6 | -6 | ||
0 | 2 | 0 | 2 |
Определим напряжение
на сопротивлении :
.
8. Построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.37)
Задача 2. Переходный процесс в цепи с постоянным источником ЭДС при изменении параметров схемы (рис. 1.38).
Рис. 1.38 |
Условие:
( В ); ( Ом ); ( Ом ), ( мкФ ).
Определить функции изменения токов
и напряжения на конденсаторе.
Решение:
Рис. 1.39 |
1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций.
Нижнее сопротивление шунтировано ключом, емкость разрывает цепь постоянного тока.
;
;
.
2. Зафиксируем ННУ: .
Рис. 1.40 |
3. Определим ЗНУ по схеме замещения для (рис. 1.40).
Система уравнений не связана, и каждое решение находится для отдельно взятого уравнения:
;
; .
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.41):
Рис. 1.41 |
;
.
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 42):
Рис. 1.42 |
; ; .
Решая уравнение, нашли: ,
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
( с ), ( мс ).
6. Определим постоянные интегрирования:
Рис. 1.43 |
В общем виде:
.
Для конкретных функций:
;
.
.
7. Переменные функции:
.
Решение сведем в таблицу:
СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
6 | 3 | 4 | −1 | ||
0 | 3 | 0 | −3 | ||
6 | 6 | 4 | 2 | ||
6 | 6 | 4 | 2 |
8. Обратим внимание на начальную скорость изменения нарастания напряжения .
Если , то .
Значит, скоротечны электромагнитные переходные процессы.
Рис. 1.44 |
Задача 3. Цепь первого порядка со схемой замещения реального постоянного источника напряжения. Анализ работы источника по его вольтамперной характеристике (рис. 1.44).
Условие:
( В ); ( Ом ); ( Ом ); ( Ом ); ( мкФ ).
Рассчитать все переходные функции.
Решение:
1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций. Ключ «К» разомкнут, емкость не пропускает постоянный ток: ; ; .
2. Зафиксируем ННУ: .
3. Определим ЗНУ по схеме замещения для методом узловых потенциалов (рис. 1.45).
Рис. 1.45 |
,
→ .
; ;
; .
4. Рассчитаем НУР постоянного тока:
; ;
; .
Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 46):
Рис. 1.46 |
; ;
.
Решая уравнение, нашли: ,
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с); (мс).
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде: .
7. Переменные функции:
.
Решение сведем в таблицу. Так же построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.47).
В момент коммутации, как видно на графике (см. рис. 1.46), напряжение на полюсах ав источника моментально падает до величины его ЭДС (В) и (В), а режим работы источника по его вольтамперной характеристике мгновенно из точки, помеченной как , мгновенно перемещается в точку, помеченную как . Затем, за время всего переходного процесса режим работы сползает к точке, помеченной как до принужденных значений (В) и (А).
Конденсатор во время переходного процесса разряжается отрицательным током от начального (В) до установившегося напряжения (В).
На графиках представлена полная картина переходного процесса. Здесь прослеживаются все уравнения цепи:
Нагрузка подключается непосредственно к полюсам источника. Поэтому напряжения и во время переходного процесса совмещены.
Рис. 1.47 |
Задача 4. Переходный процесс в цепи первого порядка с двумя емкостями и с постоянным источником питания (рис. 1.48).
Рис. 1.48 |
Условие:
( В ); ( Ом ); ( мкФ ), ( мкФ ).
Определить функции изменения токов
и напряжения на конденсаторах.
Решение:
1. В старом установившемся режиме (рис. 1.49) цепь представляет собой
Рис. 1.49 |
электростатическую систему. Нужно разделить напряжение источника между двумя последовательно соединенными емкостями. Объединенные прокладки последовательных конденсаторов имеют один общий заряд , то есть . Значит: .
Из второго уравнения Кирхгофа:
,
,
Следовательно:
.
2. Зафиксируем ННУ: .
.
3. Определим ЗНУ. По схеме замещения для момента времени
Рис. 1.50 |
(рис. 1.50) из-за идеализации источника питания не позволяет определить начальные значения токов и . Но можно рассчитать ток в третьей ветви:
.
Значит, постоянные интегрирования будем находить только для трех функций: , и .
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.51):
Рис. 1.51 |
;
;
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 52):
Рис. 1.52 |
;
.
Решая уравнение, нашли:
.
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
, (мс).
Рис. 1.53 |
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде:
.
Для конкретных функций:
;
7. Переходные функции:
.
Решение сведем в таблицу:
СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
0 | 0 | 0 | −1 | ||
12 | 12 | 16 | −3 | ||
4 | 4 | 0 | 2 |
Токи в емкостях найдем из дифференциальных зависимостей;
.
Для токов и напряжения наблюдается только свободный процесс.
8. Графики переходных функций (рис.1.53).
9. Другой вариант коммутации в этой же схеме (рис. 1.54):
Рис.1.54 |
Просмотрим бегло все позиции расчета переходного процесса.
1) СУР и ННУ:
; ;
.
2) НУР – такой же, как и старый.
Значит:
, .
3) Характеристическое уравнение то же
самое, что и в первом варианте.
4) Переходные функции:
,
,
.
В цепи не будет переходного процесса. Это предсказуемый результат. Незаряженный конденсатор подключается на нулевое напряжение. Очевидно, что ничего не произойдет.
10. Еще один вариант коммутации в заданной схеме (рис.1.55):
Рис.1.55 |
Емкостный контур, как и в первом варианте задачи, понизит порядок дифференциального уравнения до первого. Но в силу физических законов коммутации источник не в состоянии мгновенно поделить своё напряжение между емкостями левого контура, что делает предположение о мгновенной коммутации некорректным. Это небольшой аванс читателю. Расчет переходных процессов в цепях с некорректной коммутацией рассмотрим в следующей главе.
Задача 5. Цепь с синусоидальным источником ЭДС (рис.1.56).
Рис. 1.56 |
Условия:
(А);
(Ом); (Ом);
(мкФ).
Определить закон изменения тока
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
,
,
,
,
,
В конце СУР: ; .
2. Зафиксируем ННУ: .
3. Определим ЗНУ для искомого тока по схеме замещения (рис. 1.55) для .
Начальные значения источника тока:
.
В схеме один независимый контур. Для расчета выбираем метод контурных токов (одно уравнение для контура ( I )). Ток во второй ветви формируется только одним контурным током: . Второй контурный ток задается только источником тока: . Контурная ЭДС формируется только одним источником: :
Рис. 1.57 |
.
Откуда имеем:
.
С учетом этого уравнения запишем так:
,
или:
.
4. Рассчитаем НУР синусоидального тока и принужденную составляющую искомой функции:
;
Начальные значение принужденной составляющей:
.
Период: .
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1. 58):
Рис. 1.58 |
,
,
Решая уравнение, нашли: .
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с), (с).
Переходный процесс практически заканчивается за время одного периода.
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде: .
Следовательно, для тока : .
7. Переменная функция:
В общем виде: .
Тогда, для тока :
.
8. Построим график для найденной функции (рис. 1.59):
Рис. 1.59 |
Задача 6. Реакция цепи первого порядка на импульсное возмущение экспоненциальной формы (рис.1.60.)
Рис. 1.60 |
Определить законы изменения всех токов и напряжения на источнике питания.
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
Источник отключен: ; .
В конце СУР: ; ; .
2. Зафиксируем ННУ: .
3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для :
.
4. Новый установившийся режим − нулевой. Не может служить частным решением неоднородного дифференциального уравнения.
5. Уравнения цепи:
Из системы:
для тока получим: ; ; ; | для тока получим: ; ; |
Обозначив , запишем уравнения в конечной форме: | |
Коэффициенты левой части уравнения одинаковы. Различают только свободные члены (правые части).
6. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Ищем в виде правой части. ( Метод неопределенных коэффициентов).
Для тока : ; | Для тока : ; |
Подставим эти решения в уравнения для токов: | |
; | ; |
После сокращения на общий множитель, получим: | |
; | ; |
Отсюда и находятся неопределенные ранее коэффициенты: | |
; | ; |
тогда: | |
7. Постоянные интегрирования:
Для тока : | Для тока : |
8. Характеристическое уравнение и его корень:
;
.
9. Переходные функции: .
Для тока : . | Для тока : . |
. |
6. Проверка:
;
.
7. Переходные функции и графики при:
(А); ( 1/с); (А); (Ом); (Гн.).
Тогда:
(1/с);
(1/с).
Постоянные времени и время переходного процесса:
(с);
(с).
(с).
В схеме один накопитель. Это цепь первого порядка, но переходные функции как в цепи второго порядка. Это источник сформировал принужденную составляющую в форме свободной экспоненты.
Графики представлены на рис. 1.61
Рис. 1.61 |
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 9991; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!